Каталог Рефератов - Реферат: Рациональные уравнения и неравенства

	Информационно-образоательный портал
	Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,



МЕНЮ\|

поиск

Реферат: Рациональные уравнения и неравенства

/td>

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2 – 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): хÎ(-; -1). Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем хÎ(-2; -1) Ответ: хÎ(-2; -1). В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной проверки. Однако в большинстве случаев можно убедиться в правильности полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем неравенство примера в виде ½х - 2½ < -х. Построим функции y1 =½х2 - 2½ и y 2 = -х, входящие в левую и правую часть рассматриваемого неравенства, и найдем те значения аргумента, при которых y1<y2. На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит искомые значения х.

Рис. 3

Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно значительно сократить, используя равенство ½х½2= х 2. Пример: Решить неравенство ½½ > 1. (*) Решение: Исходное неравенство при всех х ¹ -2 эквивалентно неравенству ½х - 1½> ½х + 2½. (**) Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство 6х < -3, т.е. х < -1/2. Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х ¹ -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех хÎ(-¥; -2)È(-2; -1/2). Ответ: (-¥; -2)È(-2; -1/2). Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству: > 1.

х > -4,

x > -4/3.

-(2х + 5) < х + 1

2х + 5 > х +1,

Решение: Так как ½х +1½ ³ 0 и, по условию, ½х +1½ ¹ 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > ½х +1½. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств –(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5, или ,

откуда Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х ¹ -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла. Ответ: 0. Пример: Решить неравенство: ³ ½х½ - 2 . Решение: Пусть ½х½ = y. Заметим далее, что ½х½ + 1 > 0. Поэтому данное неравенство эквивалентно следующему: -2 ³ (y –2)(y + 1), или y2 – y £ 0, или 0 £y£ 1, или 0 £½х½£ 1. Отсюда -1£ х £ 1. Ответ: [-1; 1]. Пример: Решить неравенство ½х2 – 3х + 2½+ ½2х + 1½ £ 5. Решение. х2 – 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -½. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая. 1. х < -½. В этом случае х2 – 3х + 2 > 0, 2х +1 < 0. Получаем неравенство х2 – 3х + 2 – 2х – 1 £ 5, х2 – 5х – 4 £ 0. Его решение £ х £ . С учетом условия х < -½ находим £ х £ -½. 2. – ½ £ х £ 1. Имеем неравенство х2 – х – 2 £ 0. Его решение –1 £ х £ 2. Следовательно, весь отрезок –½ £ x £ 1удовлетворяет неравенству . 3. 1 < x < 2. Получаем х2 – 5х + 6 ³ 0; х £ 2 или х ³ 3. Вновь подходит весь интервал. 4. х ³ 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2. Ответ: £ х £ 2. Пример: Решить неравенство. ½½х3 + х - 3½- 5½£ х3 – х + 8. Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.

½х3 + х - 3½ - 5 £ х3 – х + 8, ½х3 + х - 3½ £ х3 – х + 13 ½х3 + х - 3½ - 5 £ -х3 + х – 8 ½х3 + х - 3½ ³ - х3 + х – 3

х3 + х – 3 £ х3 – х + 13 х £ 8,

х3 + х – 3 ³ -х3 + х – 13, х 3 ³ -5,

х3 + х – 3 ³ -х3 + х – 3, х3 ³ 0, х3 + х – 3 £ х3 – х + 3 х £ 3

-£ х £ 8, -£ х £ 8. х – любое Ответ: -£ х £ 8.

Неравенства с параметрами.

Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует получать при всех допустимых значениях входящих в них параметров. Пример: Для всех значений а решить неравенство aх > 1/x. Решение: Запишем неравенство в виде > 0, тогда исходное неравенство эквивалентно двум системам неравенств: ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0, x > 0; x < 0. Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде: ax2 > 1. При а > 0 оно эквивалентно неравенству х2 > 1/a, множество решений которого х < -1/ и x > 1/. В этом случае решения первой системы: хÎ(1/; ¥). При а £ 0 левая часть неравенства ах 2 –1 > 0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств. Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах2 – 1<0 будут значения хÎ(-1/; 1/), а решениями системы ¾ значения хÎ(-1/; 0). При a£ 0 левая часть неравенства ах 2 –1 < 0 отрицательна при

любых значениях х, т.е. это неравенство выполняется при все хÎR и, следовательно, решениями системы будут значения хÎ(-¥; 0).

Приведем графическую иллюстрацию решения этого примера. Для этого рассмотрим отдельно два случая а > 0 и а £ 0 и для каждого из них построим графики функций, стоящих в левой и правой частях исходного неравенства. Заштрихованные промежутки оси Ох представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях. Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений и неравенств с параметрами. Ответ: Если а £ 0, то хÎ(-¥; 0); если а > 0, то хÎ(-1/; 0)È(1/; ¥). Пример: Решить неравенство: ¾ < . Решение: Преобразуем данное неравенство: 3m2х + 3 – 2mx2 – 6 < m + 9x; mx2 – 9x < m + 3; (m – 3)(m + 3)x < m + 3. Далее находим решение неравенства при различных значения параметра m: 1) Пусть (m – 3)(m + 3) > 0, т.е. m < -3 или m > 3. Тогда неравенство имеет решение х < 1/(m – 3). 2) Пусть (m – 3)(m + 3) < 0, т.е. –3 < m < 3. Тогда неравенство имеет решение х > 1/(m – 3). 3) Пусть (m – 3)(m + 3) = 0, т.е. m = 3 или m = -3. Тогда если m = 3, то неравенство примет вид 0×х < 6 и, значит выполняется при любом хÎR. Если же m = -3, то неравенство примет вид 0×х < 0 и, следовательно, не имеет решении. Пример: Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство 4а3х4 + 4а2х2 + 32х + а + 8 ³ 0. Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на а, а затем сделать замену y = ax, то в новом многочлене максимальная степень параметра а будет равна 2. Случай а = 0 дает нам ответ х ³ - ¼. Будем теперь считать, что а > 0. Умножив обе части неравенства на а и сделав замену y = ax, получим 4y4 + 4ay2 + 32y + a2 + 8a ³ 0. Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно а: a2 + (4y2 + 8)a + 4y2 + 32y ³ 0, ¼D = (2y2 + 4) 2 – 4y2 – 32y = 16(y – 1) 2. Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим (а + 2y2 + 4y)(a + 2y2 – 4y + 8) ³ 0, или (2y2 + 4y + a)(2y2 – 4y + 8 + a) ³ 0. Второй множитель положителен при всех y, если а > 0. Приходим к неравенству 2y2 + 4y + a ³ 0, откуда, если 0 < a < 2, y £ ½(-2 -) или y ³ ½(-2+); если а ³ 2, y – любое. Возвращаясь к х, получим ответ. Ответ: Если а = 0, то х ³ - ¼; если 0 < a < 2, то х £ 1/2a*(-2 - ) или х ³ 1/2a(-2 + ); если а ³ 2, то х – любое.

Рис. 1, а

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5

© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.