Функция косинус принимает положительные значения при –Пи/2 + 2ПиR<x<Пи/2 +

2ПиR, где RÎZ. Функция косинус принимает отрицательные значения при Пи/2

+ 2ПиR<x<3Пи/2 + 2ПиR, где RÎZ. Промежутки знакопостоянства

(рис47) следуют из определения косинуса. 7)Функция косинус

возрастает на промежутках [-Пи + 2ПиR; 2ПиR], где RÎZ, и убывает на

промежутках [2ПиR; Пи+2ПиR], где RÎZ. Чтобы доказать утверждение о

промежутках возрастания функции косинус, заметим, что cosx=sin(Пи/2+х). Функция

y+sin(Пи/2 + х) возрастает, если –Пи/2 + 2ПиR<=Пи/2 + x<=Пи/2 + 2ПиR, где

RÎZ; т.е. если –Пи + 2ПиR, где RÎZ; т.е. если

–Пи+2ПиR<=x<=2ПиR, где RÎZ. Поскольку sin(Пи/2 + х)=cosx, функция

y=cosx возрастает, если –Пи+2ПиRR<=x<=2ПиR, где RÎZ. Аналогично

обосновывается утверждение о промежутках убывания функции. 8)

Функция косинус имеет максимумы, равные 1, в точках 2ПиR, где RÎZ.

Функция косинус имеет минимумы, равные –1, в точках Пи+2ПиR, где RÎZ.

Покажем, что функция y=cosx имеет максимумы в точках 2ПиR, где RÎZ.

Замечая, что cosx=sin(Пи/2 + х), найдём точки максимума функции y=sin(Пи/2+x).

Её точки максимума Пи/2 + х=Пи/2+2ПиR, где RÎZ, т.е. x=2ПиR, где

RÎZ. Максимум функции косинус равен 1. Аналогично проводятся рассуждения

о точках минимума. 9)Функция косинус непрерывна на всей области

определения.10) Функция косинус дифференцируема в каждой точке

области определения; производная функции косинус вычисляется по формуле

(cosx)’=-sinx.

Билет №13

1) Для того чтобы найти наибольшее(наименьшее) значение ф-ции y=f(x)

имеющее на отрезке [a;b] конечное число критических точек, нужно:1.

Найти критические точки, принадлежащие отрезку[a;b]; 2.найти значения

ф-ции в критических точках принадлежащих отрезку [a;b];3. Найти

значение ф-ции на концах отрезка;4. Из полученных чисел (значения ф-ции в

критических точках и на концах промежутка ) выбрать наиболее наибольшее

(наименьшее) .Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение ф-ции y=x^3 –3x на

отрезке [-1,5;3]. 1)D(y)=R; 2) найдем критические точки

y’ =3x^2 –3; А)y’ = 0 если 3x^2 -3=0; 3(x^2 –1)=0; x=0 или x=1. Б

) точек в к-рых производная не существует нет. 3) y(-1)=-1+3=2; y(1)=1-3=2;

y-(-1.5)=(1.5)^3-3* (-1.5)=(-1.5)^3+2*1.5^2=1.5^2(-1.5+2)=2.25*.5=1.125

y(3)=27-9=18; -2<1.125<2<18

y(1)<y(-1.5)<y(-1)<y(3).

Min [-1,5;3] y(x)=y(1)=-2

Max [-1,5;3] y(x)=y(3)=18

2) 1.sin a+ sin b = 2 sin (a+b)/2 *cos(a-b)/2,

2. sin a- sin b=2 sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2,

3. cos a+ cos b=2 cos (a+b)/2*cos (a-b)/2

4. cos a- cos b=-2 sin (a+b)/2*sin (a-b)/2

1)Пусть a=x+y и b=x-y из этих равенств находим:

x=(a+b)/2 и y=(a-b)/2

2) выведем ф-лы для суммы и разности синусов.

