УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С ЗАДАННОЙ ТОЧКОЙ И НАПРАВЛЯЮЩИМ ВЕКТОРОМ

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные, или плоские преобразования.

Уравнение , связывающее две переменные x и y называется уравнением линии L в выбранной плоской системе координат, если координаты любой точки этой линии L удовлетворяют уравнению, а любые другие координаты точек, не принадлежащих лини L, не удовлетворяют указанному уравнению.

По определению линия — это есть соотношение, связывающее координаты точек некоторой области пространства, и, причем только эти координаты. Уравнение представляет собой аналитическую запись уравнения любой плоской линии.

.

Если вместо подставить его численное значение, от получим известное уравнение прямой

.

Известно, что уравнение прямой имеет вид:

.

По условию задачи k задан. Точка M (x0 ,y0) должна также принадлежать искомой прямой и, по определению линии, обращать уравнение прямой в тождество. Воспользуемся этим и подставим значения x0 и y0 в уравнение, получим :

.

В последнем уравнении неизвестно b. Элементарным преобразова­ни­ем из последнего уравнения получим

.

Найденное b подставим в уравнение и окончательно

.

Уравнение является уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

Неизвестен k - угловой коэффициент наклона линии по отношению к положительному направлению 0X. Однако, зная общий вид уравнения прямой ( ) и учитывая, что обе точки расположены на искомой линии, можно составить следующую систему:

,

где – координаты точек M1 и M2 соответственно, (из­вест­ны), а k и b – искомые неизвестные. Вычитая из первого уравнения второе, выразим k,

.

Подставим найденное k в любое из уравнений и определим b

.

Подставим найденные k и b в уравнение прямой

.

Преобразуем последнее уравнение

и окончательно

.

Данное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

ПРЯМАЯ КАК ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Любая поверхность есть геометрическое место точек, ее

составляющих, определенное уравнением

Иными словами, все точки, которые

удовлетворяют этому уравнению, будут

принадлежать поверхности.

Пусть в пространстве XYZ задана

плоскость a и к ней в точке K проведем

вектор нормали . Так как плоскость a

ориентирована произвольно в пространстве,

то вектор будет составлять с осями x, y, z углы a, b и g соответственно.

Выберем на плоскости a точку M, не совпадающую с K и свяжем с этой точкой вектор . Очевидно, что , где r – модуль вектора , из уравнения получаем .

Получаем нормальное уравнение плоскости: .

Однако, если представим вектор как , а вектор , тогда подставив полученные выражения, получаем

Зная, что для любой точки, принадлежащей плоскости, с координатами (A,B.C) можно вычислить направляющие косинусы

с учетом которых можно уравнение преобразовать

,

которое известно, как уравнение плоскости.

Прямой линией назовем пересечение двух плоскостей в пространстве. Определение можно записать математически как .

Пусть плоскости a и b (рис. 6) за­да­ны уравнениями:

и

,

где ; ,

система из этих уравнений:

Уравнения называются общими уравнениями прямой в

пространстве, записанными в векторной форме.

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИХ СВОЙСТВА

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составлен­ная из чисел , которые называют элементами матрицы и обозначается

Если в выражении (1) , то говорят о квадратной матрице, а если , то о прямоугольной.

Суммой двух матриц и называется матрица C, у которой , и записывают .

Произведением матрицы на число называется такая

матрица C = (cij), у которой (cij) = (kaij).

Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число та­кое, что 1) у матрицы A имеется минор го порядка ; 2) всякий минор матрицы A порядка и выше равен нулю, тогда число , обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается . Из определения вытекает, что 1) ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так 2) если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. ,то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю .

Определителем n-го порядка называется число равное алгебраической сумме , где есть алгебраические дополнения элемента , а - есть соответствующие миноры, т.е. определители (n-1)-го порядка, получающиеся из исходного определителя вычеркиванием первой строки и n-го столбца, на пересечение которых находится элемент .

Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя

Решением системы называется совокупность из n чисел (с1, с2, ..., сn), которые, будучи подставленными в систему на место неизвестных x1, x2, ..., xn, обращают все уравнения системы в истинные равенства

Систему уравнений, имеющую хотя бы одно решение, называют совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной.

Решения и считают различными, если хотя бы одно из чисел не совпадает с соответствующим числом

Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определнной; если совместная система имеет по крайней мере два различных решения, то она называется неопределенной.

Формулы Крамера .

Метод Гаусса.

Пусть А - невырожденная матрица, то есть det A 0, и, следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части на А-1 слева, получаем:

А-1 (А Х) = А-1 В (А-1 А)Х = А-1 В Е Х = А-1 В, то есть Х = А-1 В и есть искомое решение системы (14). Действительно, подставив (16) в (14), получим А (А-1 В) = (А-1 А)В = Е В = В.