TDXTimer - Компонент находится на панели DelphiX. В программах, выполняющих действия, связанные с моделированием или обработкой графики, предназначенных для общения с пользователем в реальном режиме времени или выполняющих продолжительные вычисления, необходима компонента TDXTimer.

С помощью компонента TDXTimer можно включить генерацию сообщений, поступающих от системного таймера Windows с заданной периодичностью (в миллисекундах) и выполнять определённую часть действий именно в обработчике этого события. Это одна из возможностей многозадачности приложений Windows.

TDXDraw - Этот компонент находится на вкладке DelphiX. Он предназначен для вывода двухмерной и трёхмерной графики, используя Direct Draw и Direct X. Разрешение выводимой графики задаётся в свойстве Display. Вид курсора задаётся в свойстве Cursor. Метод DXDraw.Surface.Fill(Color) - заполняет видеостраницу цветом Color. С помощью свойства DXDraw.Surface.pixels[x, y]:=Color - ставится точка на виртуальной видеостранице. С помощью метода DXDraw.Flip - невидимая видеостраница делается видимой. Схема обрисовки изображения на двух видеостраницах: видимой и не видимой делает возможной создать анимацию без мерцания изображения.

5. Методы создания программы

Для создания трёхмерных объектов необходимо уметь преобразовывать трёхмерную графику в двухмерную. Ведь процедура вывода точки имеет только две координаты, задающие положение точки (x, y), следовательно, реально имеется дело с двухмерной графикой. Для начала следует принять систему трёхмерных координат:

Рисунок 3

Здесь буквами x, y, z обозначены положительные направления осей Ox, Oy и Oz соответственно. Также предполагается, что камера неподвижна и находится в точке с координатами (0,0,-dist), ось зрения камеры направлена по оси Oz, а именно в точку (0,0,0) (т.е. camera target = (0,0,0)), ось Ox с точки зрения камеры направлена слева направо, ось Oy - снизу вверх, ось Oz - вглубь экрана. Размер экрана - xSize на ySize пикселей.

Здесь и далее используются обозначения:

Для созданя трёхмерных объектов необходимы примитивы. Такими примитивами являются элементарные трёхмерные объекты - треугольные грани. У каждой треугольной грани есть три вершины - три точки, имеющие трёхмерные координаты. Чтобы спроецировать их на плоскость, т. е. из трёхмерных координат x,y,z получить двухмерные sx, sy надо пользоваться формулой:

sx = xSize/2+x*dist/(z+dist); sy = ySize/2-y*dist/(z+dist);

5.1 Матричные преобразования

В этой главе кратко представлены элементарные понятия о матричных преобразованиях, являющихся составной частью линейной алгебры, и дискретной математики (см. раздел Группы).

Введем несколько терминов. n-мерный вектор, он же вектор размерности n, он же вектор размера n: упорядоченный набор n действительных чисел. Матрица размера m на n (будет обозначаться как m*n, mxn): таблица размера m на n, в каждой клетке которой - действительное число.

Вот пример матрицы 3x3:

[ 15 y*z 0.6 ]

[ 7 -3 91 ]

[ sin(x) 0.123 exp(t) ]

Вектор будем записывать в столбик и рассматривать его как матрицу размера n*1.

Операция скалярного произведения векторов: определена для двух векторов одинаковых размеров. Результат есть число, равное сумме произведений соответствующих элементов векторов. Пример:

[ 1 ] [ 4 ]

[ 2 ] * [ 5 ] = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32

[ 3 ] [ 6 ]

Операция векторного произведения: определена для (n-1) вектора одинакового размера n. Результат - вектор, причем, перпендикулярный всем множителям.

Замечание: результат меняется от перестановки мест множителей!

