где xi - объем денежных средств идущих на рекламу i-го типа;

n - количество типов рекламы, используемый предприятием.

Так как предприятие использует только четыре вида рекламных средств - телевиденье, радиовещание, газета, афиша-то n равно четырем.

Критерием задачи, и значит целевой функцией, является прибыль, приносимая рекламой. Нашей задачей максимизировать эту прибыль.

На основе данных, полученных из задания, можно построить целевую функцию в соответствии с формулой 2.2.

(2.2)

где W - целевая функция - прибыль от;

x1 - средства затраченные на телевизионную рекламу;

x2 - средства затраченные на радио рекламу;

x3 - средства затраченные на газетную рекламу;

x4 - средства затраченные на афишную рекламу.

В задание есть следующие ограничения: полный бюджет не должен превосходить 500 000 дол., т.е. дол.; следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не более 20% бюджета на афиши, т.е. и ; вследствие привлекательности для подростков радио на него следует расходовать, по крайней мере, половину того, что планируется на телевидение, т.е. .

Полученная система изображена на формуле (2.3).

(2.3)

Теперь надо избавиться от неравенства и перейти к равенству. Для этого введем неотрицательные фиктивные переменные, которые уравновесят не равенство (2.3).

(2.4)

На основе формул (2.1), (2.2) и (2.4), постоем математическую модель данной задача.

(2.5)

2.3 Метод решения

Существует много методов решения ЗЛП. Большинство из них предназначены для частных случаев. Графический метод - очень нагляден, но предназначен для задач, у которых количество базисных переменных не более двух. Эвристический метод может справиться с ЗЛП не традиционного вида, хотя заранее не может гарантировать результат. Транспортный метод также хорош, но применим для задач частного случая.

Наша задача является общим видом ЗЛП, поэтому необходимо решать ее универсальным методом. Таковым является симплекс метод - он решается все ЗЛП, имеющие решения.

Симплекс метод имеет следующий канонический вид математической модели.

Дано:

- n свободных переменных. Их значение мы можем выбирать сами. Предположим их равными нулю.

- m базисных переменных. Их значение определяется по линейному уравнению от свободных переменных, но т. к. свободные члены равны нулю, то базисные переменные равны значению свободных членов уравнений.

- Целевая функция выражена через линейное уравнение от свободных переменных.

Этот метод предназначен для нахождения минимума, поэтому чтобы найти максимум, надо в место использовать

Приведем математическую модель нашей задачи в каноническом виде.

(2.6)

Математическая модель одновременно является начальным опорным решением. Оно оформляется в соответствии с таблицей 2.1.

Таблица 2.1

Об оптимальности решения судят по значению коэффициентов в уравнении целевой функции. Решение оптимально только когда все значению коэффициентов в уравнении целевой функции не положительные.

Чтобы найти оптимальное решение необходимо переходить к новому базису так, чтобы коэффициентов в уравнении целевой функции стали отрицательными или нулевыми.

Переход к новому базису осуществляют по правилу прямоугольника по средствам разрешающего столбца и разрешающей строки. Разрешающий столбец берут тот, в котором коэффициентов в уравнении целевой функции больше нуля. Разрешающею строкой берут ту, в которой отношение свободного члена к числу в соответствующей строке и разрешающем столбце минимально и не отрицательно.

В итоге после нескольких переходов к новому базису мы приходим к оптимальному решению: все свободные переменные равны нулю, все базисные переменные и целевая функция равны свободным членам.

2.4 Описание программы

2.4.1 Абстрактный класс симплекс таблицы

Программа имеет на главной форме таблицу. Она предназначена только для ввода начальных условий задачи, а все вычисления проводятся в специальном созданном классе TSimplex, который интегрирует в себе как данные о состоянии таблицы, так и методы для обработки этих данных. Таким образом, все вычисления выполняются в пределах данного класса и чтобы описать принцип и алгоритм работы программы надо описать этот класс.

2.4.2 Свойства класс TSimplex

Класс TSimplex имеет следующие свойства:

- n, m: integer - соответственно число свободных и число базисных переменных;

- w, b:array of extended - массивы, содержащие соответственно свободные члены и коэффициенты целевой функции;

- wb: extended - свободный член целевой функции;

- FTit, BTit: array of string - соответственно названия свободных и базисных переменых;

- a: array of array of extended - матрица коэффициентов линейных функций базисных переменых;

- result: TNextResult - результат последней операции;

- ir, jr: integer - соответственно разрешающая строка и разрешающий столбец;

- history: TStack - история о предыдущих операциях, позволяет вернуться назад.

Для полной ячности надо описять тип TNextResult и класс TStack.

Тип TNextResult описывает результат последней операции.

