Сравнительный анализ численных методов

46

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский государственный технический университет

Кафедра САПР

Курсовая работа

по дисциплине: Математическое обеспечение САПР

Тема: Сравнительный анализ численных методов

Караганда 2009

Содержание

Раздел 1 Решение нелинейных уравнений

1.1 Метод хорд

1.2 Метод касательных

1.3 Практическое применение метода хорд для решения уравнений

1.4 Практическое применение метода касательных для решения уравнений

1.5 Программная реализация итерационных методов

Раздел 2. Решение нелинейных уравнений методом интерполирования

2.1 Многочлен Лагранжа и обратное интерполирование

2.2 Практическое применение метода интерполяции

Раздел 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

3.1 Метод простых итераций

3.2 Метод Зейделя

3.3 Практическое применение метода простых итераций при решении СЛАУ

3.4 Практическое применение метода Зейделя при решении СЛАУ

3.5 Программная реализация итерационных методов решения СЛАУ

Раздел 4.Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования

4.1 Методы численного дифференцирования

4.2 Методы численного интегрирования

Раздел 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1 Метод Эйлера

5.2 Модификация метода Эйлера

5.3 Практическое применение метода Эйлера

5.4 Практическое применение уточненного метода Эйлера

Раздел 1. Решения нелинейных уравнений

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F(x)=0 , где F(x)-непрерывная функция,- встречается в различных областях научных исследований. Методы решения нелинейных уравнений делятся на :

прямые;

итерационные.

Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Такие методы применяются для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако, на практике встречаются уравнения, которые не удается решить простыми методами. Тогда используются итерационные методы решения, т. е. методы последовательных приближений.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:

а) отыскания приближенного значения корня (начального приближения);

б) уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

В некоторых методах отыскивается не начальное приближение, а некоторый отрезок, содержащий корень, например:(метод хорд, метод касательных). Начальное приближение может быть найдено различными способами, например - графическим методом. Если оценку исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки a и b , в которых непрерывная функция F(x) принимает значения разных знаков, т. е. F(a)>0 F(b)<0 . При выполнении этого условия, можно говорить, что между точками a и b есть, по крайней мере, одна точка, в которой F(x)=0 .

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0 . Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1 ,х2 , х3, … , хn ,… Если эти значения с ростом n стремятся к истинному значению корня

, то говорят , итерационный процесс сходится.

1.1 Метод хорд

Пусть мы нашли отрезок [a ,b] , на котором функция F(x) меняет знак. Для определенности примем F(a) >0 , F(b)<0 . В данном методе процесс итераций состоит в том , что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения х0, х1,… точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Сначала найдем уравнение хорды АВ:

Для точки пересечения ее с осью абсцисс ( y=0, ) получим уравнение

.

Далее, сравнивая знаки величин F(a) и F(x) для рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале (a, x) , так как F(a)*F(x)<0 (условие существование корня). Отрезок [x , b] отбрасываем и больше не рассматриваем. Следующая итерация состоит в определении нового приближения xn как точки пересечения хорды АВ1 с осью абсцисс и так далее.

На рисунке 1 изображена геометрическая интерпретация нахождение решения методом хорд.

Рисунок 1. Метод хорд

При решении уравнения методом хорд поводится прямая соединяющая концы отрезка [a,b]. Из двух точек А и В выбирается х0. Находится точка пересечения хорды с осью OX. Определяется значение функции в точке пересечения и из найденной точки проводится новая хорда. Этот процесс повторяется до получения необходимой точности.

Формула для n-го приближения имеет вид(х0=а , xn-1=b,xn=x):

В методе хорд условием окончания итераций является:

- условие близости двух последовательных приближений : ;

- условие малости невязки (величина F(xn) есть невязка, полученная на n-й итерации, а -число , с заданной точностью которого необходимо найти решение).

1.2 Метод Ньютона(метод касательных)

Его отличие от предыдущего метода состоит в том , что на n-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y =F(x) при х=cn-1 и ищется точка пересечения касательной с точкой абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения , а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х.

Рисунок 2. Метод касательных

Уравнение касательной, проведенной к кривой y =F(x) в некоторой точке с координатами х0 и F(х 0) имеет вид

y-F(х0)=F'(х0)(x-х0).

Отсюда найдем следующее приближение корня х как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у=0):

х=х0 - F(х0) /F'(х0).

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных . Формула для n-го приближения имеет вид

хn=хn-1 - F(хn-1) /F'(хn-1), n=1,2,…

При этом необходимо , чтобы выполнялось условие F'(хn-1)0.

Для окончания итерационного процесса используются те же условия, что и в методе хорд.