Формально определяется как определитель матрицы, первая строка которой есть все базисные вектора, а все последующие - соответствующие координаты всех множителей. Поскольку она необходима только для 3D пространства, мы определим векторное произведение двух 3D векторов явно:

[ Ax ] [ Bx ] | i j k | [ Ay*Bz-Az*By ]

AxB = [ Ay ] x [ By ] = | Ax Ay Az | = [ Az*Bx-Ax*Bz ]

[ Az ] [ Bz ] | Bx By Bz | [ Ax*By-Ay*Bx ]

Операция сложения двух матриц: определена для матриц одинаковых размеров. Каждый элемент суммы (то есть, каждое число в таблице) равняется сумме соответствующих элементов слагаемых-матриц. Пример:

[ 1 x 500 ] [ 8 a 3 ] [ 9 a+x 503 ]

[ 2 y 600 ] + [ 9 b 2 ] = [ 11 b+y 602 ]

[ 3 z 700 ] [ 10 c 1 ] [ 13 c+z 701 ]

Операция умножения матрицы на число: определена для любой матрицы и любого числа; каждый элемент результата равняется произведению соответствующего элемента матрицы-множителя и числа-множителя.

Операция умножения двух матриц: определена для двух матриц таких размеров a*b и c*d, что b = c. Например, если b = c, но a d, то при перестановке множителей операция будет вообще не определена. Результатом умножения матрицы A размером a*b на матрицу B размером b*d будет матрица C размером a*d, в которой элемент, стоящий в строке i и столбце j, равен произведению строки i матрицы A на столбец j матрицы B. Произведение строки на столбец определяется как сумма произведений соответствующих элементов строки и столбца. Например, умножение строки на столбец (они должны быть равной длины, поэтому и такие ограничения на размеры матриц):

[ 4 ]

[ 1 2 3 ] * [ 5 ] = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32

[ 6 ]

А чтобы перемножить две матрицы, надо эту операцию проделать для каждого элемента. Вот пример:

[ 1 2 3 ] [ 0 3 ] [ 1*0+2*1+3*2 1*3+2*4+3*5 ]

[ 4 5 6 ] * [ 1 4 ] = [ 4*0+5*1+6*2 4*3+5*4+6*5 ] = ...

[ 7 8 9 ] [ 2 5 ] [ 7*0+8*1+9*2 7*3+8*4+9*5 ]

Умножение и сложение матриц обладают почти тем же набором свойств, что и обычные числа, хотя некоторые привычные свойства не выполняются (например, A*B B*A); на самом деле требуется знать, что произведение вида A*B*C*D*... не зависит от того, как расставить скобки. Или, что

A*(B*C) = (A*B)*C.

Любое движение (то есть преобразование пространства, сохраняющее расстояние между точками) в трехмерном пространстве, согласно теореме Шаля, может быть представлено в виде суперпозиции поворота и параллельного переноса, то есть последовательного выполнения поворота и параллельного переноса. Поэтому основная часть информация о поведении объекта - это его смещение, ось поворота и угол поворота. Поэтому нам достаточно знать, как сделать два преобразования - перенос и поворот.

Перенос точки (точки будут также рассматриваться как вектора с началом в начале координат и концом в собственно точке) с координатами (x,y,z) на вектор (dx,dy,dz) делается простым сложением всех координат. То есть результат - это (x+dx,y+dy,z+dz). Подобно сложению вектора-точки с вектором-переносом.

Рассмотрим для примера поворот точки (x,y,z) относительно оси z. В этом случае z не меняется, а (x,y) меняются так же, как и при 2D повороте относительно начала координат.

Покажем координаты точки A' - результата поворота A(x,y) на угол alpha (рис. 4).

Рисунок 4

Пусть r = sqrt(x*x+y*y). Пусть угол AOx равен phi, тогда из рисунка видно, что cos(phi) = x/r, sin(phi) = y/r. Угол A'OA равен по условию alpha. Отсюда

x' = r*cos(alpha+phi) = r*(cos(alpha)*cos(phi)-sin(alpha)*sin(phi)) =

= (r*cos(phi))*cos(alpha)-(r*sin(phi))*sin(alpha) =

= x*cos(alpha)-y*sin(alpha)

y' = r*sin(alpha+phi) = r*(cos(alpha)*sin(phi)+sin(alpha)*cos(phi)) =

= (r*cos(phi))*sin(alpha)+(r*sin(phi))*cos(alpha) =

= x*sin(alpha)+y*cos(alpha)

Для трехмерного случая, таким образом

x' = x*cos(alpha)-y*sin(alpha)

y' = x*sin(alpha)+y*cos(alpha)

z' = z

Аналогичные формулы получатся и для других осей поворота (то есть Ox, Oy). Поворот относительно произвольной оси, проходящей через начало координат, можно сделать с помощью этих поворотов - сделать поворот относительно Ox так, чтобы ось поворота стала перпендикулярна Oy, затем поворот относительно Oy так, чтобы ось поворота совпала с Oz, сделать поворот, а затем обратные повороты относительно Oy и Ox.

