;

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями

действительной переменной, а именно:

,

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: , , , ,

Решение. По определению, ,, ; если , то очевидно, , ,

, ,

, , ,

, , ,

Найти суммы:

1)

2)

Решение. Пусть: , а

. Умножим вторую

строчку на , сложим

с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:

; Преобразуя, получим:

,

3. Доказать, что: 1) 2)

3) 4)

Доказательство:

1) По определению,

2)

3) ;

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного

аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1)

; 2) ; 3)

;

Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:

, , ,

Напомним, что

2)

, ,

3)

, ,

, .

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ;

Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

; ; ; ;

;

Вычислить: 1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) ;

Решение. По определению, ,

1), , ,

2) , , ,

3) , , ,

4), , ,

5), , ,

6), , ,

Найти все значения следующих степеней:

1) ; 2) ; 3) ; 4);

Решение. Выражение для любых комплексных и определяются формулой

1)

2)

3)

4) .

8. Доказать следующие равенства:

1) ;

2) ;

3)

Доказательство: 1) , если , или , откуда , или .

Решив это уравнение, получим , т.е. и

2) , если , откуда , или , следовательно,

,

3) , если , откуда , или

.

Отсюда , следовательно,

Страницы: 1, 2