Рішення задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни „Інформатика”

Рішення задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8

(варіант №7)

Виконав студент групи____________________

______________________

До захисту__________________200 __року

Викладач_______________________________

Дніпропетровськ

2010

Зміст

Вихідні дані завдань варіанту №7

1. Завдання №1

1.1. Задача 1.1 (вар. №7)

1.2. Задача 1.2 (вар. №7)

2. Завдання №2

2.1. Задача 2.1 (вар. №7)

2.2. Задача 2.2 (вар. №7)

3. Завдання №3

3.1. Задача 3.1 (вар. №7)

3.2. Задача 3.2 (вар. №7)

4. Завдання №4

4.1. Задача 4.1 (вар. №7)

4.2. Задача 4.2 (вар. №7)

5. Завдання №5

5.1. Задача 5.1 (вар. №7)

5.2. Задача 5.2 (вар. №7)

6. Завдання №7

6.1. Задача 6.1 (вар. №7)

6.2. Задача 6.2 (вар. №7)

7. Завдання №7

7.1. Задача 7.1 (вар. №7)

7.2. Задача 7.2 (вар. №7)

8. Завдання №8

8.1. Задача 8.1 (вар. №7)

8.2. Задача 8.2 (вар. №7)

9. Завдання №9

9.1. Задача 9.1 (вар. №7)

9.2. Задача 9.2 (вар. №7)

10. Завдання №10

10.1. Задача 10.1 (вар. №7)

10.2. Задача 10.2 (вар. №7)

11. Завдання №11

Список використаної літератури

Вихідні дані завдань варіанту №7

1. Завдання №1

1.1 Задача 1.1 (вар. №7)

Спростити вираз

Розв'язання.

Алгебраїчні перетворення в Maple проводяться за допомогою вбудованих функцій елементарних перетворень таких як simplify - спростити, expand - розкрити дужки, factor -розкласти на множники, normal - привести до спільного знаменника, combine-перетворення ступеня, collect-привести подібні члени, rationalize - позбавитися від ірраціональності в знаменнику.

> (3*x^4-10*a*x^3+22*a^2*x^2-24*a^3+10*a^4)/(x^2-2*a*x+3*a^2);

Позначимо чисельник через u1

> u1:=3*x^4-10*a*x^3+22*a^2*x^2-24*a^3+10*a^4;

Позначимо знаменник через u2

> u2:=x^2-2*a*x+3*a^2;

Спрощуємо знаменник u2: збираємо повний квадрат

> with(student):completesquare(u2,x);

Спрощуємо чисельник u1

> simplify(u1);

Розкладаємо чисельник u1 на множники

> factor(u1);

Перетворюємо степені в чисельнику u1

> combine(u1);

Приводимо подібні члени в чисельнику u1 відносно a

> collect(u1,a);

Приводимо подібні члени в чисельнику u1 відносно x

> collect(u1,x);

Збираємо повний квадрат в числівнику u1

> with(student):completesquare(u1,x);

Відповідь: жодна функція елементарних перетворень simplify, factor, combine, collect, completesquare не працює, тому є всі підстави вважати, що в умову задачі вкралася помилка.

1.2 Задача 1.2 (вар. №7)

Спростити вираз

Розв'язання.

> (sqrt(a)+(b-sqrt(a)*sqrt(b))/(sqrt(a)+sqrt(b)))/(a/ (sqrt(a)* sqrt(b)+b) + b/(sqrt(a)*sqrt(b)-a)-(a+b)/(sqrt(a)*sqrt(b)));

Чисельник дробу позначимо через w1

> w1:=sqrt(a)+(b-sqrt(a)*sqrt(b))/(sqrt(a)+sqrt(b));

Позбавляємося від ірраціональності в чисельнику w1

> w1:=rationalize(w1);

Знаменник дробу позначимо через w2

> w2:=a/(sqrt(a)*sqrt(b)+b)+b/(sqrt(a)*sqrt(b)-a)-(a+b)/a^(1/2)/ b^(1/2);

Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику w2

> w2:=rationalize(w2);

Скорочуємо дріб: ділимо чисельник w1 на знаменник w2

> w3:=w1/w2;

Спрощуємо останній вираз і дістаємо відповідь

> simplify(w3);

Відповідь:

2. Завдання №2

2.1 Задача 2.1 (вар. №7)

Спростити вираз, а потім знайти чисельне значення цього виразу при a=1/16,b=1/81

Розв'язання.

> (a-b)/(a^(3/4)+sqrt(a)*b^(1/4))-(a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4));

Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках

>rationalize((-b+a)/(a^(3/4)+sqrt(a)*b^(1/4)))-rationalize((-sqrt(b)+sqrt(a))/(a^(1/4)+b^(1/4))) ;

Приводимо дробі до спільного знаменника (останній результат Maple зберігає під ім'ям %)

> normal(%);

Спрощуємо вираз

> simplify(%);

Підставляємо а=1/16, b=1/81 в останній вираз

> subs(a=1/16,b=1/81,%);

Спрощуємо вираз

> simplify(%);

Відповідь: 2/27.