Докажем формулу 1: Воспользовавшись формулами синуса суммы и синуса разности

имеем sin a+sin b = =sin(x+y)+ sin(x-y)= sin x cos y+ sin y cos x+ sin

x* cos y-sin y*cos x= 2sin x*cos y= 2 sin(a+b)/2*cos(a-b)/2. Таким образом

sin a+ sin b=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2

Докажем формулу 2:

Sin a-sin b= sin (x+y)- sin(x-y)=sin x cos y+ sin y*cos x –sin x*cos

y+sin y*cos x= 2 sin y*cos x=2 sin(a-b)/ 2 * cos(a+b)/2. Таким образом sin a-

sin b=2 sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2,

3) выведем ф-лы для суммы и разности косинусов.

Докажем формулу 4:

Cos a- cos b=cos(x+y)-cos(x-y)=cos x* cos y-sin x* sin y-cos x*cos y-sin

x*sin y=-2sin x*sin y=-2sin(a+b)/2*sin(a-b)/2 Таким образом

cos a- cos b=-2 sin (a+b)/2*sin (a-b)/2

Билет №14

1) Пусть задана ф-ция y=f(x) ее график изображен на рис 49. Точка х1

является точкой максимума , х2 является точкой минимума, т.е. точки х1 и х2-

точки экстремума. Значения ф-ции в точках экстремума наз-ся экстремумами ф-ции.

Например, значения ф-ции y=cos x в точках x= 2 пи k,где k ÎZ,

явл-ся экстремумами (максимумами)ф-ции,т.е. Ymax=1

2) 1.Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b;

2.cos (a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b;

3. sin(a-b)=sin a*sin b- sin b*cos a

4. sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a

Докажем ф-лу (1): 1) проведем радиуо ОА, равный R, вокруг точки О на угол

a и b (рис50). Получим радиус ОВ и радиус ОС. 2)Пусть В(х1;у1) С(х2;у2).

3) Введем векторы ОВ(х1;у1) , ОС(х2;у2)

4)По опр-ию скалярного произведения ОВ*ОС=х1*х2+у1*у2 (*) 5) по опр-ию

синуса и косинуса х1=R*cos a, y1=R*sin a, x2=R* cos b, y2=R*sin b

6) заменяя в равенстве(*) х1,х2,у1,у2, получим ОВ*ОС=R^2*cos a*cos

b+R^2*sin a*sin b (**). 7) По теореме о скалярном произведении векторов

ОВ*ОС=|OB|*|OC|*cosÐBOC=R^2 cosÐBOC,

ÐBOC= a-b(см. рис. 50) или ÐBOC= 2 пи-(a-b) (см. рис. 51) cos(2

пи-(a-b))=cos(a-b) следовательно ОВ*ОС=R^2*cos (a-b) (***) 8) Из

неравенств (**) и (***) получим: R^2*cos(a-b)=R^2* cos a*cos b+R^2*sin a*sin

b. Разделив левую и правую части на R^2¹0 получим формулу (1) косинуса

разности

Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b;

С помощью этой формулы легко вывести формулу (2) косинуса суммы и (4) синуса

суммы:

Cos (a+b)=cos(a-(-b))=cos a*cos(-b)+sin a*sin (-b)= cos a*cos b-sin a*sin b

значит cos(a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b. Докажем формулу (4): sin

(a+b)=cos(пи/2-(a+b))=cos((пи/2-a)-b)=cos(пи/2-a)cos b+sin(пи/2-a)sin b=sin

a*cos b+cos a*sin b Значит sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a

Докажем формулу (3) Применяя последнюю формулу имеем sin(a-b)=sin(a+(-b))=sin

a*cos (-b)+sin(-b)*cos a=sin a*cos b-sin b*cos a. Значит sin(a-b)=sin a*cos

b-sin b*cos a. При док-ве формул (1)-(4) были использованы следующие факты:1)

формулы приведения 2)ф-ция y=sin x-нечетная, ф-ция y=cos x-четная. Из формул

сложения пологая b=пи n/2, где n ÎN, можно вывести

формулы привидения для преобразований выражений вида cos(пи*n/2 ±a), sin(пи*n/2

±a). Например cos(пи*n/2 -a)= cos пи/2*cos a+sin пи/2*sin a=0+sin a=sin a.

