Билеты: Bilet

Билет№1

1) Функция y=F(x) называется периодической, если существует

такое число Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области

определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т

называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция

(синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа вида

T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом является

число T=2P. Для построения графика периодической функции достаточно построить

часть графика на одном из промежутков длинной Т, а затем выполнить

параллельный перенос этой части графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-

3Т,.

2) Степенью числа а,

большего нуля, с рациональным показателем r=m/n (m-целое число;n-натуральное,

больше 1) называется число nSQRa^m, т.е. a^m/n = nSQRa^m.

Степень числа 0 определена только для положительных показателей; 0^r=0 для

любого r>0. Свойства степеней с рациональным показателем Для любых

рациональных чисел r иs и любых положительных a и b справедливы следующие

свойства. 1) Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно

степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей

множителей: a^r * a^s = a^r+s.

2) Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же

основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя: a^r

: a^s = a^r-s.

3) При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а

показатели перемножают: (a^r)^s = a^rs 4) Степень произведения

равна произведению степеней: (ab)^r = a^r * b^r. 5) Степень

частного равна частному степеней (a/b)^r = a^r / b^r. 6) Пусть r

рациональное число и число a больше нуля, но меньше числа b, 0<a<b,

тогда: a^r < b^r , если r- положительное число; r^r > b^r, если

r-отрицательное число.7) Для любых рациональных чисел r и s из

неравенства r<s следует, что: a^r <a^s при a>1 ; a^r > a^s при

0<a<1. Докажем свойство 2 Пусть r=m/n и s=p/q, где n и q –

натуральные числа, а m и p – целые числа. По определению степени с

рациональным показателем имеем: a^m/n : a^p/q = nSQRa^m : qSQRa^p. Приведём

корни к одному показателю. Для этого воспользуемся свойством корней n-й

степени: nSQRa = nrSQRa^r, r>0. Имеем: nSQRa^m : qSQRa^p = nqSQRa^mq :

nqSQRa^pn = nqSQRa^mq / nqSQRa^pn Используя свойство частного корней, получим:

nqSQRa^mq / nqSQRa^pn = nqSQRa^mq / a^pn = nqSQRa^mq-pn. Применим определение

степени с рациональным показателем: nqSQRa^mq-pn = a^mq-pn/nq = a^mq/nq-pn/nq =

a^m/n-p/q = a^r-s.

Билет №2

1.Точка Х0 наз-ся точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой

окрестности точки х0 выполнено неравенство f(x)£f(x0)

Окрестностью точки х0 наз-ся любой интервал, сод-щий

эту точку. Например, функция y=-x*x-3 имеет точку максимума х0=0.

Точка х0 наз-ся точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой

окрестности х0 выполнено неравенство f(x0) £f(x)

Например, функция y=x+2 имеет точку минимума х0=0.

2. 1)Если |a|>1 то уравнение

sinx=a корней не имеет, так как |sinx|£1 для любого х.

2)Пусть |a|£1 а) На промежутке –пи/2;пи/2 функция y=sinx возрастает,

следовательно по теореме о корне, уравнение sinx =a имеет один корень x=arcsin

a.

Б) На промежутке пи/2;3пи/2 функция y=sin x убывает, значит по теореме о

корне ур-ие sin x=a имеет одно решение x=пи-arcsin a.

В) учитывая периодичность функции y= sin x (период функции равен 2пи n)

решение ур-ия можно записать так: х=arcsin a +2пи n

x=пи- arcsin a +2пи n

решение данного ур-ия можно записать в виде следующей формулы

x=(-1)^n arcsin a + пи n

при четных n(n=2k) мы получим все решения, записанные первой формулой , а при

нечетных n(n=2k+1)- все решения записанные второй формулой.

Билет №3

1) арксинусом числа а называется число, для которого выполнены

следующие два условия: 1)-p/2 <= arcsin a <= p/2; 2) sin(arcsin a)=a. Из

втоого условия следует, что |a|<=1 Пример1. (рис 26) arcsinSQR3 / 2

= p/3, так как: 1) –p/2 <= p/3 <=p/2; 2)sin p/3= SQR3 / 2 Пример2.

