Каталог Рефератов - Программа на С++ Builder для знаходження оберненої матриці з використання елементарних перетворень

	Информационно-образоательный портал
	Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,



МЕНЮ\|

поиск

Программа на С++ Builder для знаходження оберненої матриці з використання елементарних перетворень

Міністерство освіти і науки України

Курсова робота

Тема:

Программа на С++ Builder для знаходження оберненої матриці з використання елементарних перетворень

Зміст

Теория 3

Опис програми 7
Список використаної літератури 43

Теория
Квадратна матриця називається виродженою (для особливої), якщо її визначник дорівнює нулю, і невиродженою (чи неособливої) - у протилежному випадку. Відповідно лінійне перетворення невідомих називається у залежності від того, чи буде дорівнює чи нулю відмінний від нуля визначник з коефіцієнтів цього перетворення. З теореми випливає наступне твердження:

Добуток матриць, хоча б одна з яких вироджена, буде вродженою матрицею.

Добуток будь-яких невироджених матриць саме буде невирожденою матрицею. Звідси випливає, через зв'язок, що існує між множенням матриць і послідовним виконанням лінійних перетворень, таке твердження: результат послідовного виконання декількох лінійних перетворень тоді і тільки тоді буде невиродженим перетворенням, якщо всі задані перетворення невироджені.

Роль одиниці у множенні матриць грає одинична матриця

причому вона перестановочна з будь-якою матрицею А даним порядком

АЕ=ЕА=А (1)

Доводяться ці чи рівності безпосереднім приминением правила умножения матриць, чи ж на підставі зауваження, що еденичная матриця відповідає тотожному лінійний перетворень невідомих

x1=y1

x2= y2

... ... ... .

xn= yn

Виконання якого до чи після будь-якого іншого лінійного переутворення, очевидно не змінює цього останнього.

Помітимо, що матриця Е є єдиною матрицею, що задовольняє умові (1) при будь-якій матриці А. Дійсно, якби існувала матриця Е' з цією же властивістю, то ми мали б

E'E=E', E'E=E,

звідки E'=E.

Питання про існування для даної матриці А зворотної матриці виявляється більш складним. Через некомутативности множення матриць ми будемо говорити зараз про праву зворотну матрицю, тобто про таку зворотну матрицю А-1

Що добуток матриці А праворуч на цю матрицю дає одиничну матрицю,

AA-1=E (2)

Якщо матриця А вироджена, то, якби матриця А-1 існувала, добуток, що коштує в лівій частині рівності (2), було б, як ми знаємо, виродженою матрицею, у той час як насправді матриця Е, що коштує в правій частині цієї рівності, є невиродженою, тому що його визначник дорівнює одиниці. Таким чином, вироджена матриця не може мати правої зворотної матриці. Такого ж розуміння показують, сто вона не має і лівої зворотний і тому для вироджена матриці обернута матриця взагалі не існує.

Переходячи до випадку невироджденої матриці, уведемо спочатку наступне допоміжне поняття. Нехай дана матриця n-го порядку

a11 a12... a1n

A= a21 a22... a2n

... ... ... ... ... ... ... ... .

an1 an1... ann

Матриця

a11 a12... a1n

A*= a21 a22... a2n

... ... ... ... ... ... ... ... .

an1 an1... ann

Складання з алгебраїчних доповнень до елементів матриці А, причому алгебраїчне доповнення до елементу aіj коштує на перетинанні j-й рядка й і-го стовпця, називається приєднаної (чи взаємної) до матриці А.

Знайдемо добуток АА* і А*А. Використовуючи відому формулу розкладання визначника по чи рядку стовпцю, а також теорему про суму добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів іншого рядка (стовпця), і позначаючи через d визначник матриці А,

d=|A|,

ми одержимо наступні рівності:

d 0...0

0 d...0

АА*=А*А=... ... ... . . (3)

0 0... d

Звідси випливає, що якщо матриця А невырожденная, те її присоедененная матриця А* також буде невырожденной, причому визначник d* матриці А* дорівнює (n-1) - й ступеня визначника d матриці А.

