|
|
| Диплом: Когомологии де Рама |
|
/td> |
+ |
|
Продолжим  по
линейности до отображения 
. Для бесконечных цепей отображение определяется аналогично:
 ,  .
То есть для каждой р-цепи с (р-1)-цепь 
сопоставляет (р-1)-мерному сингулярному симплексу t число 
. Тогда и в случае конечных и в случае бесконечных цепей имеет место соотношение 
.
Из определения р-цепи следует, что равенство 
достаточно доказать для любого симплекса, тогда оно верно и для любой цепи.
Пусть s есть q-мерный симплекс. Если  , то доказывать нечего. Если  , то
 .
Так как  , то в нашем случае получим
  , если  .
Тогда
положим 
.
Таким образом, равенство  доказано.
1.3 Интегралы по р-мерным цепям.
Определение. р-цепь с, удовлетворяющая условию 
называется циклом; р-цепь вида 
, где d – некоторая (р+1)-цепь называется границей.
Равенство  говорит о
том, что пространство границ есть подпространство пространства циклов.
Определение. Факторпространство пространства циклов по
пространству границ называется р-мерной группой гомологий и обозначается 
. Для бесконечных цепей р-мерная группа гомологий обозначается 
Из определения следует, что если 
, то отображение 
перестановочно с  .
Поэтому  переводит
циклы в циклы, границы в границы.
Теперь рассмотрим дифференциальные формы и операцию внешнего дифференцирования
Определение. Носителем формы ω называется наименьшее
замкнутое множество, вне которого она равна нулю.
Определение. Дифференциальная р-форма ω называется
замкнутой, если  и
точной, если  .
Замкнутые формы будем называть коциклами, точные – кограницами.
Из равенства 
следует, что пространство кограниц есть подпространство пространства коциклов.
Определение. Факторпространство замкнутых р-форм по точным
р-формам называется р-мерной группой когомологий (де Рама) многообразия М и
обозначается 
Определение. Факторпространство замкнутых р-форм с компактным
носителем по точным р-формам с компактным носителем называется р-мерной группой
когомологий с компактным носителем многообразия М и обозначается 
Заметим, что для компактного многообразия носитель формы всегда является
компактным множеством. Тогда группа когомологий совпадает с группой
когомологий с компактным носителем.
Определим интеграл от р-формы по р-цепи:
Определение. Пусть s – сингулярный р-симплекс, а 
– дифференциальная форма степени р. Форма 
определена в некоторой окрестности евклидова р-симплекса 
. Допустим, что, 
где  - стандартные
координаты в  .
Положим по определению, 
(1.3)
Продолжим (1.3) на любую конечную р-цепь по линейности. В общем случае нельзя
интегрировать произвольную р-форму по бесконечной р-цепи, так как это может
привести к расходящемуся бесконечному ряду.
Если ω – форма с компактным носителем, то для любой бесконечной цепи 
сумма  
имеет только конечное число ненулевых членов и поэтому определена.
Пусть  -
собственное дифференцируемое отображение. Из определения следует, что 
, так как  и 
.
1.4 Теорема Стокса.
Теорема Стокса. Для любой р-цепи с и (р-1)-формы 
(соответственно бесконечной р-цепи с и (р-1)-формы с компактным носителем)
справедливо равенство 
Доказательство.
Благодаря линейности по с обеих частей формулы 
достаточно рассмотреть случай 
, где  - сингулярный
р-симплекс. В этом случае наша формула сводится к равенству
 , (1.4)
где  , а 
рассматривается как сингулярный (р-1)-симплекс в  . По определению
 .
Достаточно доказать формулу (1.4) для каждого члена этой суммы. Таким
образом, задача сводится к проверке равенства
. (1.5)
Так как  , то в
правой части останутся только члены с 
и  . Пусть 
– евклидовы координаты в 
. Тогда
и 
 .
В соответствии с определениями (1.5) сводится к равенству
 .
Из равенства 
следует, что интегралы точной формы по циклу и замкнутой формы по границе равны
нулю. Таким образом, справедливы следующие следствия:
Следствие 1. Билинейное отображение 
,определяемое интегралом 
, индуцирует билинейное отображение 
.
То есть отображение  является билинейным и не зависит от выбора представителя.
