Моделирование электрических цепей в системе Mathcad
48 Учебное пособие "Моделирование электрических цепей в системе MathCAD" Введение Большинство проблем, связанных с анализом схем электрических цепей, решается в два этапа. Первый этап заключается в составлении уравнений электрической цепи в форме, позволяющей использовать законы Кирхгофа и характеристики элементов, входящих в схему. Полученные на этом этапе уравнения представляют математическую модель цепи. Второй этап заключается в решении этих уравнений путем подходящих аналитических или численных методов. При машинном анализе электрических схем оба этапа могут выполняться ЭВМ, а программу общего анализа часто называют машинной моделью. В настоящее время имеется достаточно много пакетов программ (PSpice, Electronic Workbench, P-Cad) для решения электрических (электронных) схем. Любая такая программа машинного анализа схем признает и допускает лишь базовый на6ор схемных элементов, для которых она была разработана. Чем больший базовый набор допускает программа, тем более многофункциональной она становится. В случае, если схема содержит элементы, не входящие в базовый набор, следует заменить каждый такой элемент некоторой «эквивалентной схемой» на основе базовых элементов. Это часто невозможно, однако, в большинстве практических случаев считается возможным заменить каждый не допускаемый элемент «почти эквивалентной схемой», называемой схемной моделью. При разработке схемной модели необходимо, чтобы она имела такое же количество полюсов, что и рассматриваемый элемент, состояла лишь из элементов, входящих в базовый набор, чтобы результирующая схема аппроксимировала характеристики соответствующего элемента с переменной точностью. Выбор наиболее подходящей модели зависит от ее правильного соответствия режима работы цепи: динамическому переходному режиму, установившемуся синусоидальному режиму или режиму постоянного тока. Для синтеза нелинейных моделей по переменному току возможны два подхода, которые качественно согласуются с режимом работы реальных элементов: это физический метод и метод «черного ящика». В физическом методе делается попытка преобразовать физическую структуру и механизм работы данного прибора (элемента) в схемную модель. В методе «черного ящика» полная характеристика схемной модели и моделируемого элемента, полученная экспериментально, должны совпадать с заданной степенью точности. При этом сначала строится статическая модель, а затем для построения модели по переменному току к ней добавляются паразитные ёмкости и индуктивности в существенно важных местах и нет необходимости понимать внутренний физический механизм работы прибора. Успешное моделирование элементов цепи и создание их схемных моделей позволяет разработать электрическую схему, состоящую только из базовых элементов, которая используется при формировании математической модели (системы уравнений, адекватно описывающей процессы рассматриваемой цепи). Использование пакета MathCAD в практикуме по решению задач электрических цепей позволяет при освоении курса разделить этапы формирования уравнений и численного их решения, избавляя от рутинных вычислений. Самостоятельное формирование (моделирование) уравнений, основанных на топологии, способствует их успешному освоению, а возможность изменения численных методов их решения - подходящему их выбору. Такой подход может быть плодотворным при освоении методов анализа электрических цепей и разработке новых. 1. Элементы теории матриц 1.1 Определение матрицы Матрица - это прямоугольная таблица чисел. Элемент с номерами ij матрицы А, аij находится на пересечении i-й строки и j-го столбца: . (1.1) Матрица размера (mn) (или mn - матрица) имеет m строк и n столбцов. У квадратной матрицы m=n. Если аij=0 при i?j, то квадратная матрица диагональная. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны 1, матрица называется единичной: . (1.2) Если у квадратной матрицы расположенные выше (ниже) главной диагонали элементы равны нулю, то матрица - нижне - (верхне-) треугольная: . (1.3) Если у матрицы лишь один столбец или строка, в этом случае она называется столбцовой или строчной, или вектор-столбец, или вектор-строка, или просто вектор. Вектор-столбец: . (1.4) Вектор-строка: . (1.5) Матрица АТ называется транспонированной к А, если элемент аij матрицы А равен элементу аji матрицы АТ для всех i и j Пример 1.1. Если . Матрица А называется симметричной, если А=АТ, в противном случае - несимметричной. При А=-АТ - матрица кососимметричная. 