идет речь, вместо будем

писать . Если рассматривать

случайную величину как

случайную точку на оси , то

функция распределения с

геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка

в результате реализации эксперимента попадет левее точки

.

Очевидно что функция при любом

удовлетворяет неравенству .

Функция распределения случайной величины

имеет следующие свойства:

2) Функция распределения — неубывающая функция

, т.е. для любых и

, таких что , имеет место

неравенство .

Доказательство. Пусть и

и . Событие, состоящее в том,

что примет значение, меньшее,

чем ,

представим в виде объединения двух несовместных событий

и :

.

Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, или по формуле (1)

, (2)

откуда , так как . Свойство доказано.

Теорема. Для любых и вероятность неравенства вычисляется по формуле

(3)

Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2).

Таким образом, вероятность попадания случайной величины

в полуинтервал равна разности

значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала

и .

2) ; .

Доказательство. Пусть и

— две монотонные числовые последовательности, причем

, при

. Событие состоит в том, что

. Достоверное событие

эквивалентно объединению событий

:

; .

Так как , то по свойству вероятностей , т.е. .

Принимая во внимание определение предела, получаем ;

3) Функция непрерывна слева в любой точке ,

Доказательство. Пусть —

любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к

. Тогда можно записать:

На основании аксиомы 3

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к

, то остаток ряда, начиная с некоторого номера

, будет меньше ,

(теорема об остатке ряда)

.

Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию

распределения. Получим

,

откуда или , а это означает, что .

Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения

является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию

и . И, обратно, каждая функция,

обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция

распределения некоторой случайной величины.

Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше

вычисляется по формуле .

Доказательство. Достоверное событие

представим в виде объединения двух несовместных событий

и . Тогда по 3-1 аксиоме

Колмогорова или

, откуда следует искомая формула.

Определение. Будем говорить, что функция распределения

имеет при скачок

, если , где

и пределы слева и справа

функции распределения в точке

.

Теорема. Для каждого из пространства случайной величины имеет место формула

Доказательство. Приняв в формуле (3)

, и перейдя к пределу при

, , согласно свойству 3),

получим искомый результат.

Можно показать, что функция

может иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция

распределения может иметь не более одного скачка

, скачков — не более 3-х,

скачков не более чем

.

Иногда поведение случайной величины

характеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим

законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона

распределения функцию распределения

.

Страницы: 1, 2