на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
/td>

f 0

P

f -

G -

f +

G -

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Рис. 2. Причем касательный вектор к S Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , следовательно Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Это значит, что функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , удовлетворяющая уравнению (3) в силу доопределения А считается решением уравнения (1). Разумеется, непрерывная функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , которая на данной части рассматриваемого интервала времени проходит в области Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (или в Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ) и там удовлетворяет уравнению (1), а на оставшейся части проходит по поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и удовлетворяет уравнению (3), также считается решением уравнения (1) в смысле доопределения А. В уравнение (3) Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , ( Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ), Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - проекции векторов Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью на нормаль к поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в точке Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (нормаль направлена в сторону области Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ). Вместе с тем множество F(t, x) можно было определить иначе. В качестве ) возьмем произвольное ограниченное выпуклое множество, содержащее отрезок J:

f +

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Рис. 3. При этом на касательной плоскости появляются векторы, отличные от Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ; это приводит к тому, что кроме решения Филиппова появляются и другие решения. Т.о. определение (А) А.Ф. Филиппова соответствует минимальному возможному определению множества F(t, x) среди всех допустимых. Это удобно в том отношении, что для решения в смысле Филиппова чаще, чем в других случаях, имеет место единственность решения. aЕсли весь отрезок с концами Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью лежит на плоскости P, то скорость движения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью по поверхности разрыва S определяется неоднозначно. При Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью имеет место скользящий режим, о котором шла речь во введение. Пусть уравнение идеального скольжения имеет вид (3). Вычисляя Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью для Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью из условия Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , находим уравнение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (4) с помощью котрого и доопределяется движение в скользящем режиме (начальные условия для (4) выбираются на поверхности разрыва, т. е. S(x(0))= 0). Пример 3. Решить систему Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Всякое решение этой системы рано или поздно попадает на прямую Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и уже не может сойти с нее. Если точка М лежит на оси Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то в окрестности этой точки вектор Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , компоненты которого - правые части системы, принимает два значения: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (6,-2) при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Отложим из точки М эти два вектора и соединим их концы отрезком АВ: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Этот отрезок и будет искомым множеством, в котором, согласно определению 3, лежит конец вектора Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью для точки М. В то же время вектор скорости Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью должен лежать на оси Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Т.к. решение не может сойти с нее ни вверх, ни вниз, следовательно, конец вектора лежит в точке пересечения отрезка АВ и оси Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Т.о., этот вектор определяется однозначно. Легко подсчитать, что Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Т.о., связь теорий уравнений (1) с разрывной правой частью с теорией диф. Включений (2) очевидна. Имея уравнение (1) с разрывной f(t, x) необходимо заменить значение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в точке разрыва Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью некоторым множеством. Это множество должно быть ограниченным, выпуклым, замкнутым. Кроме этого оно должно включать все предельные значения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при (t, x)Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . После такой замены (для любой точки разрыва) вместо (1) получаем диф. включение (2), в котором многозначная функцияДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью удовлетворяет перечисленным требованиям. Однако, в некоторых случаях множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в (2) в точках разрыва функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью нельзя определить, зная только значения функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в точках ее непрерывности. Пример 4. В механической системе с сухим трением: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью масса тела, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью его отклонение, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью упругая сила, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью сила трения, являющаяся нечетной и разрывной при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью =0 функцией скорости Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью -внешняя сила. Трение покоя Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью может принимать любые значения между [d1] своим наибольшим и наименьшим значениями Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и -Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Если Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью =Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то применимо доопределение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Если же Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью >Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то движение с нулевой начальной скоростью зависит не только от значений функции в областях ее непрерывности, но и от величины Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Доопределение А тогда неприменимо. В обоих случаях систему можно записать в виде включения (2). Множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – точка, а при v=0 – отрезок, длина которого зависит от Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Следовательно, множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью не всегда определяется предельными значениями функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью из (1), и в общем случае это множество надо задавать, используя какие-то сведения о рассматриваемой системе. Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу построения множества F(t,x). Рассмотрим систему Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (6) где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , вектор-функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью непрерывна по совокупности аргументов, а скалярные или векторные функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью разрывны соответсвенно на множествах Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , i=1,.,r, которые могут иметь общие точки и даже совпадать. В каждой точке (t, x) разрыва функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью задается замкнутое множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - множество возможных значений аргумента Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Предполагается, что при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью аргументы Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью могут независимо друг от друга пробегать соответственно множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Обычно, это условие выполнено, если функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью описывают различные независимые составные части (блоки) физической системы. В точках, где функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью непрерывна, множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью состоит из одной точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . В точках, разрыва функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью необходимо, чтобы множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью содержало все точки, предельные для точек любой из последовательностей вида Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью k =1,2,.(или Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью k=1,2,.). Потребуем, чтобы множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью было выпуклым (если Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - скалярная функция, то Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - отрезок или точка). Пусть Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (7) множество значений функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , когда t, x постоянны, а Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью независимо друг от друга пробегают соответственно множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Определение 4. Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (или Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - наименьшее выпуклое множество, содержащее множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ). Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В. Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения (управления). Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция, Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 1,., r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей. В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхноостям, например Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ,., S m (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , полагают (если решение не может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей) Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (8) где эквивалентные управления Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью определяются так, чтобы вектор Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в (8) касался поверхностей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ,., Sm и чтобы значение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью содержалось в отрезке с концами Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью – предельные значения функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью с обеих сторон поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , i=1,., m. Т.о., функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью определяются из системы уравнений Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Определение 5. Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверхностей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех t ). Например, в случае Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью конец вектора Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью лежит на пересечении касательной к S в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора f(t,x,u), когда u изменяется от Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью до Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью :
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
Рис. 4. С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва. Например, в системе c одной поверхностью разрыва Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью для нахождения этого вектора в некоторой точке (t, x) нужно построить годограф f(t, x, u), изменяя скалярное управление от Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , и найти точку его пересечения с касательной плоскостью. Точка пересечения определяет Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью диф. уравнения (8) (для r=1 (8) примет вид Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ).
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

u + (t,x)

Страницы: 1, 2, 3


© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.