Для целевой функции детерминированный эквивалент имеет вид:

· при минимизации целевой функции

2.1

· при максимизации целевой функции

 2.2

где ?2j -- дисперсия случайной величины сj Решение таких задач затруднительно, поэтому далее рассматриваем целевая функция только в М- постановке. Детерминированный эквивалент вероятностного ограничения типа (а)

2.3

может быть сведен к виду:

2.4

где ai j , bi -- математические ожидания; , ? i j 2 , ? i 2 -- дисперсии случайных величин aij , bi ; ta = Ф*-1(ai) -- обратная функция нормального распределения при функции распределения:

2.5

где ai -- заданный уровень вероятности (табл. 2.1).

Обычно решают задачи при ai > 0,5, поэтому даны значения ta только для положительных ta..

Таблица 2.1

Если же ai < 0,5; то t1-a = - ta. Так, для а = 0,4; t0,4 = t(1-0,6) = - t 0, 6 =0,25.

Детерминированный эквивалент задачи СТП в М-по- становке имеет вид

2.6

Из (2.6) следует, что для решения задачи стохастического программирования в М-постановке необходимы исходные данные, приведенные в предыдущей таблице.

Каждое 1-е ограничение в детерминированном эквиваленте (2.6) отличается от аналогичного ограничения задачи линейного программирования следующим:

2.7

· от детерминированных значений aij, bi выполнен переход к математическим ожиданиям случайных величин aij, bi;

· появился дополнительный член ( ? )

который учитывает все вероятностные факторы: закон распределения с помощью ta; заданный уровень вероятности ai ; дисперсии случайных величин aij равные ? ij 2; дисперсии случайных величин bi равные ? i 2.

3. Решение задач СТП

Детерминированный эквивалент задачи стохастического программирования в М-постановке включает ограничения, которые являются нееепарабельными функциями. Обозначим

3.1

тогда задачу стохастического программирования можно записать в сепарабельной форме:

3.2

где

Эта задача является сепарабельной задачей нелинейного программирования и может быть решена с помощью стандартных программных средств.

Функция F(x1, х2, хп) называется сепарабельной, если она может быть представлена в виде суммы функций, каждая из которых является функцией одной переменной, т. е. если

Если целевая функция и функции в системе ограничений задачи нелинейного программирования сепарабелъные, то приближенное решение может быть найдено методом кусочно-линейной аппроксимации.

Пример 1. Рассмотрим задачу распределения двух видов ресурсов для выпуска двух наименований изделий.

Решение. Ее модель:

где a i j , bi , cj -- случайные.

При М-постановке модель запишется:

где a1, a2 -- заданные уровни вероятности соблюдения каждого ограничения.

Для того чтобы решить задачу в М-постановке, необходимо перейти к ее детерминированному эквиваленту:

Исходные данные, необходимые для решения этой задачи, сведены в таблицах 3.3 и 3.4.

Таблица 3.3

Таблица 3.4

Если задать уровни вероятности a1,2 = 0,6, для которых ta = 0,25, то получим после подстановки исходных данных детерминированный эквивалент:

Результаты решения этой задачи для детерминированного случая ? i = 0 и при a i = 0,6 (табл. 3.5), где

Таблица 3.5

Таблица 3.6

Рассмотрим теперь, как повлияют на результат решения задачи величины, определяющие ее вероятностный характер. К таким величинам относят заданный уровень вероятности ai, и дисперсий ?ij2 и ?i2. Начнем с анализа влияния ai (табл. 3.6).

Из анализа решения этой задачи можно сделать следующие выводы: для обеспечения гарантированного (с вероятностью a = 0,6) выполнения плана необходимо иметь дополнительно около 5% каждого вида ресурса. При отсутствии дополнительного ресурса целевой функции может уменьшиться на величину (? = 4% вследствие возможного сокращения выпуска продукции х2 от 5,3 до 5,04.

Этот пример подтверждает тот факт, что в реальных условиях для гарантированного выполнения плана необходимы дополнительные ресурсы в размере ? i противном случае возможно уменьшение выпуска продукции.

При этом можно сделать выводы:

1) в целях повышения заданного уровня вероятности выполнения плана ai требуется увеличить дополнительные ресурсы ?i. Так, для выполнения плана с вероятностью, близкой к 1 (а = 0,987), необходим дополнительный ресурс в размере ?i = 26, ..., 33% от величины используемого без учета вероятностных характеристик;

2) отсутствие такого увеличения может привести к ухудшению целевой функции на величину ? = 33,6%;

3) возрастание a отражается на номенклатуре продукции. При этом в интервале a = 0,5, ..., 0,77 значение х1 сохраняется неизменным, а х2 -- уменьшается. При дальнейшем увеличении а = 0,89, ..., 0,987 значение х2 = const, в то время как х1 сначала скачком растет, а затем постепенно уменьшается. Несмотря на то что при а = 0,89 значения x1,2 резко изменяются, целевая функция во всем интервале изменения а уменьшается плавно. Таково влияние заданного уровня вероятности соблюдения ограничений а на результат решения задачи.

Для большей реальности и выполнимости планов элементы модели должны постоянно уточняться по фактическим реализациям случайных величин.

Заключение

При написании курсовой работы по дисциплине «Математические методы» на тему « Стохастическое программирование » у меня возникали непонятности в теоритической части, так как каждый автор пишет по разному, но мне пришлось понимать и разбираться в каждой из книг.

Список литературы

1. « Математические методы в программировании » : / Агальцов В.П., Волдайская И.В. Учебник : - М . : ИД «ФОРУМ» : ИНФРА-М, 2006. - 224с. : ил. -(Профессиональное образование). - (Учимся программировать).

2. Лекции по дисциплине « Математические методы ».

3. «Математические методы: Учебник» / Партика Т.Л., Попов И.И. - М: ФОРУМ: ИНФРА, 2005.

4.Интернет сайт: http://ru.wikipedia.org/wiki/

5.«Математическое программирование» / Костевич Л., издательство «Новое знание», 2003.