1.3 Практическое применение метода хорд для решения уравнений

Возьмем для исследования функцию и определим точность решения как=0,001.

Рисунок 3. График функции (в разных пределах)

Визуально определяем границы отрезка, на котором находится корень. Выделяем отрезок [a,b], (а=-0,1, b=0.35).

Прежде чем начать итерационный процесс, необходимо проверить функцию на данном отрезке на ряд условий:

Проверяем существование корня на отрезке по условию

f(-0.1)=-1.571

f(0.35)=1.51037

-2,37280.4954<0

Условие выполнено, следовательно на данном промежутке корень есть.

Исследуем функцию на монотонность на отрезке :

Экстремумов на выбранном отрезке нет.

Проверяем функцию на единственность корня на отрезке.

43.74>0

На данном промежутке имеется только один корень.

4. Выбор точки х0 зависит от того совпадает ли её знак со знаком второй производной данной функции.

Точка а условию не удовлетворяет.

Из условия следует , что х0=b=0.35, тогда за х1 принимаем a = х1=-0.1

6. Формула для решения

При решении мы получили следующие результаты:

Условие, где n=5 выполнено, необходимая точность достигнута, поэтому итерационный процесс можно прекратить.

Добиться указанной точности нам удалось на 5-ой проведенной итерации.

1.4 Практическое применение метода касательных для решения уравнений

В качестве примера решим вышеупомянутое уравнение методом касательных:

=0,001.

Начальное условие:

(выбрали по тому же правилу, которое использовали для решения уравнения методом хорд )

Применим формулу

;

<- необходимая точность достигнута, итерационный процесс можно останавливать.

Добиться указанной точности нам удалось на 3-й проведенной итерации

Рисунок 4. График функции на отрезке [; ]

Наименьшим полученным отрезком, в котором содержится корень уравнения является

[; ].

Значения исходной функции на концах этого отрезка

f()=-0,0001391

f()=0,000000033

Как мы видим, на каждой итерации объем вычислений в методе касательных больший, чем в методе хорд, так как приходится находить не только функции F(х) , но и ее производной. Однако скорость сходимости значительно выше в методе касательных: в методе касательных условие сходимости выполнилось на 3- м шаге, а в методе хорд на 5-м.

Рисунок 5. График функции для метода касательных

Рисунок 6. График функции для метода хорд

Говоря о функции х=, - выбрав начальное приближение х0 (для метода касательных), х0 и x1(для метода хорд) строится последовательность хn стремящаяся к и условием сходимости здесь является ,т.е. тангенс угла наклона касательной должен быть меньше 1(угол должен составлять менее 45 градусов). Исходя из рисунков 5,6 очевидно что условие сходимости () итерационной процедуры было выполнено.

1.5 Программная реализация итерационных методов

Рисунок 7. Решение уравнения методом хорд

Рисунок 8. Решение уравнения методом касательных

Раздел 2. Интерполирование

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим интерполирующую функцию ц(х), принимающую в заданных точках , те же значения , что и функция , т.е.

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т.е. при . Точки называются узлами интерполяции.

Рисунок 9. Интерполяция.

Таким образом, близость интерполирующей функции (сплошная линия) к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек. Интерполирующая функция ц(х) может строиться сразу для всего рассматриваемого интервала измерения х или отдельно для разных частей этого интервала. В первом случае говорят о глобальной интерполяции, во втором - о кусочной (или локальной) интерполяции.

2.1 Многочлен Лагранжа

Рассмотрим случай глобальной интерполяции, т.е. построение интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка .

Будем искать интерполяционный многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n:

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одного (i-го), где он должен равняться единице. Этим условиям при i=0 отвечает многочлен вида

.

По аналогии получим

при i=1

,

при i=2

,

,

Подставляя полученные выражения в

,

находим

.

Эта формула определяет интерполяционный многочлен Лагранжа.

Обратное интерполирование заключается в установлении зависимости . Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции y определить соответствующее значение аргумента x.

Функция выглядит следующим образом:

Ln(y)=

2.2 Практическое применение метода интерполяции для решения уравнений

Для исследования примем ту же функцию , что и в предыдущем разделе:

Рисунок 10. График функции

В пункте 1.2 для этой функции был выбран отрезок [3,4] и проверен на единственность корня.

Примем

х0=-0.1

х1=0.0125

х2=0.125

х3=0.237

х4=0.35.

Тогда многочлен Лагранжа будет иметь вид:

Вычислим значения функции (многочлена Лагранжа) в узлах интерполяции и исходной функции в тех же точках.

Страницы: 1, 2, 3