|
|
| Реферат: Аркфункции |
Формулы сложения
Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких)
аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций;
над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В
соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной
аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут
получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется
значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где
 ; 
В данном случае  (т.к.  , а следовательно,  ), а также  , поэтому  .
Вычислив синус дуги γ, получим:
Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то
Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в
виде арктангенса. Имеем:
Откуда
Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму 
Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во
второй четверти, т.к. 
, а  . Вычисляем 
В рассматриваемом примере 
, так как дуги γ и 
заключены в различных интервалах,
 , а 
В данном случае 
Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в
виде арккосинуса.
Решение: имеем
Обе дуги γ и 
расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно,
эти дуги равны: 
Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи
произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы
сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений.
Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим
образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.
Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2
(первая четверть):
 , и 
Сумма α + β заключена в верхней полуокружности 
, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой
выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде
арккотангенса:
 ;
Разность α – β заключена в правой полуокружности: 
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде
арктангенса:
 ;
Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в
интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов
можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а
разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде
арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
1. Преобразуем в арккосинус  , где  и 
Имеем:
Откуда
2. Аналогично
 , где 0 < x < 1, 0 < y < 1
 , где 0 < x < 1, 0 < y < 1
Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
1. Выразить сумму  через арксинус
По определению арксинуса
 и  ,
откуда
Для дуги γ возможны следующие три случая:
Случай 1: 
Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно
нулю, то имеет место случай 1.
В самом деле, при  и  , имеем:
 , и  ,
откуда
При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из
следующих двух систем неравенств:
а)  б) 
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого
случаи а) и б), является выполнение неравенства:
 в случае а) и  в случае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой
взаимно исключающие следствия 
и  (соответственно),
а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия
данных соотношений.
Вычислив  , получим:
При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е.  или
Откуда
 и, следовательно, 
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
 ;
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому
 или 
Случай 2. 
В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия  получим 
Случай 3. 
Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и 
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
откуда 
Дуги γ и 
имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) 
, следовательно в случае 1 
;
в случае 2  и в случае 3  .
Итак, имеем окончательно:
  ,  или 
  ; x > 0, y > 0, и  (1)
 ; x < 0, y < 0, и 
Пример:
 ; 
2. Заменив в (1) x на –x получим:
  ,  или 
  ; x > 0, y > 0, и  (2)
 ; x < 0, y < 0, и 
3. Выразить сумму  через арккосинус
 и 
имеем
Возможны следующие два случая.
Случай 1:  если  , то
Приняв во внимание, что обе дуги 
и  расположены в
промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
и следовательно,  , откуда 
Случай 2:  . Если  , то
 ,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим 
. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если 
, а случай 2, если
 .
Из равенства  следует, что дуги
 и  имеют одинаковый косинус.
В случае 1  , в случае 2  , следовательно,
   , 
 ,  (3)
4. Аналогично
   , 
 ,  (4)
пример: 
5.
  ; xy < 1
 
; x > 1, xy > 1
(5)
 ; x < 0, xy > 1
При xy=1 не имеет смысла
6.
  ; xy > -1
  ; x > 0, xy < -1 (6)
 ; x < 0, xy < -1
7.
  ; 
  ;  (7)
 ; 
8.
   ;  (8)
 ; 
9.
  ; 
 
; x > 1
(9)
 ; x < -1
10.  (10)
(11)
   , если  (12)
 , если 
Страницы: 1, 2, 3
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