TNextResult = (nrFound=0, nrOporOk, nrOporFail, nrOptimOk, nrOptimFail, nrStackEmputy),

где nrFound - найдено решение;

nrOporOk - найден способ, как заменит базис, чтобы приблизиться к опорному решению;

nrOporFail - невозможно найти опорное решение, т.е. и вся задача не имеет решения;

nrOptimOk - найден способ, как заменит базис, чтобы приблизиться к оптимальному решению;

nrOptimFail - невозможно найти оптимальное решение, т.е. и вся задача не имеет решения;

nrStackEmputy - стек с историей о предыдущих ходах пуст, т.е. невозможно сделать шаг назад.

Клас TStack - стек, хранящий историю о сделанных шагах, позволяет откатить положение вычисления назад.

TIJ = record i, j: integer end;

TStack = class

top: integer;

stackIJ: array [0..1000] of TIJ;

end;

2.4.3 Методы класса TSimplex

Класс TSimplex имеет следующие методы:

- procedure newBase - позволяет перейти к новому базису, причем разрешающая строка и разрешающий столбец указывается в свойствах ir, jr;

- function next: TNextResult - находит следующий шаг к опрорному решению или если оно найдено к оптимальному решению, причем сохраняет в свойстве history проделанный путь;

- procedure back - возвращается на один шаг назад, используя свойство history.

2.5 Решение

На основе начальных данных математической модели нашей задачи (2.6), построим симплекс таблицу в соответствии с рисунком 2.1.

Рисунок 2.1 - Опорное решение

Т.к. свободные члены не отрицательные, то это опорное решение, на основе него мы получим оптимальное решение.

Т.к. есть коэффициенты в уравнении целевой функции, которые больше нуля, то решения не оптимально и поэтому надо перейти к новому базису.

Выберем разрешающим столбцом x1 т.к. коэффициентов целевой функции в этом столбце больше нуля и больше всех остальных положительных коэффициентов целевой функции, он равен 10.

Выберем разрешающей строкой y2 т. к. отношение свободного члена к числу в соответствующей строке и разрешающем столбце минимально и не отрицательно (0 / 0,6 = 0).

Выделим разрешающий столбец, строку и элемент.

Переедем к новому базису в соответствии с рисунком 2.2 по правилу, высчитывая новые коэффициенты по правилу прямоугольника:

Рисунок 2.2 - Первый шаг

Т.к. есть коэффициенты в уравнении целевой функции, которые больше нуля, то решения не оптимально и поэтому надо перейти к новому базису.

Выберем разрешающим столбцом x3 т.к. коэффициентов целевой функции в этом столбце больше нуля и больше всех остальных положительных коэффициентов целевой функции, он равен 13,66.

Выберем разрешающей строкой y4 т.к. отношение свободного члена к числу в соответствующей строке и разрешающем столбце минимально и не отрицательно (0 / 13,66 = 0).

Выделим разрешающий столбец, строку и элемент.

Переедем к новому базису в соответствии с рисунком 2.3 по правилу, высчитывая новые коэффициенты по правилу прямоугольника:

Рисунок 2.3 - Второй шаг

Т.к. есть коэффициенты в уравнении целевой функции, которые больше нуля, то решения не оптимально и поэтому надо перейти к новому базису.

Выберем разрешающим столбцом x2 т.к. коэффициентов целевой функции в этом столбце больше нуля и больше всех остальных положительных коэффициентов целевой функции, он равен 37.

Выберем разрешающей строкой y1 т.к. отношение свободного члена к числу в соответствующей строке и разрешающем столбце минимально и не отрицательно (500000 / 5 = 100000).

Выделим разрешающий столбец, строку и элемент.

Переедем к новому базису в соответствии с рисунком 2.4 по правилу, высчитывая новые коэффициенты по правилу прямоугольника:

Рисунок 2.4 - Оптимальное решение

Т.к. есть коэффициенты в уравнении целевой функции, которые больше нуля, то это решения оптимальное.

Ответ:

Заключение

В данной курсовой я узнал об основе теории принятия решения, также научился находить решение задачи линейного программирования в общем случае.

Список используемых источников

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. и др. Исследование операций в экономике. Учебное пособие. М.: Юнити, 1997

2. Федосеев В.В., Гармаш А.Н. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: Юнити, 2001

3. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.:Высшая школа, 1986

4. Житников С.А., Биржанова З.Н. и др. Экономико-математические методы и модели. Караганда: издательство КЭУ, 1998

5. Замков О.О., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. М.: ДИС, 1997

6. Колемаев В.А. Математическая экономика. М., 1998

7. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1998

8. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М.: Наука, 1987

9. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М., 1998

10. Мельник М.М. Экономико-математические методы в планировании и управлении материально-техническим снабжением. - М.: Высшая школа, 1990

11. Нусупбеков С.И., Устенова О.Ж. Математические методы моделирования экономических систем. Алматы: Эверо, 2002

12. Спирин А.А., Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в торговле. - М.: Экономика, 1988

Страницы: 1, 2