Каталог Рефератов - Суперэлементное моделирование пространственной системы "плита – грунтовое основание"

	Информационно-образоательный портал
	Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,



МЕНЮ\|

поиск

Суперэлементное моделирование пространственной системы "плита – грунтовое основание"

b>2.2 Деформации
При рассмотрении деформации в упругом теле предполагается, что

Существуют ограничения, препятствующие перемещению его как жёсткого тела. Таким образом, какое-либо перемещение частиц тела может происходить лишь за счёт его деформации. Малые перемещения частиц при деформировании тела разложим по составляющим u, v, параллельные соответствующим осям координат x, y. Можно предположить, что эти малые величины непрерывно изменяются по всей площади тела.

Рассмотрим бесконечно малый элемент dxdy вблизи точки О тела.

Можно показать, что относительное удлинение по направлению оси y задается производной.

Рассмотрим теперь изменение угла между отрезками ОА и ОВ, которые до деформирования тела были взаимно перпендикулярны. Если u и v - перемещения точки О в направлениях осей x и y, то перемещения точки А в направлении оси у и точки В в направлении оси х будут соответственно равны. Поэтому первоначально прямой угол АОВ между отрезками ОА и ОВ уменьшается на величину, которая представляет собой деформацию сдвига между осями х и у.

3. Основная концепция метода конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) основан на идее аппроксимации непрерывной функции (температуры, давления, перемещений и т.п.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. В качестве функции элемента, чаще всего, принимается полином. Порядок полинома определяется числом используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции. В общем случае форма конечного элемента может быть произвольной, но для удобства математических выкладок их принимают правильной геометрической формы. Конечные элементы могут быть линейные и криволинейные, одномерные, двумерные и трехмерные. Количество узлов конечного элемента может быть равно или больше количества вершин. В зависимости от этого качества можно проводить классификацию конечных элементов. Выделяют следующие три группы: симплекс-, комплекс - и мультиплекс-элементы.

Симплекс элементам соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены:

;

Здесь коэффициентов столько сколько узлов.

Комплекс-элементам соответствуют полиномиальные функции, содержащие константу и члены первого и более высоких порядков. Форма комплекс элемента может быть такой же как и у симплекс-элемента, но комплекс элементы имеют количество узлов больше количества вершин.

Интерполяционный полином для двумерного треугольного комплекс элемента имеет вид:

Это соотношение содержит шесть коэффициентов, поэтому рассматриваемый элемент должен иметь шесть узлов.

Мультиплекс-элементы отличаются от комплекс-элемента тем, что его границы должны быть параллельны координатным осям, что необходимо для достижения непрерывности при переходе от одного элемента к другому.

Границы и поверхности конечного элемента геометрически могут быть нелинейными все или только их часть. Возможность моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон (плоскостей) конечного элемента.

4. Характеристики тетраэдрального элемента
4.1 Функции перемещений
На фигуре 1 изображен тетраэдральный элемент ijpm в системе координат x, y, z.

Перемещение любой точки определяется тремя компонентами u, v, w в направлениях координат x, y, z. Таким образом, вектор перемещений имеет вид

. (1)

Если для задания линейного закона изменения какой-либо величины в плоском треугольном элементе требовались три узловых значения, то в трехмерном случае необходимо задать четыре узловых значения. По аналогии с представлением (4.3) можно записать, например,

. (2)

Приравнивая эти выражения перемещением узловых точек, получаем четыре уравнения типа

и т.д. (3)

из которых определяются коэффициенты .

Запишем теперь соотношение (2) в следующей форме, с использованием определителя

(4), где

(5а)

Величина V в данном случае представляет собой объем тетраэдра. Коэффициентами обозначены определители

(5б)

Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов i, j, p, m.

Как видно из фигуры 1, узлы i, j, p, m пронумерованы в соответствии с правилом правой руки, причем первые три узла пронумерованы по часовой стрелке, если смотреть со стороны последнего узла.

Перемещение элемента определяется двенадцатью компонентами перемещений его узлов:

(6) где

и т.д.

Перемещение произвольной точки можно записать в виде

(7)

где скалярные величины определяются соотношениями

и т.д.