Справді, переходячи від рівностей (3) до рівності між визначниками, ми одержимо

dd*= dn,

звідки d?0

d*= dn-1

Тепер можна довести існування зворотної матриці для всякої невырожденной матриці А и знайти її вид. Помітимо спочатку, що якщо ми розглянемо добуток двох матриць АВ і всі елементи одногоиз множників, наприклад У, розділимо на те саме число d, те всі елементи добутку АВ також розділяться на це ж число: для доказу потрібно лише згадати визначення множення матриць. Таки мобразом, якщо

d=|A|?0

те з рівностей (3) випливає, що зворотною матрицею для А буде служити матриця, що виходить із присоедененной матриці А* розподілом усіх її елементів на d:

Дійсно, з (3) випливають рівності

(4)

Ще раз підкреслимо, що в і-й рядку матриці А-1 коштують алгебраїчні доповнення до елементів і-го стовпця визначника |А|, ділені на d=|A|.

Легко довести що матриця А-1 є єдиною матрицею, що задовольняє умові (4) для даної невиродженої матриці А. Дійсно, якщо матриця З така, що

АС=СА=Е

то

САА-1=С(АА-1) =СЕ=С

САА-1=(СА) А-1=ЕА=А-1

Звідки С=А-1.

З (4) і теореми про множення визначників випливає, що визначник матриці А-1 дорівнює, так що ця матриця так само

буде невырожденной. Зворотної для неї служить матриця А.

Якщо тепер дані квадратні матриці n-го порядку А и В, з яких А-невырожденная, а В - довільна, то ми можемо виконати правий і лівий розподіл У на А, тобто, вирішити матричні рівняння

AX=B, YA=B (5)

Для цього, через асоциативности множення матриць, досить покласти

X=A-1B, Y=BA-1,

причому ці рішення рівнянь (5) буду, через некоммутативности множення матриць, у загальному випадку різними.

Опис програми
Програма Matrtest. pas являється демо програмою, котра показує роботу процедур з модуля Matr. pas.

Модуль програми Matr. pas - в ній розміщені процедури і функції, котрі роблять перетворення матриць.

У файлі - Time. dat записані коефіцієнти матриці, розмірність матриці. Він мусить містити в собі початкову матрицю, і її розмірність, тому, що програма без цих даних працювати не буде.

Нижче приведений “скрин” програми, тобто вигляд програми в роботі.

Програма

{============================Matrtest. pas=========================}

Uses matr;

Var A,C: MAtrix;

Begin

A. VMT; C. VMT;

Writeln(' Коэффициеты уравнения ');

A. ReadOfText('time',' Коэффициеты уравнения ');

A. WriteToText('con',7,3);

Write('Enter'); Readln;

Writeln('Обращаем матрицу коэффициентов');

C. RevWithGauss(A);

C. WriteToText('con',7,3);

Write('Enter'); Readln;

End.

{============================ Matr. pas ==========================}

{$A+,B-,D-,E-,F+,G+, I-,L-,N+,O-,P-,Q-,R-,S-,T+,V+,X+}

{$M 24000,32,655360}

Unit Matr;

Interface

Const

CTooManySize=1;

CBadPosition=2;

CFileNotFound=3;

CFileError=4;

CReadError=5; {A}

CWriteError=6; {A}

COutOfData=7;

CBadOperands=8;

CMulError=9; {A}

CSearchError=10;

CNotExist=11;

CMNotSquare=12;

CAddError=13; {A}

CReversError=14; {A}

CMDegenerate=15;

CUnkNownError=16;

CMDgError=17; {A}

CMSqrError=18; {A}

CDetError=19; {A}

CSortError=20; {A}

CDGaussError=21; {A}

CCuanZeeroError=22; {A}

CSwapError=23; {A}

CMulToNumError=24; {A}

CStopped=25;

CDegrError=26; {A}

CIgError=27; {A}

CZFE=28;

Type

TOE=Extended;

Ar=Array [1. . (Word(Pred(0)) +1) div SizeOf(TOE)] of TOE;

Ar31=Array [1. .31,1. .31] of TOE;

Ar63=Array [1. .63,1. .63] of TOE;

