Реферат: Теория вероятности

Математический аппарат современной экономики часто используется на основе

традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на

системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация

вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного

эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех

возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных

начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные

величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты

существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем, при

планировании инвестиций, при моделировании физических процессов (существует

теорема о том, что среднее от независимых случайных величин, распределенных

по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в своем эссе я

рассмотрю случайные величины и функции распределения.

Случайные величины

Определение. Пусть — произвольное вероятностное пространство.

Случайной величиной

называется измеримая функция ,

отображающая в множество

действительных чисел , т.е.

функция, для которой прообраз

любого борелевского множества

есть множество из -алгебры

.

Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.

2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно

брошенной в квадрат точки .

Множество значений случайной величины

будем обозначать , а образ

элементарного события —

. Множество значений может быть

конечным, счетным или несчетным.

Определим -алгебру на множестве

. В общем случае -алгебра

числового множества может быть

образована применением конечного числа операций объединения и пересечения

интервалов или полуинтервалов

вида (

), в которых одно из чисел или

может быть равно или

.

В частном случае, когда —

дискретное (не более чем счетное) множество,

-алгебру образуют любые подмножества множества

, в том числе и одноточечные.

Таким образом -алгебру множества можно построить из множеств или , или .

Будем называть событием любое

подмножество значений

случайной величины :

. Прообраз этого события обозначим

. Ясно, что ;

; . Все множества

, которые могут быть получены как подмножества

из множества ,

, применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют

систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины

— и выделив систему событий

, построим измеримое пространство

. Определим вероятность на подмножествах (событиях)

из таким образом, чтобы она

была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом:

.

Тогда тройка назовем вероятностным пространством случайной величины , где

— множество значений случайной величины

; —

-алгебра числового множества ;

— функция вероятности случайной величины

.

Если каждому событию поставлено

в соответствие , то говорят,

что задано распределение случайной величины

. Функция задается на таких

событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность

произвольного события . Тогда

событиями могут быть события .

Функция распределения и ее свойства

Рассмотрим вероятностное пространство , образованное случайной величиной .

Определение. Функцией распределения случайной величины

фиксированного числа :

(1)

Там где понятно, о какой случайной величине

, или

Страницы: 1, 2