А I - единичная матрица размерности 3*3.

Ясно, что эти функции перемещений будут удовлетворять требованиям непрерывности на границах между элементами. Этот результат является прямым следствием линейного закона изменения перемещений.

4.2 Матрица деформации
В трехмерном случае учитываются все шесть компонент деформации. Используя известные обозначения Тимошенко, запишем матрицу деформаций в виде

(9)

С помощью соотношений (4) - (7) легко убедиться, что

(10) где

. (11)

Остальные подматрицы получаются простой перестановкой индексов.

Начальные деформации, такие, как обусловленные тепловым расширением, можно записать обычным образом в виде шестикомпонентного вектора, имеющего, например, для изотропного теплового расширения простой вид:

(12)

где - коэффициент линейного расширения, а - средняя по элементу температура.

4.3 Матрица упругости
В случае материала с изотропией свойств матрица [D], связывающая шесть компонент напряжения с компонентами деформации, может содержать не более чем 21 независимую постоянную.

В общем случае

. (13)

Так как такое умножение никогда не выполняется в явном виде, запишем здесь матрицу [D] только для изотропного материала, хотя это нетрудно сделать и для случая произвольной анизотропии. При использовании обычных упругих постоянных: модуля упругости Е и коэффициента Пуассона v - матрица имеет вид

(14)

4.4 Матрицы жесткости, напряжений и нагрузок
Выражение для матрицы жесткости, определяемой в общем случае соотношением , можно проинтегрировать точно, так как компоненты деформации и напряжения постоянны внутри элемента.

Подматрица с индексами rs матрицы жесткости имеет размерность 3*3 и определяется соотношением

, (15)

где V - объем тетраэдра.

Узловые силы, обусловленные начальной деформацией, записываются в виде

, (16) или для i-ой компоненты

5. Математическая и дискретная модели
5.1 Математическая модель
Математическая модель системы включает геометрическую, структурную, механико-математическую модели, краевые условия и условия равновесия системы.

Геометрическая модель представляет собой параллелепипед, размеры которого определяются нулевыми перемещениями на его ребрах.

Механико-математическая модель системы “плита-основание”: для основания si=E iei, для плиты si=E'ei, E'>>Ei, где E', Ei -модули упругости основания и плиты, si, ei -интенсивности напряжений и деформаций.

Краевые условия области определения системы “плита-основание": перемещения на всех ребрах, кроме верхнего равны нулю, на верхнем ребре области определения на поверхности плиты задается внешняя нагрузка.

5.2 Дискретная модель
Процесс дискретизации разделяется на 2 этапа:

Разбиение области на подобласти. Подобласти характеризуются стационарностью определяющих характеристик: свойства материала, прилагаемая нагрузка.

Разбиение подобластей на конечные элементы. Подобласти разбиваются на симплекс-элементы.

Дискретизация производится элементами малых размеров. Деформация и напряжение в любом конечном элементе выражаются через перемещения по известным формулам. В узлах элементов вводятся силы, статистически эквивалентные напряжениям на границе соответствующего элемента и внешним силам, приложенным к нему.

Разбивка на элементы производится так, что в пределах одного элемента участок среды рассматривается как однородный. Любой другой элемент, оставаясь однородным, может характеризоваться свойствами, отличными от соседних элементов. Таким образом, система в целом представляет неоднородную среду.

Применение МКЭ для решения системы “плита-основание” приводит к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной симметричной матрицей. Ширина ее полуленты зависит от порядка нумерации узлов и определяется по формуле: B= (R+1) Q, где R - максимальная разность разностей номеров узлов конечных элементов, Q - число неизвестных (степеней свободы) в каждом узле.

6. Алгоритмы построения и решения дискретной модели
Первый этап алгоритма построения дискретной модели представляет определение расчетной области. Расчетная область представляется правильной геометрической фигурой, размеры которой определяются нулевыми перемещениями на всех ребрах, кроме верхнего. В нашем случае- параллелепипед.

Второй этап- дискретизация расчетной области, учитывающая особенности структуры грунтового основания. В результате строится нерегулярная решетка с массивами шагов по координатным осям. Каждый параллелепипед дискретной решетки делится на шесть тетраэдральных элементов.