Tabl=Object

CBars,CLines: Byte;

M: Pointer; {**}

SizeInMemory: Word; {**}

Errors: Set of Byte;

Exist: Boolean;

Constructor VMT;

Procedure DataInit(L,B: Byte); Virtual;

Procedure SetE(I,J: Byte; E: TOE);

Function GetE(I,J: Byte): TOE;

Procedure Del;

Procedure ReadOfText(Name: String; Search: String);

Procedure WriteToText(Name: String; F1,F2: Byte);

Procedure AllClear; Virtual; {}

Procedure Let(Var A); Virtual;

Procedure ZeeroFill;

{ Errors }

Procedure TooManySize; Virtual;

Procedure BadPosition; Virtual;

Procedure FileNotFound; Virtual;

Procedure FileError; Virtual;

Procedure ReadError; Virtual;

Procedure WriteError; Virtual;

Procedure OutOfData; Virtual;

Procedure SearchError; Virtual;

Procedure NotExist; Virtual;

Procedure UnkNownError; Virtual;

Procedure AnyError; Virtual;

Procedure ZFE; Virtual;

End;

Line=Set of Byte;

Mem=Record

mPlus: Boolean;

mDirection: Boolean;

mSortLines: Boolean;

mBeginZeero: Boolean;

mSpecialSort: Boolean;

mGauss: Boolean;

mDetForRev: Boolean;

End;

Matrix=Object(Tabl)

Lin,Bar: Line;

Plus: Boolean;

Direction: Boolean;

SortLines: Boolean;

BeginZeero: Boolean;

SpecialSort: Boolean;

Chek: Integer;

Gauss: Boolean;

DetForRev: Boolean; {ўбҐ Ї а ¬Ґвал - ўгваҐЁҐ}

{Mem}

Procedure AllClear; virtual;

Function SIgn(C: Word): TOE;

Procedure Revers(Var A: Matrix); {®Ўа й Ґв бҐЎп ¬Ґ¤"Ґл¬ бЇ®б®Ў®¬}

Procedure RevWithGauss(Var A: Matrix); {®Ўа й Ґв бҐЎ ў®а®зҐл¬ бЇ®б®Ў®¬}

Procedure InnerRevers(Var A: Matrix); Virtual;

Procedure ZeeroSortBars;

Procedure ZeeroSortLines;

Procedure UniversalSort;

Function DetWithGauss: TOE; Virtual; {®Ўа й Ґв бҐЎп ў®а®зҐл¬ (Ўлбвал¬) бЇ®б®Ў®¬}

Function CuanZeeroInLine(L1: Integer): Integer;

Procedure SwapLines(L1,L2: Integer); Virtual;

Procedure SwapBars(B1,B2: Integer);

Function CuanZeeroInBar(B1: Integer): Integer;

Procedure SpecialSortLines;

Procedure SpecialSortBars;

Procedure SelfClear; Virtual;

Procedure StepRevers; Virtual;

Procedure RemSettings(Var FM: Mem); Virtual;

Procedure RestoreSettings(Var FM: Mem); Virtual;

Procedure MSqr(Var A: Matrix); {ў®§ў®¤Ёв ўбҐ н"Ґ¬Ґвл ¬ ваЁжл ў Єў ¤а в}

Procedure MDg(Var A: Matrix);

{errors}

Procedure BadOperands; Virtual;

Procedure MulError; Virtual;

Procedure MNotSquare; Virtual;

Procedure AddError; Virtual;

Procedure ReversError; Virtual;

Procedure MDegenerate; Virtual;

Procedure MDgError; Virtual;

Procedure MSqrError; Virtual;

Procedure DetError; Virtual;

Procedure SortError; Virtual;

Procedure DGaussError; Virtual;

Procedure CuanZeeroError; Virtual;

Procedure SwapError; Virtual;

Procedure MulToNumError; Virtual;

Procedure Stopped; Virtual;

Procedure DegrError; Virtual;

Procedure IgError; Virtual;

End;

Matrix31=Object(Matrix)

Function DetWithGauss: TOE; Virtual;

