Программный кодер-декодер для циклических (n,k)-кодов

3

18

Кафедра Автоматики и Информационных Технологий

Лабораторная работа

"ПРОГРАММНЫЙ КОДЕР-ДЕКОДЕР ДЛЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ (n, k) - КОДОВ"

Преследуемые цели

Проведение лабораторных работ по данной тематике преследует следующие цели:

закрепление теоретического материала, касающегося основных положений математической теории линейных (n, k) - кодов;

осознание механизма кодирования пакетов данных при передаче файлов;

практическое освоение алгоритмов кодирования и декодирования применительно к циклическим (n, k) - кодам.

Необходимые сведения из теории

Известно, что циклические коды из всех помехоустойчивых кодов находят наибольшее применение на практике.

Циклические коды представляют собой подкласс (подмножество) линейных (n, k) - кодов. Это значит, что все положения теории, которые справедливы для нециклических линейных (n, k) - кодов, справедливы и для кодов циклических. Но циклические коды обладают рядом дополнительных положительных свойств, в частности, они «остро реагируют» на близко расположенные в кодовом слове ошибки, так называемые «пачки ошибок». Кроме того, для них найдены чрезвычайно простые алгоритмы кодирования и декодирования. Все это и обеспечило им широкое применение на практике. Их применение оговорено многими международными стандартами, регламентирующими работу каналов передачи.

Для описания циклических кодов параллельно используется представление кодовых слов и двоичным вектором, и многочленом от некоторой формальной переменной x. Постоянно приходится переходить от одной формы представления к другой. Одну и ту же двоичную последовательность обозначим V, если она рассматривается как вектор, или V(x), если она интерпретируется как многочлен.

2.1 Конструктивное определение циклического (n, k) - кода

Циклическим (n, k) - кодом называется множество многочленов степени не больше (n_1), каждый из которых нацело делится на (специально подобранный) порождающий многочлен G(x) степени (n-k), являющийся делителем бинома xn+1.

Циклический код со словами длины n и с порождающим многочленом G(x) существует тогда и только тогда, когда G(x) делит xn+1 Здесь и всюду далее операции суммирования выполняются по mod2.. В лекционном курсе было показано, что это требование делимости бинома xn+1 на G(x) вытекает из специфики определения операции символического умножения многочленов (по модулю бинома xn+1). Для того, чтобы максимизировать множество слов порождаемого кода при фиксированных значениях длины слов n и кодового расстояния d0, многочлен G(x) должен быть неприводимым делителем степени (n-k).

2.2 Алгоритм кодирования

На практике чаще всего применяется алгоритм кодирования, который формирует систематический разделимый код. В основу такого алгоритма положена операция деления на G(x). Систематические разделимые коды привлекательны тем, что процедуру кодирования, т.е. преобразования информационного вектора A (длины k) в вектор кода V (длины n>k) удается свести лишь к формированию (n-k) контрольных бит.

Шаг 1. Предварительно вектор A «отнормируем по формату» под длину n, воспользовавшись операцией умножения многочленов A(x)xn-k. Как было показано в лекционном курсе - это эквивалентно сдвигу вектора A на (n-k) позиций влево. Произведение многочленов на языке векторов имеет длину n. Существенно для последующего, что правые (n-k) позиций оказываются непременно нулевыми.

Шаг 2. Произведение A(x)xn-k разделим на G(x). Ясно, что в общем случае оно не обязано делиться на G(x) нацело. Поэтому следует записать

A(x)xn-k=Q(x)G(x)+R(x),

где Q(x) частное от деления;

R(x) остаток. Это многочлен степени не больше (n-k_1), т. к. делитель имеет степень (n-k) по определению. Как вектор он имеет длину (n-k).

Шаг 3. Перенесём остаток R(x) в левую часть равенства. Получим:

A(x)xn-k+R(x)=Q(x)G(x).

Теперь в левой части мы получаем многочлен, который нацело делится на G(x), а это по определению - многочлен, принадлежащий циклическому (n, k) - коду. В этой последней операции остаток R складывается с нулями (см. шаг1 алгоритма). Следовательно, конечный итог эквивалентен конкатенированию R к вектору А.

2.3 Алгоритм декодирования

Известно несколько алгоритмов декодирования циклических (n, k) - кодов. В данной лабораторной работе исследуется «декодирование по синдрому», роль которого (синдрома) играет остаток от деления декодируемого многочлена F(x) на G(x). Декодирование может производиться с целью только обнаруживать ошибки или с целью исправлять ошибки кратности до t включительно. В любом случае цель достигается в несколько шагов алгоритма.

2.3.1 Декодирование с обнаружением ошибок

Шаг 1. Вычисление остатка R(x);

Шаг 2. Анализ остатка «на ноль». Нулевой остаток означает, что ошибки не обнаружены;

2.3.2 Декодирование с исправлением ошибок

Шаг 1. Вычисление остатка R(x);

Шаг 2. Вычисление по найденному остатку предполагаемого (наиболее вероятного) многочлена ошибки Е(х);

Шаг 3. Исправление декодируемого вектора F путем суммирования F+E=V;

3. Параметры исследуемых кодов

Чтобы трудоемкость лабораторных работ согласовать с отпущенным временем, исследуются короткие (по меркам практики) коды. Параметры кодов приведены в таблицах 1 - 3.

Согласуйте с преподавателем номер варианта, с которым Вы будете работать. Программы CODER и DECODER следует писать для одного варианта кода.

Таблица №1. Варианты заданий для (n, k) - кодов с длиной слова n=15

Таблица №2. Варианты заданий для (n, k) - кодов с длиной слова n=31

Таблица №3. Варианты заданий для (n, k) - кодов с длиной слова n=63

Страницы: 1, 2