Для каждого конечного элемента (тетраэдра) необходимо задать характеристики: модуль упругости, коэффициент Пуассона.

Третий этап - задание краевых условий. Граничные условия расчетной области определяются системой внешних сил и выбором размеров расчетной области (этап 1). Система внешних сил задается в виде вектора нагрузок, определенного для всех узлов расчетной области. С каждым узлом связано три значения нагрузки: одно по направлению оси OX, второе по направлению оси OY, третье по направлению оси OZ. Вектор нагрузок задается на верхнем ребре. На всех остальных обычно задаются нулевые перемещения. Четвертый этап - формирование матрицы жесткости. Построение матрицы жесткости производится с учетом ее особенностей: симметричности, ленточности. Матрица жесткости (МЖ) размещается в ОП упакованной в прямоугольник, т.е. хранится верхняя полулента. Для построения МЖ используется аналитический алгоритм построения [1].

Согласно которому матрица жесткости имеет вид:

где

где i - номер узла, связанного с узлами j; j=1,2,3,4;

Пятый этап - учет граничных условий в МЖ. Используется вектор усилий и вектор корректировки, с помощью которого описываются задаваемые граничные значения перемещений. Учёт граничных условий приводит к изменению матрицы жёсткости [K] и векторов узловых сил и перемещений. Матрица [K] уже не будет сингулярной.

Шестой этап - решение системы линейных алгебраических уравнений. На этом этапе используется метод квадратного корня, учитывающий упаковку МЖ в прямоугольник.

Этот метод состоит в следующем:

Если матрица симметрическая, то её можно представить следующим образом:

A=S*DS,

Где S - верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главной диагонали; D - диагональная матрица, с элементами +1 или -1 на главной диагонали; S* - нижняя треугольная матрица. Коэффициенты и вычисляются по формулам:

i=j то, ;

;

i<j то

;

В том случае, если матрица A самосопряжённая и положительно определённая, то матрицу D можно опустить, так как она будет единичной. Метод осуществляется по следующей схеме:

сначала решаем уравнение S*Y=B

затем уравнение SX=Y, находя решение системы.

Наша работа заключается в решении СЛАУ методом квадратного корня, используя ленточную симметрическую матрицу, компактно упакованную.

Полуленточная матрица системы строиться следующим образом:

В методе квадратного корня используется функция, с помощью которой меняются оба индекса.

7. Описание и инструкция работы с приложением
Входными данными для приложения являются: количество узлов по осям, массивы узлов, модуль упругости и коэффициент Пуассона для каждого симплекс-элемента, а также вектора узловых сил и пермещений.

Пользователю имеет возможность задавать характеристики каждого отдельного симплекс-элемента (тетраэдра). Благодаря этому система “плита-грунтовое основание" может быть рассмотрена как неоднородная.

Ввод вектора узловых сил осущестляется путем ввода величины силы узлу к которому она прилагается. Вектор перемещений сразу предполагает перемещения по трем осям. Однако пользователь имеет возможность запретить перемещения по какой-либо оси для каждого узла.

Выходными характеристиками приложения являются перемещениями в необходимых узлах. По анализу которых делается вывод об осадке плиты.

8. Верификация приложения
Рассмотрим следующий пример:

Однородная плита располагается вертикально на жёстком основание. Усилие Р равномерно распределено по верхнему основанию плиты. Дискретизация пластины производится путём разбиения ее на конечные элементы (тетраэдры). Узлы и полученные конечные элементы нумеруются. Программное приложение рассчитывает значения перемещений в каждом узле модели.

При введении в качестве параметров модели тестового примера следующих величин: нагрузка на плиту Р = 100кг,

параметры плиты: модуль упругости Е = 360 кг/см2, коэффициент Пуассона =0.2, h=100см, l =100см, приращения по Ox,Oy, Oz =50см.

Разрешены только вертикальные перемещения.

Полученный результат имеет вид:

вертикальные перемещения в узлах:

1.09651.03951.06241.0996

Страницы: 1, 2, 3

© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.