Procedure SwapLines(L1,L2: Integer); Virtual;

End;

Matrix63=Object(Matrix)

Function DetWithGauss: TOE; Virtual;

Procedure SwapLines(L1,L2: Integer); Virtual;

End;

Implementation

{**************************************************************************}

Procedure TAbl. ZeeroFill;

Var i,j: Integer;

Begin

IF Not Exist Then Begin NotExist; ZFE; Exit; End;

IF (Errors<> [0]) Then Begin ZFE; Exit; End;

For i: =1 to CLines do

For j: =1 to CBars do

SetE(i,j,0);

End;

Procedure Tabl. Let(Var A);

Begin

End;

Procedure Tabl. AllClear;

Begin

CBars: =0;

CLines: =0;

SizeInMemory: =0;

Errors: = [0] ;

M: =Nil;

End;

Procedure Tabl. DataInit(L,B: Byte);

Begin

IF Exist Then Del;

AllClear;

IF 1.0*SizeOf(TOE) *L*B>(Word(Pred(0)) +1) *1.0 Then Begin TooManySize; Exit; End;

CBars: =B;

CLines: =L;

SizeInMemory: =SizeOf(TOE) *CBars*CLines;

If MaxAvail < SizeInMemory Then Begin TooManySize; Exit; End;

GetMem(M,SizeInMemory);

Exist: =True;

End;

Procedure Tabl. SetE(I,J: Byte; E: TOE);

Begin

IF Errors<> [0] Then Exit;

IF Not Exist Then Begin NotExist; Exit; End;

IF (I>CLines) or (J>CBars) or (I<1) or (J<1) Then Begin BadPosition; Exit; End;

Ar(M^) [((I-1) *CBars+J)]: =E;

End;

Function Tabl. GetE(I,J: Byte): TOE;

Begin

IF Errors<> [0] Then Exit;

IF Not Exist Then Begin NotExist; Exit; End;

IF (I>CLines) or (J>CBars) or (I<1) or (J<1)

Then

Begin

GetE: =0.0;

BadPosition;

End

Else

GetE: =Ar(M^) [((I-1) *CBars+J)] ;

End;

Procedure Tabl. Del;

Begin

IF Errors<> [0] Then Exit;

IF Not Exist Then Begin NotExist; Exit; End;

IF SizeInMemory<>0 Then FreeMem(M,SizeInMemory);

AllClear;

Exist: =False;

End;

Procedure Tabl. ReadOfText(Name: String; Search: String);

Var F: Text;

I,J: Byte;

Prom: TOE;

Help: Integer;

Function Searcher: Boolean;

Var Prom: String;

Begin

Repeat

Readln(F,Prom);

IF IOResult<>0 Then Begin ReadError; Close(F); Exit; End;

Until (EOF(F)) or (Pos(Search,Prom) <>0);

IF Pos(Search,Prom) =0

Then

Begin

SearchError;

Searcher: =False;

End

Else Searcher: =True;

End;

Begin

IF Exist Then Del;

Assign(F,Name);

{$I-}

Reset(F);

IF IOResult=2 Then Begin FileNotFound; ReadError; Exit; End;

IF IOResult<>0 Then Begin FileError; ReadError; Exit; End;

IF Not Searcher Then Exit;

Readln(F,CLines);

IF IOResult<>0 Then Begin AllClear; ReadError; Close(F); Exit; End;

Readln(F,CBars);

IF IOResult<>0 Then Begin AllClear; ReadError; Close(F); Exit; End;

DataInit(CLines,CBars);

IF Errors<> [0] Then Exit;

IF Not Exist Then Exit;

For I: =1 to CLines do

For J: =1 to CBars do

Begin

Read(F,Prom);

IF (EOF(F)) and (I<>CLines) And (I<>CBars) Then Begin Del; OutOfData; ReadError; Close(F); Exit; End;

IF IOResult<>0 Then Begin Del; ReadError; Close(F); Exit; End;

SetE(I,J,Prom);

End;

Close(F);

{$I+}

End;

Procedure Tabl. WriteToText(Name: String; F1,F2: Byte);

Страницы: 1, 2

© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.