Можно было бы оперировать только малыми числами, так как вероятность переполнения при их сложении мала. Однако это приводит к снижению точности представления чисел и точности вычислений. Поэтому всегда стремятся использовать числа, величины которых близки к максимальному значению. Однако при этом на них накладываются следующие ограничения: 1) абсолютная величина суммы двух чисел должна быть меньше единицы; 2) делитель по абсолютной величине должен быть больше делимого.

В ячейке машины с фиксированной перед старшим разрядом запятой число записывается в разрядную сетку в виде значащей части дроби со своим знаком, т. е. для записи n-значной дроби разрядная сетка должна содержать n + 1 разряд.

Разрядная сетка или формат числа в двоичной системе счисления имеет вид:

Запятая

n+1

Здесь n разрядов используют для изображения цифровой части числа и 1 - для знака.

Величины чисел, представляемых в машинах с фиксированной перед старшим разрядом запятой, лежат в пределах:

2-n ? |А| ? 1-2-n

В этом случае: |А|min=0,...01 = 2-n , а |А|max= 0,1...1= 1-2-n. (Запятая разделяет целую и дробную части).

Начиная с вычислительных машин 2-го поколения, форматы чисел в ЭВМ представляются кратными байту, т. е. n=8, или 16, 32.

Во всех рассмотренных форматах могут изображаются числа, которые по своей абсолютной величине меньше 1, что упрощает конструкцию, уменьшает объем оборудования. Недостатком такого представления чисел является необходимость выполнения трудоемкого расчета масштабов в процессе подготовки задачи для решения в ЭВМ.

Нередко запятую фиксируют после младшего разряда числа. Тогда все данные представляются в виде целых чисел. В этом случае также необходимо масштабирование исходных данных.

Веса разрядов в формате числа, содержащего n+1 разряд (1 знаковый) представлены на рисунке:

n+1

Отдельных разрядов для записи целой части числа (0) и запятой не выделяется, так как их положение обусловлено формой записи чисел.

Знак числа обычно кодируется следующим образом: знаку «+» соответствует 0 в знаковом разряде, знаку «-» - 1.

При представлении чисел с фиксированной запятой в случае выполнения арифметических действий над произвольными числами программист может принять любое условное положение запятой в пределах формата. Но при разработке программы он должен следить за положением запятой во время вычислений, чтобы не возникло переполнение.

Необходимость расчета масштабов, необходимость следить за положением запятой во время вычислений исключаются при представлении чисел с плавающей запятой.

В общем случае число можно представить в виде произведения целой степени основания системы и цифровой части, являющейся правильной дробью:

А= pma = pm ?aipi-m. (i от -k до n),

где a - мантисса, m - порядок.

Формат числа, представленного в форме с плавающей запятой, имеет вид:

порядок S+1разрядов мантисса n+1 разрядов

В разрядной сетке предусмотрено наличие разряда для фиксации знака мантиссы, который соответствует знаку числа.

Представление числа с плавающей запятой можно проиллюстрировать на следующем примере:

987.54 =103* 0.98754,

987.54 =104* 0.098754,

987.54 =105*0.0098754.

В целях однозначного представления любого числа введено понятие “нормализованное число”. Нормализованным считается число А, мантисса которого удовлетворяет неравенству:

2-1 ? |а| ? 1-2-n

Другими словами, нормализованным считается то число, у которого старший разряд равен 1.

Диапазон представления порядка числа лежит в пределах:

2S-1 ? m ? -(2S-1).

Отсюда следует, что диапазон представления чисел для p = 2:

минимальное число:

и максимальное:

Очевидно, что диапазон представления чисел в машинах с плавающей запятой значительно больше, чем в машинах с фиксированной запятой:

D= ?=

Сопоставляя между собой две основные формы представления чисел в ЭВМ, можно прийти к следующим выводам.

Диапазон представления чисел в машинах с фиксированной запятой значительно меньше, чем в машинах с плавающей запятой, а точность зависит от величины исходных чисел. Программирование для машин с фиксированной запятой значительно сложнее, т.к. приходится вводить масштабные коэффициенты, чтобы избежать переполнения масштабной сетки при выполнении арифметических операций.

Однако машины с плавающей запятой конструктивно более сложны, так как необходимо вводить дополнительное оборудование для выполнения операций над порядками чисел, а также предусмотреть операцию нормализации и выравнивания порядков чисел. Время выполнения операций над числами в машине с плавающей запятой больше, чем в машине с фиксированной запятой, что обусловлено необходимостью работы с порядками.

Как и при фиксированной запятой, здесь возможно переполнение разрядной сетки, которое выражается в том, что результат какой-либо операции имеет порядок больше допустимого. Это приводит к аварийной ситуации. При выполнении операций возможно получение чисел, имеющих порядок меньше допустимого и нормализованную мантиссу. Эти числа рассматриваются как машинные нули, так же как и числа, имеющие нулевую мантиссу и допустимый порядок.

Иногда нормальную форму представления чисел называют полулогарифмической, так как порядок числа р выражен в логарифмической форме.