Аналогично выводятся следующие формулы:

Sin (пи-а)=sin a

Sin (пи+а)=-sin a

Sin (3 пи/2-а)=-cos a и т.п. Из формул сложения следуют формулы двойного

аргумента:

Sin 2a=2sin a*cos a

Cos 2a=cos^2 a-sin^2 a

Билет №15

1.Если производная функции равна 0 на некотором промежутке, то эта функция

постоянна на этом промежутке.

Если g¢(x)=0 на некотором промежутке то касательная к графику функции

y=g(x), например g(x)=6 в каждой точке данного промежутка параллельна оси ОХ.

2.Если f- непрерывная и неотрицательная функция на отрезке[а;b], то площадь

соответствующей криволинейной трапеции можно выч-ть по формуле

S=F(b)-F(a)

Док-во:

1) Пусть y=S(x) –площадь криволинейной трапеции, имеющей основание

[a;x] где xÎ[а;b], заметим что S(a)= 0 S(b)=S

2) Покажем что y=S(x)-первообразная ф-ция y=f(x)

т.е. S¢(x)=f(x) что бы найти производную ф-ции y=S(x),

воспользуемся опр-ем производной:

а) зададим преращение ∆x (пусть ∆x >0)

б) найдем приращение ф-ции

∆S=S(x+∆x)-S(x)

в) составим соотношение

∆S/∆x=S(x+∆x)-S(x)/ ∆x

г) выясним чему равен предел отношения при ∆x®0Разность S(x+∆x)-

S(x) равна площади криволинейной трапеции с основанием [x; x+∆x]

Если ∆x®0 то эта площадь приблизительно равна площади прямоугольника

f(x)* ∆x т.е.

S(x+∆x)-S(x) »f(x) * ∆x

Имеем

S(x+∆x)-S(x)/ ∆x »f(x)

При ∆x®0. Этим показано что S¢(x)=f(x)

3)Равенство S¢(x) =f(x) означает что S- первообразная функцииf на заданном

промежутке.

3)По основному св-ву первообразной имеем F(x)=S(x)+C, где F- какая-либо

первообразная для f.

При x=a получим ,что

F(a)=S(a)+C т.е. C=F(a).

При x=b имеем

F(b)=S(b)+F(a)

Следовательно

S=S(b)=F(b)-F(a)

Билет №16

1) Пусть задана функция y=f(x), дифференцируемая в каждой

точке промежутка I, точки a и b принадлежат этому промежутку. На интервале

(a;b) найдётся такая точка с, для которой выполняется равенство f’(x)= f(b)-

f(a)/b-a. Геометрически этот факт можно истолковать следующим образом. Пусть

функция y=f(x) дифференцируема на некотором промежутке. Точки a и b

принадлежат этому промежутку; через точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)) проведена

секущая. Тогда на интервале (a;b) найдётся такая точка с, что угловой

коэффициент касательной, проведённой через точку (с; f(c)), будет равен

угловому коэффициенту секущей АВ (рис 55).

2) Функция заданная формулой f(x)=x^a, называется степенной.

Свойства степенной функции при а>1 1)D(f)=[0;+¥],

если а не является натуральным числом. Это следует из определения степени с

рациональным показателем. Если а натуральное число, то D(f)=(-¥;+¥) по

определению степени с натуральным показателем. 2)E(f)=[0;+¥)

для всех а>1, кроме а= 2R+1. Где RÎN. Это следует из определения

степени с рациональным показателем. E(f)=(-¥;+¥) для нечётных а,т.е.

