ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество , то тогда говорят, что на множестве определена функция. Множество называется областью изменения функции, множество – областью определения функции. Такая функция называется однозначной.

Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F несколько значений из множества , то тогда говорят, что на множестве задана многозначная функция.

Для того чтобы обозначить, что есть функция от, используют следующие виды записи: ; ; и т.д.

Если невозможно выразить , тогда говорят, что задана неявная функция и записывают: ; ; и т.д.

Если надо выделить некоторое частное значение функции, соответствующее какому-либо конкретному значению , тогда записывают: .

Если каждому натуральному n по какому-либо известному правилу поставлено в соответствие некоторое число , тогда говорят, что задана последовательность, которая обозначается как Правило, по которому формируется последовательность , обозначается как и называется общим числом последовательности. Число назовем пределом последовательности при стремящимся к , если для любого положительного, наперед заданного числа e, определяющего окрестность точки A, можно указать такую d, что для любого , отличного от из отрезка значений функции принадлежит и это записывают как .

Последовательностьназывается бесконечно большой, если для любого числа найдется номер N, такой что для всех выполняется неравенство . Геометрически это обозначает, что какой бы большой номер числа последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число, принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее выбранного, если последовательность составлена из положительных чисел, или левее, если последовательность составлена из отрицательных. Это записывают , или .

Последовательность называется бесконечно малой, если

ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательностьсходилась к числу A не­обходимо и достаточно, чтобы выполнилось равенство , где .

Эта теорема дает связь между пределом сходящейся последовательности и бесконечно малыми.

Функции называется непрерывной при или в точке , если выполняется .А так как функция при этом должна быть непрерывной в точке , то должно быть справедливо .

Функция называется непрерывной в точке, если для всех положительных, сколь угодно малых e можно указать такое положительное число , для которого выполняется неравенство для всех из отрезка .

ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕС-КИЙ СМЫСЛ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ.

ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Если отношение имеет предел при

этот предел называ­ют

производной функции при заданном

значении и записывают

.

Производная функции в точке численно равна тангенсу угла, который составляет касательная к графику этой функции построенной в точке с положительным направлением с осью

Из определения ясно - в случае убывающей функции производная отрицательна. Это объясняется тем, что , еслибудет отрицательным. На этом свойстве производной основано исследование поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке.

Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных. .

Производная произведения равна .

Если функция имеет в точке производную и функция имеет в точке производную , тогда сложная функция имеет в точке производную, равную

Если имеет в точке производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция также имеет производную и имеет место соотношение .

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д.

Пример 1.; ; ; ...; ; .

Пример 2.; ; ; ; . Так как , то можно предположить, что в данном случае функцию можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Пример 3.. . Как и во втором примере, эта функция дифференцируема бесконечное количество раз.

Пример 4.. ; ; ; . ; ...Как следует из приведенных примеров, разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной. Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.

ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИЙ

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению независимой переменной соответствует большее значение функции, т.е. если и , то выполняется .

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению независимой переменной соответствует меньшее значение функции, т.е. если и , , то .

Если функция определима и непрерывна на некотором отрезке и на концах отрезка имеет знак, то на указанном отрезке эта функция имеет по крайне мере хотя бы одну точку, в которой .

Функция достигает своего максимума в точке , если ее значение в окрестности этой точки меньше, чем значение функции в этой же точке .

Функция достигает своего минимума в точке , если ее значение в окрестности этой точки больше, чем значение функции в этой же точке .

Правило поиска экстремальных точек

1. Находим область определения функции .

2. Находим производную функции .

3. Определяем критические точки по ее первой производной.

4. Исследуем на знак слева и справа от найденных точек.

5. Если слева от точки , а справа , то тогда говорят, что точка является точкой максимума.

6. Если слева от точки , а справа , то тогда говорят, что точка является точкой минимума.

7. Если слева и справа от критической точки не меняет знак, то говорят, что является точкой перегиба функции.

Если функции и непрерывны при , где – некоторое положительное число, отличное от нуля и достаточно маленькое, и имеют непрерывные производные в указанной точке, а также не обращается в нуль при вычитании указанных условий, тогда можно сформулировать следующую теорему.

Теорема Коши.Если при соблюдении предположений относительно функций и отношение стремится к некоторому числу при , то тогда к такому же числу будет стремиться отношение функций .

Эта теорема позволяет формулировать правило Лопиталя. При раскрытии неопределенности вида можно функцию числителя и знаменателя заменить их производными и , соответственно, и рассматривать предел вместо в указанной точке.