Курсовая: Теория Матриц и Определителей
Средняя школа № 45.
Город Москва.
Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений
Курсовая работа (черновик).
Введение в теорию матриц и определителей.
1996 год.
Оглавление.
Оглавление...................................................................
.............................................................................
........
1.
Матрицы......................................................................
.............................................................................
........
1.1 Понятие
матрицы......................................................................
..........................................................
1.2 Оновные операции над
матрицами....................................................................
...................
2.
Определители.................................................................
.............................................................................
.
2.1 Понятие
определителя.................................................................
....................................................
2.2 Вычисление
определителей................................................................
...........................................
2.3 Основные свойства
определителей................................................................
........................
3. Системы линейных
уравнений....................................................................
..................................
3.1 Основные
определения..................................................................
...................................................
3.2 Условие совместности систем линейных
уравнений..............................................
3.3 Решение ситем линейных уравнений метедом
Крамера.........................................
3.4 Решение ситем линейных уравнений метедом
Гаусса............................................
4. Обратная
матрица......................................................................
.............................................................
4.1 Понятие обратной
матрицы......................................................................
...................................
4.2 Вычесление обратной
матрицы......................................................................
...........................
Список
литературы...................................................................
.................................................................
1. Матрицы. 1.1 Понятие матрицы.
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая
некоторое количество m строк и некоторое количество n
столбцов. Числа m и n называются
порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица
называется квадратной, а число m = n -- ее порядком
.
1.2 Основные операции над матрицами.
Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы
на число, сложение и умножение матриц.
Прежде всего договоримся считать матрицы равными, если эти матрицы имеют
одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Перейдем к определению основных операций над матрицами.
Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: A и B, имеющих
одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков
m и n называется матрица С = ( Сij )( i = 1, 2, .m; j
= 1, 2, .n ) тех же порядков m и n, элементы Cij которой равны.
Cij = Aij + Bij ( i = 1, 2, ., m; j = 1, 2, ., n ) ( 1.2 )
Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция
составления суммы матриц называется их сложением
Итак по определению имеем :
 +  =
= 
Из определения суммы матриц, а точнее из формулы ( 1.2 )
непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же
свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно :
1) переместительным свойством : A + B = B + A
2) сочетательным свойством : (A + B) + C = A + (B + C)
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц
при сложении двух или большего числа матриц.
Умножение матрицы на число :
Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, ., m; j = 1, 2, ., n ) на
вещественное число 
называется матрица C = (Cij) ( i = 1, 2, . , m; j = 1, 2, ., n ), элементы
которой равны
Cij = Aij ( i = 1, 2, ., m; j = 1, 2, ., n ). (1.3)
Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = 
A или C = A
. Операция составления произведения матрицы на число называется
умножением матрицы на это число.
Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число
обладает следующими свойствами :
1) распределительным свойством относительно суммы матриц:
 (A + B) = A + B
2) сочетательным свойством относительно числового множителя:
(  ) A = (  A)
3) распределительным свойством относительно суммы чисел :
( + ) A =  A +  A.
Замечание : Разностью двух матриц A
и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу
C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает
матрицу A. Для обозначения разности двух матриц
используется естественная запись : C = A – B.
Перемножение матриц :
Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, ., m; j = 1, 2, ., n ), имеющей
порядки соответственно равные m и n,
на матрицу B = (Bij) ( i = 1, 2, ., n;
j = 1, 2, ., p ), имеющую порядки соответственно равные n
и p, называется матрица C = (Сij) ( i = 1, 2, . , m; j =
1, 2, . , p ), имеющая порядки, соответственно равные m и
p, и элементы Cij, определяемые формулой
Cij =  ( i = 1, 2, ., m; j = 1, 2, ., p ) (1.4)
Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись
C = AB. Операция составления произведения матрицы A на
матрицу B называется перемножением этих матриц. Из
сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A
можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число
столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.
Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были
определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе
матрицы A и B были квадратными
матрицами одного и того же порядка.
Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C,
являющейся произведением матрицы A на матрицу B.
Это правило можно сформулировать и словесно : Элемент Cij,
стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C = AB, равен сумме
попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го
столбца матрицы B. В качестве примера применения указанного правила
приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка
  = 
Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на
матрицу B :
1) сочетательное свойство : (AB) C = A (BC);
2) распределительное относительно суммы матриц свойство :
(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.
Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить
лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры
показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не
обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если
положить
A =  , B =  , то AB =  , а BA = 
Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство,
Страницы: 1, 2
| 