Arcsin SQR5/2 не имеет смысла, так как SQR5 / 2 >1, a arcsin a определён при

–1 <= a <= 1 Определение Арксинусом числа а называется такое

число из отрезка [-Пи/2;Пи/2], синус которого равен а.

2) Если функция F-первообразная функции f на промежутке I,

то функция y=F(x)+C (c-const) также является первообразной функции f на

промежутке I. Любая первообразная функции f на промежудке I может быть

записана в виде F(x)+C. Доказательство. 1) Воспользуемся определением

первообразной: (F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x), следовательно, y=F(x)+C –

первообразная функции f на промежутке I. 2) Пусть Ф и F- первообразные

функции f на промежутке I. Покажем, что разность Ф-F равна постоянной.

Имеем (Ф(x) – F(x))’ = Ф’(x) – F'(x)=f(x)-f(x)=0, следовательно, по признаку

постоянства функции на интервале Ф(x)-F(x)=C. Значит любую первообразную

можно записать в виде F(x)+C. Графики любых двух первообразных для функции

y=f(x) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Ox (рис. 18)

Билет №4

1) Арккосинусом числа а называется такое число, для которого

выполнены следующие два условия: 1) 0<=arccosa<=p; 2)cos(arccos a)=a. Из

условия 2 следует, что |a|<=1 Пример 1 (рис 28) arccos1/2=p/3, так

как: 1)0<= p/3 <= p; 2) cos p/3 = ½. Пример 2. Arccos p не

имеет смысла , так как p ~=3,14 > 1; arccos a определён при |a|Б=1

2) Показательной функцией называется

функция вида y=a^x, где а- заданное число, а >0, a не равно 1. Свойства

показательной функции 1) Областью определения показательной функции

являются все действительные числа. Это следует из того, что для любого x

принадлежащего R определено значение степени a^x (при a>0). 2)

Множеством значений показательной функции являются все положительные

действительные числа: E(y)=(0;+бескон.) 3) а) Показательная

функция y+a^x возрастает на всей области определения, если a>1. б)

Показательная функция Y=a^x убывает на всей области определения, если

0<a<1. Докажем, что если a>1, то большему значению аргумента

(x2>x1) соответствует большее значение функции (a^x2 > a^x1). Из свойств

степени известно, если r>s и a>1, то a^r >a^s. Пусть х2 > x1 и a

> 1, тогда a^x2 >a^x1 (по свойству степени). А это означает, что функция

y=a^x1 при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем, что если 0

< a<1, то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует меньшее

значение функции (a^x2 < a^x1). Из свойств степени известно, если r>s и

0<a<1, то a^r<a^s. Пусть x2>x1 и 0<a<1, тогда a^x2 < a^x1

(по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x при 0<a<1

убывает на всей области определения. 4) Нет таких значений

аргумента, при которых значения показательной функции равны нулю, т.е. у

показательной функции нет нулей. 5)Показательная функция непрерывна на

всей области определения. 6) Показательная функция дифференцируема в

каждой точки области определения, производная вычисляется по формуле (a^x)’ =

a^x ln a. (график на рисунке 29)

Билет№ 5

1) На интервале (-Пи/2;Пи/2) функция тангенс возрастает

и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале

(-Пи/2;Пи/2) существует единственный корень b уравнения tgx=a. Это число b

называют арктангенсом числа а и обозначают arctga. Определение

Арктангенсом числа а называется такое число из интервала (-Пи/2;Пи/2) тангенс

которого равен а. Пример arctg1=Пи/4, так как tgПи/4=1 и

Пи/4Î(-Пи/2;Пи/2); arctg(-SQR3)=-Пи/3, так как tg(-Пи/4)=-SQR3 и

–Пи/3Î(-Пи/2;Пи/2).