Рассмотрим замкнутую р-форму ω и р-цикл с, такие что  и  . Тогда
.
Аналогично следствию 1 получаем:
Следствие 2. Билинейное отображение 
,определяемое интегралом 
, индуцирует билинейное отображение 
.
Раздел 2. Нульмерные и n-мерные когомологии.
Согласно определению, не существует нульмерных кограниц. Поэтому нульмерная
группа когомологий совпадает с группой коциклов. Но 0-форма есть просто
функция, а 0-коцикл есть такая функция f, что 
, то есть локально постоянная функция. Таким образом, 
является пространством всех локально постоянных вещественных функций на М
. Поскольку любая локально постоянная функция постоянна на связных компонентах
многообразия М, то 
, где Со(М) есть множество компонент в М. В частности, если
М связно, то  .
Функция f является компактным коциклом, если она локально постоянна и
supp f компактен. Это означает, что 
на некомпактных компонентах многообразия М. Поэтому 
, где  есть
множество компактных компонент многообразия М. В частности, если М
связно, то  для
компактного многообразия М и 
для некомпактного М.
2.1 Вычисление когомологий на компактном многообразии.
Рассмотрим в  шар 
радиуса r. Тогда можно вычислить 
для всех р. Именно, справедлива
Теорема 2.1 (лемма Пуанкаре). Пусть w - форма степени 
, определенная на  ,
и пусть  . Тогда
существует такая форма W, определенная на 
, что  .
Докажем теорему индукцией по размерности n. Для 
можно считать  ; все
другие случаи тривиальны. Если 
, то достаточно положить 
, где  .
Сделаем следующее замечание:
Лемма 2.1. Если  =0 и  , то  , где  и  .
Действительно,
 ,
где остальные члены не содержат  .
Перейдем к доказательству теоремы.
Пусть  – декартовы координаты в  , и пусть  - отображение, задаваемое формулами
 ,
 ,
где  - декартовы
координаты в  .
Тогда  для 
и  . Пусть р
– отображение шара 
на  , определяемое
формулой
 для  .
Имеем  . По
предположению индукции 
для некоторой формы 
на  . Положим 
. Где  и 
- формы от  
. Определим форму W следующими условиями:
1. 
2.  W=0,
3.  
В терминах координат 
условие 2. означает, что форма W может быть записана в виде
Условие 1. означает, что 
Условие 2. означает, что  , если  .
Отсюда видно, что существует единственная форма W, удовлетворяющая условиям
1,2,3, которая может быть найдена с помощью интегрирования по 
. Мы утверждаем, что 
. Действительно,
 .
Но  есть дифференциальная форма, не содержащая  . Поэтому
 ,
где  не зависит от  . Поскольку  , мы можем применить лемму 2.1. Таким образом,
 , где  и  .
С другой стороны,
. Значит,  и  . Другими словами,  , что и доказывает теорему 2.1.
Следствие 2.1.  для  .
В доказательстве теоремы 2.1. коэффициенты формы W из коэффициентов формы w
интегрированием. Поэтому, если коэффициенты формы w дифференцируемо зависят
от некоторых дополнительных параметров, то форма W также дифференцируемо
зависит от этих параметров.
Следствие 2.2. Если в теореме 2.1. форма w дифференцируемо зависит от
параметров, то есть 
, где  –
дифференцируемые функции от 
и  (оператор d
берется по  ), то 
, где  , причем 
- дифференцируемые функции всех n+l переменных.
2.2 Вычисление когомологий с компактным носителем.
Мы хотим вычислить  для любого многообразия М.
Лемма 2.2. Пусть w - такая n-форма, определенная на  , что
1. supp , где  - куб 
2.  .
Тогда мы можем найти такую (n-1)-форму W, что
3. supp ,
4.  .
Доказательство:
Доказательство проведем с помощью индукции. Для любой k-формы p,
выраженной через  ,
обозначим символом 
максимум абсолютных значений ее коэффициентов в 
. Мы будем говорить, что семейство форм 
дифференцируемо зависит от t, если каждый коэффициент есть
дифференцируемая функция от 
. Здесь t обозначает s-мерный параметр, 
. Наше индуктивное предположение состоит в следующем:
Пусть  -
семейство форм на  ,
дифференцируемо зависящее от t. Предположим, что для каждого значения t форма 
удовлетворяет условиям 1. и 2. Тогда существует такое дифференцируемое семейство
форм  ,
удовлетворяющее условию 3., что 
и
5.  ,
где  зависит только от n и r
Для  мы можем
написать  .
