Используя понятие конечных разностей выведем интерполяционную формулу Ньютона

для равноотстоящих узлов

7.4.2 Интерполяционная формула Ньютона

Полином -й степени (т.е. имеющий корней)

перепишем в виде

где — узлы интерполяции.

Т.к. полином

выбирается таким образом, чтобы

— значения заданной функции совпадали с

— значениями интерполирующей функции в узлах, то, полагая

найдем

1. Полагая найдем

2. Полагая найдем

отсюда

3. Полагая найдем

отсюда и т.д.

В общем случае и

отсюда

Подставив вычисленные значения в выражение для многочлена, получим

(7.15)

Полученное выражение называется интерполяционной формулой Ньютона для

равноотстоящих узлов.

7.5 Погрешность многочленной интерполяции

1. Оценочная формула погрешности метода интерполирования по формуле Лагранжа

записывается следующим образом:

(7.16)

где — максимальное

значение производной от интерполирующей функции на отрезке

(считаем, что функция

дифференцируема на отрезке

раз).

2. Погрешность при интерполяции полиномом Ньютона оценивается по формуле:

(7.17)

7.6 Пример вычисления значения интерполяционного многочлена Лагранжа

Имеется таблица значений функции

0,41	2,63
1,55	3,75
2,67	4,87
3,84	5,03

Требуется получить значение этой функции в точке

, пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа. Для составления программы

вычисления одного значения интерполяционного многочлена Лагранжа на ЭВМ

воспользуемся формулой (7.9).

ввод N, Q

ввод таблицы x, y

S=0

начало цикла по I от 1 до N

L=1

начало цикла по J от 1 до N

да I=J нет

конец цикла по J

конец цикла по I

вывод Q,S Рис.7.3

Схема алгоритма изображена на рисунке 7.3. В приведенной блок-схеме: N

— количество узлов интерполяции; Q — заданное значение аргумента

Для набора исходных данных рассматриваемого примера будут получены следующие

результаты:

7.7 Контрольные вопросы

1. В чем особенность приближения таблично заданной функции методом

интерполирования?

2. Как связана степень интерполяционного многочлена с количеством узлов

интерполяции?

3. Как строятся интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона? В чем

особенности этих двух способов интерполяции?

4. В чем состоит различие между интерполяцией и экстраполяцией?

7.8 Задания к лабораторной работе № 7

1. По заданной таблице значений функции составить формулу интерполяционного

многочлена Лагранжа. Построить его график и отметить на нем узловые точки

2. Вычислить одно значение заданной функции для промежуточного значения

аргумента с помощью

интерполяционного многочлена Лагранжа и оценить погрешность интерполяции.

3. Выполнить пункт 2 для интерполяционного многочлена Ньютона. Сравнить

полученные результаты.

В оформленной работе должны быть приведены графики функций; все составленные

алгоритмы или блок-схемы методов, программы и результаты расчетов, ответы на

контрольные вопросы. После выполнения заданий необходимо сравнить полученные

результаты и сопоставить в них верные цифры.

Вариант
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	-1 0 1 2 2 3 4 5 0 2 4 6 7 9 11 13 -3 -1 1 3 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 4 6 8 -4 -2 0 2 -1 1 3 5 2 4 6 8 -9 -7 -5 -3 0 1 2 3 -8 -5 -2 1 -7 -5 -3 -1 1 4 7 10 7 8 9 10 -4 0 4 8 -3 -1 1 3 0 3 6 9 0,7 0,8 0,9 1,0 2,7 2,75 2,8 2,85 3 3,5 4 4,5 10 14 18 22 2 4 6 8	-3 5 2 3 4 1 7 6 -1 -4 2 -2 2 -2 3 2 7 -1 4 3 -3 -7 2 3 4 9 1 1 9 -3 6 4 2 8 5 3 4 -7 1 -2 -1 -6 3 4 3 -3 4 -4 7 -1 8 0 9 -2 4 2 4 -4 5 2 -2 9 3 0,5 6 -2 7 0 4 8 -2 2 11 -1 6 4 1 5 -4 -2 0,7 1 6 11 0,7 0,8 0,95 1,2 1,7 1,8 1,6 1,4 9,8 9,7 9,4 8,5 2,2 4,2 5,1 1,9	2 3,5 1 8 0 0,5 0,1 3 -1 2 5 -3 1,5 -3,2 -6,3 3,5 9,8 -2 0,4 5 0,83 2,72 3,9 23 8

Страницы: 1, 2, 3