может существовать (быть единственным или неединственным) или не существовать, а сколь угодно малые изменения измеряемых параметров могут приводить к сколь угодно большим изменениям решения [2]. По существу f отображает множество различных решений в пространстве оцениваемых параметров в неразличимое множество измерений в пространстве наблюдений.

Для некорректной модели режима требуется уточнить понятие «решение». Среди множества решений (1.15) естественно выбрать наиболее близкое к априорным данным и одновременно доставляющее измеряемым параметрам режима значения, близкие к измеренным . Если выбрать в качестве меры близости евклидову длину вектора, то этим требованиям отвечает решение, доставляющее минимум

, . (1.17)

Первое слагаемое (аналог обобщенного решения) характеризует близость измеренных и расчетных f(x) значений, второе слагаемое (аналог нормального решения) - близость априорных данных и решения x. Назначение параметра регуляризации - согласование меры близости в пространстве оцениваемых параметров и меры близости в пространстве наблюдений (косвенно решается проблема согласования области определения и области значений).

Решение, доставляющее минимум (1.17), называется обобщенным нормальным решением, а метод, реализующий этот критерий, - методом обобщенной нормальной оценки (МОНО).

Параметр регуляризации обобщенно учитывает статистические свойства измерений и априорных данных, его значение задается априори как

где: - дисперсия измерений; - дисперсия задания априорных данных.

При таком выборе параметра регуляризации МОНО дает неухудшающуюся, устойчивую к погрешности измерений и к изменениям параметра регуляризации оценку, а верхняя норма матрицы ковариации ошибок оценки оказывается минимальной.

В качестве априорной информации, используемой при оценке состояния реальной ЭЭС, можно использовать:

1) результаты предыдущей оценки;

измеренные значения напряжений (их номинальные значения); ограниченность фаз узловых напряжений ( 0).

Второй случай менее благоприятен. Часть априорных данных (например, измеренные напряжения) принадлежит области определения, другая часть (например, фазы узловых напряжений) может и не принадлежать к ним. Достоверность таких данных различна, полученная оценка параметра регуляризации находится в широком диапазоне (10105) [2]. Целесообразно для каждой группы априорных данных ввести свои весовые коэффициенты:

а) CU1 - для измеренных напряжений;

б) CU2 - для номинальных напряжений (если измерений не проводилось);

в) С - для фаз узловых напряжений.

Тогда критерий оценки перепишется в виде

,

где: - диагональная матрица с вышеуказанными весовыми коэффициентами, - априорные данные (для фаз узловых напряжений это значения на к-ой итерации).

Для реальных ЭЭС: CU1 =10-2, CU2 =10-4, C =1, и диапазон изменения параметра регуляризации сужается: 103<<105 [2]

1.5 Численные методы решения

Принимая во внимание все выше сказанное, в конечном счете задача оценивания состояния ЭЭС сводится к решению экстремальной задачи

 (1.18)

по итерационной формуле

, (1.19)

где: k - номер итерации; - направление продвижения на (к+1) - ой итерации из точки хк; - коэффициент, определяющий длину шага в направлении ; - приращение на к-ой итерации; начальное приближение задается.

В результате решения (1.19) будет получена последовательность с определенными свойствами.

Для выбранной модели режима и построенного критерия оценки эффективность алгоритма оценки состояния ЭЭС определяется свойствами численного метода решения (1.19) и характеризуется такими критериями, как: скорость и надежность сходимости, точность решения, время счета, сложность алгоритма, требуемый объем оперативной памяти ЭВМ и т.д.

Численные методы решения (1.19) используют ту или иную аппроксимацию либо целевой функции

(1.20)

либо вектор-функции f(x). Наибольшее распространение получил метод Ньютона-Рафсона, в котором используется разложение в ряд Тейлора нелинейной вектор-функции f(x) в окрестности произвольной точки хк до членов первого порядка малости включительно

f (x) = f (xk) + fx (xk) (x - xk). (1.21)

Подстановка (1.21) в (1.20) дает:

Из необходимого условия минимума следует:

,

тогда приращение на к-ой итерации находится

,

где нижний индекс указывает, по какому вектор-аргументу осуществляется дифференцирование; x - x k = x k; x, x k - достаточно близкие точки.