Определим функцию 
равенством 
.Очевидно, что  есть
дифференцируемое семейство 0-форм, удовлетворяющих условиям 3., 4. и 5.
Допустим, что предположение индукции выполнено для n-1. Пусть
 .
И пусть  есть
положительная форма на 
, такая, что supp
и  . Рассмотрим формы 
на  (зависящие от
параметров  ),
определяемые формулой
. (2.1)
Они образуют дифференцируемое семейство 
-форм, удовлетворяющее предположению индукции. Кроме того, 
, если  . Поэтому мы
можем написать
 (2.2)
Пусть  , где  – дифференцируемые функции на  . Определим форму  равенством
 ,
так что  , где  есть вложение  , заданное формулами
 .
При вычислении формы 
встретятся два типа членов: содержащие частные производные по 
содержащие частную производную по 
. Умножением на  мы
избавимся от членов, содержащих 
, и, значит для каждого значения 
будем иметь  , где
р есть проекция 
вдоль  . Положим 
. Тогда  . Положим
 . (2.3)
Имеем  . Но  , поскольку p есть (n-1)-форма на  . Поэтому
 . (2.4)
Далее, формы  p и 
, а значит, и форма 
обращаются в нуль при 
. Если  или 
, то последний интеграл также обращается в нуль, поскольку
.
Форма  обращается в нуль, если  , так как по индуктивному предположению 5.
 при  .
Наконец, формы встречающиеся в правой части формулы (2.3), очевидно образуют
дифференцируемое семейство форм и удовлетворяют оценке 5., где 
зависят от  и
от выбора j. Лемма доказана.
С помощью леммы 2.2. доказывается
Лемма 2.3. Если М – связное n-мерное многообразие, то 
есть либо R, либо {0} (то есть 
не более чем одномерно).
Пусть  - такой атлас
на М, что каждая окрестность 
имеет вид  . Пусть W
- такая n-форма, что supp
и  . Лемма будет
доказана, если для любой n-формы w с компактным носителем мы найдем
такое вещественное число с, что
 , (2.5)
где  есть (n-1)
-форма с компактным носителем. Пусть 
- разбиение единицы, подчиненное покрытию 
. Тогда  - конечная
сумма, и достаточно провести доказательство для каждого слагаемого в
отдельности. Поэтому можно считать, что supp
для некоторого j. Пусть р – точка из 
, а q – из  .
Пусть  – такая
кривая, что  и 
. Покроем  конечным
числом окрестностей 
. Изменив, если потребуется, их нумерацию, мы можем считать, что это окрестности 
, причем  Æ
Пусть  – такие
формы, что
supp ,  .
Положим  .
Рассмотрим формы  и 
на  с носителями в 
. Поскольку  ,
существуют константы
такие, что  . По лемме 2.2.
 , (2.6)
причем supp .
Форма  определена в 
и имеет носитель в  .
Определим на М форму 
, полагая  вне 
и  на 
. Тогда равенство (2.6) можно переписать в виде
 . (2.7)
Складывая с подходящими весами равенства (2.7) при 
, мы получим равенство (2.5) , где
.
Литература.
1. Александров П.С. "Введение в теорию множеств и общую
топологию", Москва
2. Александров П.С., Пасынков Б.С. "Введение в теорию
размерности", Москва
3. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. "Риманова геометрия", Санкт-
Петербург, Наука, 1994
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. "Современная
геометрия", Москва
5. Келли Дж. "Общая топология", Москва
6. Колмогоров А.Н., Фомин В.С "Элементы теории функций и
функционального анализа", Москва
7. Погорелов А.В. "Дифференциальная геометрия", Москва, Наука, 1969
8. Понтрягин Л.С. "Гладкие многообразия и их применение в теории
гомотопий", Москва, Наука, 1984
9. Постников М.М. "Группы Ли", Москва
10. Стернберг
11. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. "Курс гомотопической топологии", Москва,
Наука, 1989
Страницы: 1, 2
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