2.2 Задача 2.2 (вар. №7)

Спростити вираз, а потім знайти чисельне значення цього виразу при x=1/2

Розв'язання.

> (sqrt(2)/(1-x^2)^(-1)+2^(3/2)/x^(-2))/(x^(-2)/(1+x^(-2)));

Спрощуємо останній вираз

> simplify(%);

Підставляємо x=1/2 в останній вираз

> subs(x=1/2,%);

Відповідь:

3. Завдання №3

3.1 Задача 3.1 (вар. №7)

Скоротити наступну дріб

Розв'язання.

>(a^2+6*a-91)/(a^2+8*a-105);

Позначимо чисельник дробу через а1

> a1:=a^2+6*a-91;

Розкладаємо чисельник на множники

> a1:=factor(a1);

Позначимо знаменник дробу через а2

> a2:=a^2+8*a-105;

Розкладаємо знаменник на множники

> a2:=factor(a2);

> a3:=a1/a2;

Відповідь:

3.2 Задача 3.2 (вар. №7)

Скоротити наступну дріб

Розв'язання.

>(x*sqrt(y)-y*sqrt(x))/(sqrt(x)-sqrt(y))/(sqrt(x)*sqrt(y));

Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику

> rationalize(%);

Розкриваємо дужки

> expand(%);

Спрощуємо вираз

> simplify(%);

Відповідь: 1.

4. Завдання №4

4.1 Задача 4.1 (вар. №7)

Розв'язати рівняння 1-й степені

Вбудована функція, призначена для розв'язань рівнянь і нерівностей, має вигляд: >solve(рівняння або нерівність, змінна);

Розв'язання.

>(7*x+4)/5-x=abs((3*x-5)/2);

Позначимо рівняння через eq

>eq:=(7*x+4)/5-x-sqrt(((3*x-5)/2)^2)=0;

Розв'язуємо рівняння відносно змінної x

>solve(eq,{x});

Зробимо перевірку: підставляємо в рівняння eq розв'язок x=3

>subs(x=3,eq);

Підставляємо в рівняння eq розв'язок x=17/19

>subs(x=17/19,eq);

Обчислюємо останній вираз

>evalf(%);

Відповідь: 3; 17/19.

4.2 Задача 4.2 (вар. №7)

Розв'язати рівняння 1-й степені

Розв'язання.

> 1-8/(x-4)-5/(3-x)-(8-x)/(x+2)=0;

Позначимо рівняння через eq

> eq:=1-8/(x-4)-5/(3-x)-(8-x)/(x+2)=0;

Розв'язуємо рівняння відносно змінної x

> solve(eq,{x});

Зробимо перевірку: підставляємо розв'язок x = 8 в рівняння eq

> subs(x=8,eq);

Підставляємо розв'язок x = 7/4+1/4*I*sqrt(15) в рівняння eq

> subs(x = 7/4+1/4*I*sqrt(15),eq);

Спрощуємо

> simplify(%);

Підставляємо розв'язок x = 7/4-1/4*I*sqrt(15) в рівняння eq

> subs(x = 7/4-1/4*I*sqrt(15),eq);

Спрощуємо

> simplify(%);

Відповідь: 8; 7/4+1/4*I*sqrt(15); 7/4-1/4*I*sqrt(15).

5. Завдання №5

5.1 Задача 5.1 (вар. №7)

Розв'язати систему рівнянь з двома невідомими

Розв'язання.

> abs(x-1)+abs(y-5)=1;abs(x-1)-abs(y-5)=0;

Позначимо систему рівнянь через sistema

> sistema:={sqrt((x-1)^2)+sqrt((y-5)^2)=1,sqrt((x-1)^2)-sqrt((y-5)^2)=0};

Розв'язуємо систему відносно змінних x, y

> s:=solve(sistema,{x,y});

Для перевірки розв'язання можна використати функцію map( ) разом з функцією subs( ), яка за одну операцію виконує перевірку всіх розв'язків

>map(subs,[s],sistema);

Відповідь: (3/2, 9/2), (1/2, 9/2), (3/2, 11/2), (1/2, 11/2).

5.2 Задача 5.2 (вар. №7)

Розв'язати систему рівнянь з двома невідомими

Розв'язання.

>(x^2+y+1)/(y^2+x+1)=3/2;x-y=1;

Позначимо систему рівнянь через sistema

>sistema:={(x^2+y+1)/(y^2+x+1)=3/2,x-y=1};

Розв'язуємо систему рівнянь відносно x,y

>s:=solve(sistema,{x,y});

Зробимо перевірку: підставляємо знайдені розв'язки в систему й одержуємо тотожності

>subs(s[1],sistema);subs(s[2],sistema);

Відповідь: (2,1), (3,2).

6. Завдання №7

6.1 Задача 6.1 (вар. №7)

Побудувати графік наступної функції

Розв'язання.