Итерационный процесс (1.19) продолжается до достижения заданной точности расчетов :

x k .

Для уменьшения времени счета проверку можно производить только для модулей узловых напряжений.

Наличие стабилизирующей функции позволяет получить решение независимо от начального приближения, итерационный процесс сходится за две-четыре итерации, а число итераций в основном определяется качеством ТИ и «тяжестью» режима [2].

Оценка, вообще говоря, зависит от параметра регуляризации . При завышенных значениях возможно появление т.н. эффекта сглаживания, который может быть ослаблен, если воспользоваться следующим подходом.

Пусть на к-ом шаге методом Ньютона-Рафсона получена оценка хК и приращение хК. Величина шага в направлении хК может быть выбрана из условия достижения минимума суммы квадратов небалансов мощностей, т.е.

Приравняв к нулю и выразив из этого равенства , получим

.

Итерационный процесс, реализованный по формуле

, (1.22)

продолжается до тех пор, пока не будет нарушено условие

,

где характеризует скорость уменьшения суммы квадратов небалансов мощностей (обычно принимается равной 0.99).

Метод Ньютона-Рафсона по параметру целесообразно использовать в двух случаях:

а) когда имеются точные значения измеряемых параметров режима у;

б) когда возникают затруднения с оценкой числового значения .

Учитывая вышеперечисленные достоинства метода обобщенной нормальной оценки, естественно будет использовать его в дальнейшем для оценки состояния ЭЭС.

1.6 Вычислительные аспекты

Специфические особенности ЭЭС и МОНО играют решающую роль в рациональной организации вычислительного процесса.

Используемые при оценке состояния ЭЭС матрицы - матрица узловых проводимостей, матрица частных производных, матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений

(1.23)

содержат незначительное число ненулевых элементов, т.е. являются разреженными: значительного сокращения времени счета и существенной экономии используемого объема оперативной памяти ЭВМ можно добиться, если хранить ненулевые элементы и оперировать с ними.

Память, используемая для хранения разреженных матриц, состоит из двух частей: основной, содержащей числовые значения, и накладной, предназначенной для хранения информации о местоположении в матрице хранимых значений. Чем сложнее схема хранения, тем больше накладная память и меньше основная, и наоборот. Время доступа к числовым значениям и, следовательно, время счета зависит также от схемы хранения. Процесс вычислений при статичной схеме хранения, эффективный в смысле требований к памяти и времени счета, может потребовать катастрофических накладных расходов при динамичном изменении схемы хранения. Из вышесказанного следует, что схему хранения желательно выбирать с учетом процесса вычислений.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений вида (1.23)

(1.24)

( , )

используется метод Гаусса или его модификации. В методе Гаусса система уравнений (1.24) решается в два хода - прямой и обратный. При прямом ходе матрица коэффициентов приводится к верхней треугольной форме. Для этого к системе (1.24) с t неизвестными применяется (t -1) - шаговый процесс исключения неизвестных. В результате на (t -1) - ом шаге будет получена треугольная система:

(1.25)

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении неизвестных из (1.25), начиная с последнего уравнения.

Рассмотренные преобразования удобно реализовать в матричном виде. Если обозначить матрицу коэффициентов (1.25)

 (1.26)

и ввести матрицу преобразований на r - том шаге

(1.27)

то

. (1.28)

Операция обращения матрицы преобразования (1.27) равносильна инвертированию недиагональных элементов, а произведение нижних треугольных матриц дает такую же матрицу, поэтому

(1.29)

где

 (1.30)

Выражение (1.29) - т. н. LU - разложение матрицы А в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U.