6. Точность представления чисел в ЭВМ

При решении различных задач требуется различная точность получаемых результатов. Так, при решении инженерных задач достаточна точность до 3--4 десятичных знаков (10--13 двоичных), при решении научных задач -- 5--6 десятичных или 16--20 двоичных знаков и при решении особо точных задач -- до 50 двоичных разрядов.

При ограниченной длине машинных слов множество чисел, которые можно представить в машине, является конечным. Поэтому представление чисел в ЭВМ, как правило, влечет за собой появление погрешностей, величина которых зависит как от формы представления чисел, так и от длины разрядной сетки.

Точность представления числа характеризуется абсолютной и относительной погрешностями.

Абсолютная погрешность -- это разность между истинным значением величины А и ее значением, полученным из машинного изображения [А], т. е.

Усредненная абсолютная погрешность представления чисел в машинах с фиксированной запятой определяется как среднее арифметическое между минимально представимым числом и его минимальной потерей, т. е.

В машинах с фиксированной запятой абсолютная погрешность постоянна и равна половине младшего разряда.

Относительная погрешность представления определяется как отношение усредненной абсолютной погрешности к самому числу:

.

Так как само число с фиксированной запятой меняется в пределах

,

то и относительная погрешность является величиной переменной, меняющейся соответственно в пределах

Для машин с фиксированной запятой она определяется следующим образом:

Таким образом, относительная погрешность для машин с фиксированной запятой зависит от величины числа и колеблется в пределах от для больших чисел, до 2-1 для малых чисел. В машинах с плавающей запятой абсолютная погрешность представления числа определяется следующим образом:

где - погрешность представления мантиссы, которая определяется так же, как абсолютная погрешность представления чисел в машине с фиксированной запятой, т. е. - порядок числа, который изменяется в пределах

.

Следовательно, в отличие от машин с фиксированной запятой, в машинах с плавающей запятой абсолютная погрешность представления чисел зависит от порядка числа: минимальная при наибольшем отрицательном m и максимальная при наибольшем положительном определяются следующим образом:

Относительная погрешность представления чисел в машинах с плавающей запятой определяется по общему правилу:

т. е. не зависит от порядка числа и изменяется в пределах

Следовательно, в машинах с плавающей запятой, в отличие от машины с фиксированной запятой, относительная погрешность изображения чисел во всем диапазоне представления практически постоянна и для чисел с нормализованной мантиссой зависит от количества разрядов мантиссы: чем их больше, тем меньше погрешность представления.

В некоторых вычислительных средствах информационной единицей являются не отдельные числа, а их блоки или массивы, т. е. последовательности, состоящие из сотен и тысяч чисел. В этих случаях нередко применяется промежуточная форма представления чисел в ЭВМ, так называемое представление с поблочно плавающей запятой, при котором всему массиву чисел присваивается общий порядок и массив считается нормализованным, если хотя бы одно его слово является нормализованным. Естественно, что относительная погрешность представления отдельных элементов массива будет при этом различной. Как и в случае представления с фиксированной запятой, максимальный по абсолютной величине элемент будет представлен с минимальной, в то время как минимальный по абсолютной величине элемент массива -- с максимальной относительной погрешностью. Однако это не имеет существенного значения, так как основную информационную нагрузку в этих случаях несут максимальные элементы массивов. Вместе с тем благодаря представлению чисел с поблочно плавающей запятой удается при приемлемой точности вычислений значительно сократить объем оборудования, а главное - время выполнения операции, так как действия над порядками в этом случае выполняются только один раз за время обработки всего массива чисел.

Из этого следует, что нельзя отдать предпочтение какой-либо одной форме представления чисел. Обычно в ЭВМ общего назначения применяют нормальную форму. Этим обеспечивается большой диапазон представления чисел, высокая точность вычислений, простота программирования. Усложнение аппаратуры этих ЭВМ имеет второстепенное значение.

В специализированных ЭВМ чаще применяют фиксированную или поблочно плавающую запятую, если информация обрабатывается отдельными массивами, так как эти формы обеспечивают простоту конструкции ЭВМ. Диапазон изменения величин известен заранее, масштабные коэффициенты подбираются один раз, требуемая точность вычислений также известна заранее и определяет длину разрядной сетки.

В современных ЭВМ используются обе формы представления чисел. При этом в большинстве случаев формат чисел с фиксированной запятой служит для представления целых двоичных и десятичных чисел и выполнения операций над ними, что, например, необходимо для операций над кодами адресов (операции индексной арифметики).

Вывод

В процессе написания реферата мы ознакомились с:

- с понятием системы счисления;

- классификацией систем счисления;

- переводом чисел из одной системы счисления в другую;

- выбором системы счисления для применения в ЭВМ;

- двоичной системой счисления;

- формами представления двоичных чисел в ЭВМ;

- точностью представления чисел в ЭВМ и др.

Литература

1. Самофалов К.Г., Романкевич А.М., и др. Прикладная теория цифровых автоматов. - Киев. “Вища школа” 1987.

2. Соловьев Г.Н. Арифметические устройства ЭВМ. - М. “Энергия”. 1978.

3. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов - М. “Высшая школа”. 1987.

4. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы. - М. Энергоатомиздат. 1985.

5. Лысиков Б.Г. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. - Минск. “Вышэйшая школа”. 1980.

Страницы: 1, 2, 3