а=2R+1, где RÎN. 3)Если а-чётное натуральное число, то

данная функция является чётной. Т.к. f(-x)=(-x)^2R = ((-x)^2)^R= (x^2)^R = x^2R

= f(x). Если а-нечётное натуральное число. то данная функция является нечётной,

так как f(-x)=(-x)^2R+1 + (-x)^2R (-x)= x^2R * (-x)=-x^2R * x+ -x^2R+1 + -f(x).

4)При х=0 функция f(x)=0, так как 0^a = 0 при а>0. 5)

При x>0 функция f(x)>0. Это следует из определения степени с рациональным

показателем. При нечётных а(а=2R+1, RÎN), если х<0, функция принимает

отрицательные значения. Так как x^2R+1+x^2R, x^2R>0, но x<0,

следовательно, произведение x^2R x<0, т.е. f(x)<0 при x<0. 6)

Функция является возрастающей на промежутке [0;+¥) для любого a>1. Из

свойства степени с рациональным показателем (r-рациональное число и

0<a<b, тогда a^r<b^r при r>0) следует, что x1^a<x2^a. Таким

образом, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции,

т.е. функция y=f(x) возрастает на промежутке [0;¥). Докажем, что если ф-

нечётное число, то функция возрастает и на промежутке (-¥;0] (рис56б).

Пусть x1<x2<0, тогда x1^a< x2^a по определению степени с целым

отрицательным показателем. Т.е. данная функция возрастает по определению

возрастающей на промежутке функции. Аналогично можно доказать, что функция

y=f(x) на промежутке (-¥;0] убывает, если а – чётное целое (рис56а).

Билет №17

1) Пусть задана сложная ф-ция g(x)=f(kx+b).

Если ф-ция f имеет производную в точке kx0+b, то производную ф-ции g можно найти

по формуле g¢(x0)=kf¢(kx0+b).

Например найдем производную ф-ции g(x)=(7x-9)^19

g¢(x)=7*19(7x-9)^18=133(7x-9)^18

2. Правило 1. Если F- первообразная ф-ции f, а G- первообразная ф-ции g, то

F+G является первообразная ф-ции f+g.

Док-во: Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции F+G.

(F+G)¢=F¢+G¢=f+g

Правило 2. Если F- первообразная ф-ции

f, а k –постоянная , то kF- первообразная ф-ции kf.

Док-во: Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции kF.

(kF)¢=kF¢=kf

Правило 3. Если y=F(x)- первообразная ф-ции

y=f(x),а k и b- постоянные, причем k¹0 то ф-ция y=1/k*f(kx+b) явл-ся

первообразной ф-ции y=f(kx+b)

Док-во: Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции

y=1/k*F(kx+b)

(1/k*F(kx+b))¢=1/k*F¢(kx+b)*k=F¢(kx+b)=f(kx+b)

Билет № 18.

1.Пусть материальная точка движения по координатной прямой по закону x=x(t),

т.е. координата точки – известная ф-ия времени. За промежуток времени êt

перемещение точки равно êx, а средняя скорость vср=êx/êt.

Если движение таково, что при êt®0 значение средней скорости стремится к

некоторому определённому числу, то это число называют мгновенной

скоростью (êx/êy ® vмгн, при êt®0). Но по

определению производной êx/êy ® x’ при êt®0. Мгновенная

скорость определена для любой дифференцируемой ф-ии, описывающей перемещение

точки по прямой. Чтобы найти скорость движения v, нужно определить производную

от координаты по времени, т.е. v(t)=x’(t). Пример. Координата точки, движущейся

по прямой, задана формулой x(t)=2t^2-3t+1 (x(t) – перемещение в метрах, t-

время в секундах). Найти скорость точки в момент времени t=2c. Имеем:

v(t)=x’(t)=4t-3; v(2)=4*2-3=5 (м/с).

2. Таблица первообразных элементарных ф-ий.

Ф-ия	y=x^n, n¹1	y=sin x	y=cos x
Общий вид первообразных	(x^(n+1))/(n+1)+C	-cos x+C	Sin x+C
Ф-ия	y=e^x	y=a^x	Y= 1/x
Общий вид первообразных	e^x+C	(a)/ln a+C	ln x +C

Для доказательства воспользуемся определением первообразной.