Замена z=Uh показывает, что h можно получить, решая треугольные системы:

Lz=b (1.31)

Uh=z (1.32)

Выражение (1.31) - матричная запись заключительной части прямого хода метода Гаусса (пересчета свободных членов), а (1.32) - матричная запись обратного хода. Для симметричной матрицы

где D - диагональная матрица с элементами

i=1,2…., t,

разложение

(1.33)

называется - разложением.

Допущение относительно диагональных элементов (), называемых главными, существенно. В противном случае для обеспечения численной устойчивости необходима та или иная форма выбора главного элемента, т.е. перестановки строк и (или) столбцов. Эти перестановки определяются в процессе решения системы уравнений путем компромисса между требованиями численной устойчивости и сохранением разреженности. Для разреженных матриц общего вида нельзя установить порядок исключения неизвестных, пока не начались собственно вычисления. Более того, такой выбор главного элемента может привести к крайне нежелательному росту числа ненулевых элементов.

Одно из основных достоинств МОНО состоит в том, что гауссово исключение не требует выбора главных элементов для поддержания численной устойчивости. Это означает, что матрицу коэффициентов можно переупорядочить, не заботясь о численной устойчивости, причем до начала численного решения: выбирается такая последовательность исключения неизвестных, которая приводит к появлению минимального числа ненулевых элементов. Еще одна важная особенность такого выбора исключаемой переменной состоит в симметричном переупорядоченииматрицы коэффициентов - имеет место симметричная перестановка строк и столбцов [1].

Отмеченные особенности, присущие только МОНО именно в силу самого выбора параметра регуляризации, имеют далеко идущие практические последствия. Если порядок исключения неизвестных не зависит от результатов реального процесса вычислений, то наиболее трудоемкая часть расчетов, связанная с формированием структуры начального заполнения матрицы коэффициентов, ее упорядочением, резервированием места для новых ненулевых элементов, появляющихся в процессе реальных вычислений, может и должна выполняться вне реального времени на подготовительном этапе. Схема хранения должна обеспечивать высокую эффективность вычислений в реальном времени, оставаясь при этом статичной. В реальном времени реализуются вычисления, связанные с формированием и решением системы уравнений.

Т.к. матрица коэффициентов симметрична, достаточно пересчитывать и хранить только ее верхнюю треугольную часть. Если для каждой строки имеется список столбцов с ненулевыми элементами, то он полностью определяет, в каких строках элементы каких столбцов пересчитываются. Для удобства поиска в этом списке индексы столбцов желательно располагать в порядке возрастания. Например, если на r_ом шаге в r_ой строке ненулевые элементы находятся в столбцах r, s, q, то пересчитываются коэффициенты в s_ой (в столбцах s и q) и в q_ой (в столбце q) строках.

В матрице частных производных каждому i_му узлу соответствует два столбца 2i_1, 2i, а в матрице коэффициентов А - блочная матрица второго порядка:

.

Измерению ветви (i, j) соответствуют четыре ненулевые блочные матрицы: Ai i, Ai j, Aj i, Aj j (i < j). .

Для каждого такого блока местоположение всех четырех элементов однозначно определяется номером строки и номером столбца блока, что равносильно указанию места установки измерительного датчика. Аналогично, номер узла и список смежных с ним узлов определяют блоки ненулевых элементов для измерения в r_ом узле.

Элементы матрицы коэффициентов хранятся блоками по строкам. Для каждого блока ненулевых элементов номер столбца указывается в массиве «индексы столбцов». Местоположение первого блока каждой строки задается в массиве «указатель индексов строк» [1]. Блочное представление дает существенную экономию памяти как при хранении, так и при формировании системы уравнений. В действительности кодировка расстановки ТИ непосредственно определяет местоположение блоков ненулевых элементов в схеме хранения, следовательно, отпадает необходимость запоминания промежуточных результатов (матрицы частных производных).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11