1.2 Арифметические операции над матрицами 1.2.1 Сложение Сумма матриц А и В С = А + В (1.6) получается сложением каждого элемента матриц А и В одного размера mn, т.е. для всех i и j. Операция сложения матриц коммутативна А + В = В + А (1.7) и ассоциативна А + (В + С) = (А + В) + С, (1.8) а также (А + В)Т = АТ + ВТ. (1.9) 1.2.2 Умножение матриц Произведение С = АВ может быть получено тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если А размера mt и В размера tn, то матрица С = АВ определяется формулой . (1.10) Заметим, что в общем случае АВ ? ВА. Если АВ=ВА, то матрицы коммутирующие или перестановочные. Умножение обладает свойствами: А(ВС) = (АВ) С (1.11) ассоциативности и (А+В) С=АС+ВС и А(В+С)=АВ+АС (1.12) дистрибутивности. 1.2.3 Умножение на скаляр Умножение матрицы (А) на скаляр b означает, что каждый элемент матрицы умножается на скаляр (1.13) 1.2.4. Вычисление определителей Пусть А - квадратная матрица порядка n, n>1: . Определителем квадратной матрицы А порядка n, n>1 называется число где - определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-того столбца. Формулу называют формулой вычисления определителя разложением по первой строке. Число называется алгебраическим дополнением элемента a1j. 1.2.5 Обращение матрицы Если А и В-две квадратные матрицы порядка n, такие, что АВ=Е, (1.14) то говорят, что В-матрица, обратная к А, и обозначается через В=А-1 , (1.15) заметим, что АА-1=А-1А=Е, (1.16) где D=detА (определитель матрицы А); - алгебраическое дополнение элемента аij., а Мij минор к элементу aij (определитель, полученный из А удалением i-й строки и j-ого столбца. Обращение обладает свойствами: (1.17) А-1 существует, если det A0. Если det A=0, то матрица особенная. 1.3 Матричное представление линейных уравненийСистема линейных уравнений может быть записана в виде матричного уравнения: АХ=В. (1.18) Ее решение получаем, умножая обе части равенства слева на А-1: А-1АХ=1Х=А-1В, то есть: Х=А-1В. (1.19) Это удобный способ выразить решение Х, но существуют методы решения значительно лучше, чем явное формирование матрицы А-1 и умножение ее на В. 1.4 Используемые инструменты MathCAD Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами: с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции. Панель операций с матрицами и векторами в Matrix открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов. За кнопками панели закреплены следующие функции: - определение размеров матрицы; - ввод нижнего индекса; - вычисление обратной матрицы; - вычисление определителя матрицы: ; вычисление длины вектора |х|, |х|2=; - поэлементные операции с матрицами: если А={аij}, B={bij}, то ; - определение столбца матрицы: М<j> - j-й столбец матрицы; - транспонирование матрицы: М={mij}, MT={mji}, - вычисление скалярного произведения векторов: ; - вычисление векторного произведения двух векторов: ab=(a2b2 - a3b2 - a2b1 - a1b2 - a2b1); - вычисление суммы компонент вектора: ; - определение диапазона изменения индекса переменной; - визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице. Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции для матрицы. Функции определения матриц и операции с блоками матриц: matrix (m, n, f) - создает и заполняет матрицу размерности mn, элемент которой, расположенный в i-й строке, j-м столбце, равен значению f (i, j) функции f (x, y); diag(v) - создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v; identity(n) - создает единичную матрицу порядка n; augment (A, B) - формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних - матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк); staсk (А, В) - формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних - матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов); submatrix (A, ir, jr, ic, jc) - формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, irjr, icjc. Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в Mathcad в переменной ORIGIN. По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с 0 (ORIGIN=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем прежде всего выполнять команду ORIGIN=1. Функции вычисления числовых характеристик матриц: last(v) - вычисление номера последней компоненты вектора v;
Страницы: 1, 2, 3
|