1) ((x^n+1))/(n+1)+C)’= (n+1)/(n+1)*x^n + C’=x^n;

2) (-cosx+C)’=sinx+C’=sinx;

3) (sinx+C)’=cosx+C’=cosx;

4) (e^n+C)’=e^x+C’=e^x;

5) ((a^x)/(ln a)+C)=1/(ln a) *ln a+C’=a^x;

6) (ln x+C)’=(1/x)+C’=1/x

Билет №19

1.Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число Т, не

равное нулю, что для любых значений аргумента из области определения функции

выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом

функции. Например, y=sinx – периодическая функция (синусоиду нарисуешь сам

(а)) Периодом функции являются любые числа вида T=2PR, где R –целое, кроме 0.

Наименьшим положительным периодом является число T=2P. Для построения графика

периодической функции достаточно построить часть графика на одном из

промежутков длинной Т, а затем выполнить параллельный перенос этой части

графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,.

2. Если ф-ия u и v дифференцируемы в некоторой точке, то их сумма

дифференцируема в этой же точке и производная суммы равна сумме производных:

(u+v)’=u’+v’. Доказательство. Найдём производную суммы по определению

производной.

1) Пусть задана точка x0, êx-приращение аргумента.

2) 2) Вычислим приращение ф-ии:

ê(u+v)=u(x0+êx)+(x0+êx)–(u(x0)+v(x0))=u(x0+êx)-u(x0)+v(x0+êx

)- v(x0)=

êu+êv.

3)Найдём отношение приращения ф-ии к приращению аргумента:

ê(u+v)/êx=(êu+êv)/êx =êu /êx +êv/êx.

4) Выясним, к чему стремится разносное отношение при êx®0

êu/êx+êvêx ®u’+v’ при êx®0

Билет №20

1)Изобразим в прямоугольной системе координат графики следующих

показательных ф-ий:y=(3/2), y=2, y=(5/2), y=3

Все графики проходят через точку M(0;1).

Проведём касательные к графикам в этой точке. Измерим углы наклона

касательных к оси абсцисс. У касательных к графикам ф-ии y=(3/2), y=2, y(5/2)

углы с положительным направлением оси Ох меньше 45°. У касательной к графику

ф-ии y=3 этот угол больше 45°. Наличие у показательной ф-ии y=e (e=2.71828.)

касательной, проведёной в точке M(0;1) и образующей с положительным

направлением оси абсцисс угол в 45, означает, что производная в точке х0 =0

равно 1.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Натуральный

логарифм обозначается знаком ln, т.е. log x=ln x.

2. Если производная ф-ии положительна в каждой точке интервала, то ф-ия

возрастает на этом интервале.

Доказательство: Ф-ия y= f(x) называется возрастает, если большему

значению аргумента соответствует большее значение ф-ии.

Известно, что значения дифференцируемой на интеграле ф-ии, значения производной

связываются формулой Лагранжа: если ф-ия y=f(x) дифференцируема на некотором

промежутке, точки x1 и x2 принадлежат промежутку (x1< x2), то на интеграле

(х1;х2) найдется такая точка с, для которой выполняется равенство

f’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).

Пусть производная ф-ии принимает положительные значения на интеграле I, т.е.

f’(x)>0.Возьмем два знацения аргумента x1 и x2,принадлежащие этому

интегралу, причём х1<х2. Сравним значения этой ф-ии в точках х1 и х2. По

формуле Лагранжда найдётся такое значения с Î (х1:х2), для которой

выполняется равенство

F’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).

Из этого условия следует, что f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2-x1).

Заметим, что f(c)>0 (по условию), значит, f’(c)*(x2-x1)>0, т.е. разность

значению аргумента соответствует большее значение ф-ии, т.е. ф-ия

y=f(x) является возрастающей. Аналогично показывается достаточное условия ф-ии.

Страницы: 1, 2, 3