|
значения и учитывая неотрицательность функций 
и  . Мы получим, что
найдутся точка  на
сегменте [-h, 0] и точка 
на сегменте
[0 ,h] такие, что
В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка 
такая, что 
Поэтому для полусуммы  мы получим следующее выражение:
Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что
 (4)
где
  . (5)
Так как величина 
представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием 
(рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене 
указанной площадью, имеет порядок 
Таким образом, формула 
тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла 
естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа
n интегралов
И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом,
что длина сегмента 
равна  , мы получим
формулу прямоугольников (1), в которой
Здесь  . Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции 
Примеры вычисления определённых интегралов
по формуле прямоугольников.
Для примеров возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле Ньютона-
Лейбница, а затем по формуле прямоугольников.
П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить интеграл  .
По формуле Ньютона-Лейбница, получим
Теперь применим формулу прямоугольников
1.   .
2.   .
3.   .
4.   .
5.   .
6.   .
7.   .
8.   .
9.   .
10.   .
Сумма  .
Таким образом,   .
В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной функции
формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый интеграл.
П р и м е р 2. Вычислим интеграл  с точностью до 0,001.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим  .
Теперь воспользуемся формулой прямоугольников.
Так как для  имеем  (если  ), то 
Если взять n=10, то дополнительный член нашей формулы будет 
Нам придётся внести ещё погрешность, округляя значения функции; постараемся,
чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на 
С этой целью достаточно вычислять значение функции 
с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:
1.   .
2.   .
3.   .
4.   .
5.   .
6.   .
7.   .
8.   .
9.   .
10.  
Сумма 6,9284.
 .
Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно и к их среднему
арифметическому) содержится между 
, а также принимая во внимание оценку дополнительного члена 
, найдём, что 
содержится между границами 
и  , а
следовательно, и подавно между 0,692 и 0,694. Таким образом, 
.
Заключение.
Изложенный выше метод вычисления определенных интегралов содержит четко
сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой особенностью
изложенного метода является стереотипность тех вычислительных операций,
которые приходится производить на каждом отдельном шаге. Эти две особенности
обеспечивают широкое применение изложенного метода для проведения вычислений
на современных быстродействующих вычислительных машинах.
Выше для приближенного вычисления интеграла от функции f(x)
мы исходили из разбиения основного сегмента [a, b] на достаточно большое
число n равных частичных сегментов одинаковой длины h и из
последующей замены функции f(x) на каждом частичном сегменте
многочленом соответственно нулевого, первого или второго порядка.
Погрешность, возникающая при таком подходе, никак не учитывает индивидуальных
свойств функции f(x). Поэтому, естественно, возникает идея о
варьировании точек разбиения основного сегмента [a, b] на n,
вообще говоря, не равных друг другу частичных сегментов, которое обеспечивало
бы минимальную величину погрешности данной приближённой формулы.
Список литературы.
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в
3-х томах, том II. (§§ 332, 335).
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I.
Москва «Наука», 1982г. (Глава 12, пп.1, 2, 5).
Страницы: 1, 2
| 