> f:=1/(x^2-2*x+2);

Будуємо графік функції f: обираємо проміжок для змінної x від -1 до 2, колір - синій, товщина лінії - 3

> plot(f,x=-1..2,color=blue,thickness=3);

6.2 Задача 6.2 (вар. №7)

Побудувати графік наступної функції

Розв'язання.

> 5-x^2-y^2-x*y+abs(3-x^2-y^2+x*y)=0;

Будуємо графік неявно заданої функції за допомогою пакету plots

> with(plots):implicitplot(5-x^2-y^2-x*y+sqrt((3-x^2-y^2+x*y)^2)=0,x=-2..2,y=-2..2, color= brown, thickness=2);

> implicitplot(5-x^2-y^2-x*y+sqrt((3-x^2-y^2+x*y)^2)=0,x=-2..2,y=-10..10, color=brown, thickness=2);

7. Завдання №7

7.1 Задача 7.1 (вар. №7)

Зобразити наступну геометричну фігуру. Використаємо пакет plottools - пакет для створення та роботи з графічними об'єктами. Команда curve([[x1,y1],[x2,y2],…,[xn,yn],options) задає криву координатами своїх точок. Крива відображається лінійними сегментами, що з'єднують сусідні точки. Команда display відображає вивід графічних команд на екран.

> with(plottools): w:=curve([[1,0],[1,1/2],[1/2,1],[0,1],[-1/2,1],[-1,1/2],[-1,0],[-1,-1/2 ], [-1/2,-1], [0,-1],[1/2,-1],[1,-1/2],[1,0]],color=black, linestyle=1, thickness=2): plots[display](w);

7.2 Задача 7.2 (вар. №7)

Зобразити наступну геометричну фігуру

> with(plottools): w:=curve([[0,2],[-2,2],[-1,1],[-2,0],[-1,-1],[-2,-2],[0,-2]], color= black, linestyle=1, thickness=2): plots[display](w);

8. Завдання №8

8.1 Задача 8.1 (вар. №7)

Розв'язати рівняння 2-ї степені

Розв'язання.

> (3*x-1)*(x+2)=20;

Задаємо рівняння eq

> eq:=(3*x-1)*(x+2)-20=0;

Розв'язуємо рівняння відносно змінної x

> solve(eq,{x});

Зробимо перевірку: підставляємо розв'язок x=2 в рівняння eq

> subs(x=2,eq);

Підставляємо розв'язок x=-11/3 в рівняння eq

> subs(x=-11/3,eq);

Відповідь: 2; -11/3.

8.2 Задача 8.2 (вар. №7)

Розв'язати рівняння 2-ї степені

Розв'язання.

> 30/(x^2-1)-13/(x^2+x+1)=(7+18*x)/(x^3-1);

Задаємо рівняння eq

> eq:=30/(x^2-1)-13/(x^2+x+1)-(7+18*x)/(x^3-1)=0;

Розв'язуємо рівняння відносно змінної x

> solve(eq,{x});

Зробимо перевірку: підставляємо розв'язок x=-4 в рівняння eq

> subs(x=-4,eq);

Підставляємо розв'язок x=9 в рівняння eq

> subs(x=9,eq);

Відповідь: -4; 9.

9. Завдання №9

9.1 Задача 9.1 (вар. №7)

Привести наступний вираз до найпростішого виду

Розв'язання.

> sqrt(a)/(sqrt(a)-sqrt(b))-sqrt(b)/(sqrt(a)+sqrt(b));

Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках

> rationalize(a^(1/2)/(sqrt(a)-sqrt(b)))-rationalize(b^(1/2)/(sqrt(a)+sqrt(b)));

Розкриваємо дужки

> expand(%);

Спрощуємо

> simplify(%);

Відповідь:

9.2 Задача 9.2 (вар. №7)

Привести наступний вираз до найпростішого виду

Розв'язання.

> 1/(a+sqrt(a^2-b^2))+1/(a-sqrt(a^2-b^2));

Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках

> rationalize(1/(a+sqrt(a^2-b^2)))+rationalize(1/(a-sqrt(a^2-b^2)));

Спрощуємо вираз

> simplify(%);

Відповідь:

10. Завдання №10

10.1 Задача 10.1 (вар. №7)

Привести до раціональному виду наступний вираз

Розв'язання.

> n/(a^(1/3)-b^(1/3));

Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику

> rationalize(%);

Відповідь: .

10.2 Задача 10.2 (вар. №7)

Привести до раціональному виду наступний вираз

Розв'язання.

> a/(2+sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(6));

Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику

> rationalize(%);

Розкладаємо на множники

> factor(%);

Відповідь:

11. Завдання №11

Скласти програму, яка видає на печать таблицю значень для

Розв'язання.

> for n from 1 to 50 do n^3 end do;

Список використаної літератури

1. Аладьев В.З., Богдявичюс М.А. Решение физико-технических и математических задач с пакетом Maple V. В.:Техника, 1999. - 686 с.

2. Васильев А.Н. Maple 8. СПб.:Диалектика, 2003. - 352 с.

3. Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2004. - 688 с.

4. Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2003. - 656 с.

5. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. - СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

6. Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. - 176с.