2. Если значения и аi-е и bj-е - целые и неотрицательные, то транспортная задача имеет целочисленное решение.

3. Клетки таблицы транспортной задачи с координатами, в которых проставлены значения перевозок, называются базисными и соответствуют базисным переменным, а остальные клетки остаются свободными. Для невыраженного опорного плана в таблице транспортной задачи будет заполнена положительными числами m + n - 1 клетка. Если же опорный план задачи вырожден, то часть базисных клеток будет заполнена нулями.

Нахождение первоначального плана

Для определения первоначального опорного плана существуют несколько различных методов. Это - метод северо-западного угла, метод минимального элемента, или минимальной стоимости, и другие.

Метод северо-западного угла. Пусть условие транспортной задачи задано в следующей таблице:

Поскольку сумма запасов (предложения) равна сумме потребностей (спроса) - имеем задачу закрытого типа.

Матрицу перевозок начинаем заполнять с левого верхнего (северо-западного) угла, с клетки (1,1). Для этого сравниваем два значения а1 = 30 и b1= 20, т.е. попытаемся удовлетворить потребность первого пункта назначения за счет запасов первого пункта отправления. Запасы пункта А1 больше потребности пункта В1, следовательно, в качестве значения Х11 выбираем меньшее число - b1 и запишем это число в соответствующей клетке таблицы. Таким образом, потребность пункта В1 в грузе удовлетворена, и поэтому все остальные числа этого столбца (Х21, Х31, Х41) считаем равными нулю, а соответствующие им клетки оставляем свободными.

Получаем новую матрицу из трех столбцов (В2, В3, В4) и четырех строк (А1, А2, А3, А4) и новое значение запаса у первого пункта отправления (= 30 - 20 = 10). Далее сравниваем значения = 10 и b2 = 90 и повторяем алгоритм. Меньшее из этих значений, равное 10, выбираем в качестве Х12 и записываем в клетку (1,2) таблицы. Тогда запас пункта А1 будет полностью исчерпан, следовательно, остальные значения перевозок из первой строки (Х13, Х14) принимаем равными нулю, а соответствующие клетки остаются свободными. Продолжая заполнять таблицу, таким образом дойдем до клетки (4,4). Построенный план является опорным. В рассматриваемой задаче число пунктов отправления m = 4 и число пунктов назначения n = 4, следовательно, невырожденный план задачи определяется числами, стоящими в m+n-1 = 4 + 4 - 1 = 7 заполненных клетках.

Запишем первоначальный опорный план в виде матрицы Х:

Х = .

Согласно данному плану перевозок функция цели - общая стоимость перевозок всего груза - составляет

f(х) = 5 20 + 4 10 + 1 70 + 3 10 + 1 40 + 2 30 + 1 70 = 410.

Вырожденный план. При построении опорного плана нужно следить, чтобы сумма перевозок по каждой строке была равна соответствующим запасам, а сумма перевозок по каждому столбцу - потребности. Количество заполненных клеток равно m + n - 1. Если план вырожденный, т.е. если на очередном шаге запас аi равен потребности bj, в этом случае необходимо считать одну из клеток (либо справа, либо под последней заполненной клеткой) базисной со значением, равным нулю. Этот нуль вписывают, и соответствующая клетка считается занятой.

Пусть условия задачи заданы следующей таблицей:

На первом шаге заполняем северо-западный угол, полагая Х11 = 20, клетки (2,1), (3,1) и (4,1) остаются свободными. На втором шаге полагаем Х12 = 10. Этим мы используем полностью запас пункта А1. Остальные клетки первой строки (1,3) и (1,4) остаются свободными. На третьем шаге рассматриваем перевозку Х22. Поскольку в этом случае запас пункта А2, равный 70, совпадает с оставшейся неудовлетворенной потребностью пункта В2, равной 70, то выбираем Х22 = 70. Этим самым заполняется одновременно и вся вторая строка и весь второй столбец. В этом случае нужно считать одну из переменный Х23 или Х32 базисной со значением, равным нулю. Пусть Х32 = 0. Проставив в соответствующей клетке базисный нуль, мы получаем при продолжении процесса заполнения таблицы m + n - 1 заполненную клетку. Если не проставить нулевую базисную переменную, окажется, что число занятых положительными перевозками клеток меньше, чем m + n - 1.

Метод минимального элемента. Выбор пунктов отправления и назначения можно производить иначе, ориентируясь на стоимость перевозок, т.е. на каждом шаге следует выбирать какую-нибудь клетку, отвечающую минимальной стоимости перевозки. Если таких клеток несколько, то можно выбрать любую. [19]

Этот метод позволяет найти первоначальный опорный план с меньшей стоимостью перевозок, чем план, полученный методом северо-западного угла:

Порядок заполнения таблицы: находим клетки с наименьшим значением стоимости перевозки и рассмотрим величину потребности и запаса для соответствующих пунктов. Заполним клетки (2,2), (3,3), (4,4) и подсчитаем остатки неизрасходованных запасов и величины неудовлетворенной потребности. Так, запасы пункта А2 полностью расходуются на удовлетворение потребности пункта В2, поэтому при нахождении первоначального опорного плана клетки второй строки, кроме (2,2), должны остаться свободными. Потребности пункта В2 остаются неудовлетворенными на 20 единиц груза, поэтому клетки второго столбца, кроме (2,2), могут быть заполнены перевозками. Аналогично рассматриваем заполнение клеток (3,3) и (4,4). Найдем свободные клетки с наименьшими стоимостями перевозок, которые могут быть заполнены, это, например, клетка (1,3) или (4,3). Заполним клетку (1,3) и подсчитаем остаток. Затем заполним клетку (4,2), на следующем шаге клетку (1,1) и, наконец, (4,1).

Значение функции цели для первоначального опорного плана

f(х) = 10 5 + 20 2 + 70 1 + 50 1 + 10 6 + 20 3 + 70 1 = 400.

Открытая транспортная задача

Если не соблюдается баланс предложения и спроса, то есть

,

то такая задача называется открытой. Для решения такой задачи, если общее предложение превышает общий спрос, то есть

>,

необходимо ввести в модель фиктивный пункт потребления (Вn+1) в n + 1-м столбце матрицы транспортной задачи. При этом стоимости перевозки для фиктивного пункта потребления равны нулю:

Ci,n+1 = 0; i = .

Потребность в грузе фиктивного пункта назначения равна разности предложения и спроса:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7