Вспомним о матрицах и векторах и внимательно посмотрим на выведенные формулы для поворота. Можно заметить, что

[ x' ] = [ cos(alpha) -sin(alpha) 0 ] [ x ]

[ y' ] = [ sin(alpha) cos(alpha) 0 ] [ y ]

[ z' ] = [ 0 0 1 ] [ z ]

То есть поворот на угол alpha задается одной и той же матрицей, и с помощью этой матрицы (умножая ее на вектор-точку) можно получить координаты повернутой точки. С одной стороны умножение матрицы на вектор требует больше операций, чем расчет x' и y' по формулам.

Нос другой удобство матриц для заключается как раз в свойстве

A*(B*C) = (A*B)*C. Пусть делается несколько поворотов подряд, например, пять (столько, сколько надо для поворота относительно произвольной оси), и пусть они задаются матрицами A, B, C, D, E (A - матрица самого первого поворота, E - последнего). Тогда для вектора p мы получаем

p' = E*(D*(C*(B*(A*p)))) = E*D*C*B*A*p = (E*D*C*B*A)*p = (E*(D*(C*(B*A))))*p = T*p,

где T = (E*(D*(C*(B*A)))) матрица преобразования, являющегося комбинацией пяти поворотов. Посчитав один раз эту матрицу, можно в дальнейшем применить довольно сложное преобразование из пяти поворотов к любому вектору с помощью всего одного умножения матрицы на вектор.

Таким образом, можно задать любой поворот матрицей, и любая комбинация поворотов также будет задаваться матрицей, которую можно довольно легко посчитать. Но есть еще параллельный перенос и масштабирование.

На самом деле, эти преобразования тоже легко записываются в виде матриц. Только вместо матриц 3x3 и 3-мерных векторов используются так называемые однородные 4-мерные координаты и матрицы 4x4. При этом вместо векторов вида

[ x ]

[ y ]

[ z ]

используются вектора вида

[ x ]

[ y ]

[ z ]

[ 1 ]

а вместо произвольных матриц 3x3 используются матрицы 4x4 такого вида:

[ a b c d ]

[ e f g h ]

[ i j k l ]

[ 0 0 0 1 ]

Видно, что если d = h = l = 0, то в результате применения всех операций получается то же самое, что и для матриц 3x3.

Матрица параллельного переноса теперь определяется как

[ 1 0 0 dx ]

[ 0 1 0 dy ]

[ 0 0 1 dz ]

[ 0 0 0 1 ]

Матрицу масштабирования можно определить и для матриц 3x3, и для матриц 4x4:

[ kx 0 0 ] [ kx 0 0 0 ]

[ 0 ky 0 ] или [ 0 ky 0 0 ]

[ 0 0 kz ] [ 0 0 kz 0 ]

[ 0 0 0 1 ]

где kx, ky, kz - коэффициенты масштабирования по соответствующим осям.

Таким образом, получаем следующее. Любое нужное нам преобразование пространства можно задать матрицей 4x4 определенной структуры, разной для разных преобразований. Результат последовательного выполнений нескольких преобразований совпадает с результатом одного преобразования T, которое также задается матрицей 4x4, вычисляемой как произведение матриц всех этих преобразований. Важен порядок умножения, так как A*B B*A. Результат применения преобразования T к вектору [ x y z ] считается как результат умножения матрицы T на вектор [ x y z 1 ].

Докажем на примере, что A*B B*A. Пусть A - матрица переноса, B - поворота. Если сначала перенести объект, а потом повернем относительно центра координат (это будет B*A), то результат не будет соответствовать результату, при котором сначала объект поворачивают, а затем переносят (A*B).

5.2 Создание одноцветного треугольника

Изображение треугольника на экране - набор горизонтальных отрезков, причем из-за того, что треугольник - фигура выпуклая, каждой строке экрана соответствует не более одного отрезка. Поэтому достаточно обойти все строки экрана, с которыми пересекается треугольник, (то есть, от минимального до максимального значения (y) для вершин треугольника), и нарисовать соответствующие горизонтальные отрезки.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5