2) Логарифмической функцией называется функция вида y =

loga x, где а -заданное число, a>0, a не рано 1. Свойства

логарифмической функции 1) Областью определения логарифмической функции

являются все положительные действительные числа. Это следует из определения

логарифма числа b по основанию a; loga b имеет смысл, если b>0 2)

Множеством значений логарифмической функции являются все действительные числа.

Пусть y0 – произвольное действительное число. Покажем, что найдётся такое

положительное значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 = logax0. По

определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0 > 0. Мы показали, что

нашлось значение x0 > 0, при котором значение логарифмической функции равно

у0 (у0 – произвольное действительное число). 3) Логарифмическая

функция обращается в нуль при х=1. Решим уравнение logax=0. По определению

логарифма получаем: a^0 = x, т.е. x = 1. 4) а) логарифмическая

функция y=loga x возрастает на всей области определения, если a>1.Докажем,

что большему значению аргумента (х2 > х1) соответствует большее значение

функции (loga x2 > loga x1), если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда

используя основное логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде

a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два значения

показательной функции. Поскольку при a>1 показательная функция возрастает,

большее значение функции может быть только при большем значении аргумента, т.е.

logax2 > logax1. б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей

области определения, если 0<a<1. 5) Логарифмическая функция

y=logax: а) при a>1 принимает положительные значения, если x>1;

отрицательные значения, если 0<x<1 б) при 0<a<1 принимает

положительные значения, если 0<x<1, и отрицательные значения, если

x>1. Пусть a>1, тогда функция y=logax возрастает на всей области

определения (рис. 31); причём loga1=0. Из этого следует, что: для x>1 logax

> loga1, т.е. logax>0; для 0<x<1 logax < loga1, т.е. logax

<0. Пусть 0<a<1; тогда функция y=logax убывает на всей области

определения (рис.32); причём loga1=0. Из этого следует, что: для x>1 logax

< loga1, т.е. logax < 0; для 0<x<1 logax > loga1, т.е. logax

> 0. 6) Логарифмическая функция непрерывна на всей области

определения.

Билет №6

1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 –

точка этого промежутка; Dx – приращения аргумента x; x0 + DX также принадлежит

этому промежутку; Dy – приращение функции. Предел отношения (если он

существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения

аргумента к нулю называется производной функции в точке. Пусть материальная

точка движется по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата этой

точки x- известная функция времени t. Механический смысл производной

состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость: v(t) =

x’(t).

2) 1) Если |a|>1, то уравнение

cos x = a решений не имеет, так как |cos x|<=1 для любого x. 2)

Рассмотрим случай |a|<=1(рис 35) а) На примежудке [0;Пи] функция

y=cosx убывает, значит, уравнение cosx=a имеет один корень x=arccos a.

Учитывается, что функция y=cos x – периодическая с периодом 2Пиn, запишем все

решения уравнения cosx=a на промежутке [2Пиn; Пи+2Пиn], n принадлежит Z, в виде

x = arccos a+ 2Пиn, где n принадлежит Z. Б) На промежутке [-Пи; 0]

функция y =cosx возрастает, следовательно, уравнение cosx=a имеет один корень,

а именно,x=-arccos a. Учитывая периодичность функции y= cos. Делаем вывод, что

решением уравнения cos x = a на промежудке [-Пи+2Пи; 2Пиn], где n принадлежит

Z, являются числа вида x=-arccos a + 2 Пиn, где n принадлежит Z. Таким образом,

все ершения уравнения могут быть записаны так: x=+-arccos a + 2Пиn, где n

принадлежит Z.

Билет № 7

1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x);

x0-точка этого промежутка; Dx-приращение аргумента х; точка х0+ Dx принадлежит

этому промежутку; Dy-приращение функции. Предел отношения (если он существует)

приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к

нулю называется производной функции в точке. Пусть задана дифференцируемая

функция y=f(x) (рис.36). Геометрический смысл производной состоит в

том, что значение производной функции в точке x0 равно угловому коэффициенту

касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x0: f’(x0)=R,

Страницы: 1, 2, 3