Введем число ε=M/n. Тогда из (12.5) получаем неравенство
Р (12.6)
Отсюда для противоположного события
(12.7)
из (12.6) получаем следующее неравенство П.Л.Чебышева
Р (12.8)
Таким образом, из (12.8) получается закон больших чисел П.Л.Чебышева:
Для любого сколь угодно малого положительного числа ε и числа
β<1 найдется такое число N, что при числе испытаний
n>N, будет справедливо неравенство
Р (12.9)
В самом деле, согласно (12.8) достаточно выбрать в качестве числа N
наименьшее из натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству
, то есть
(12.10)
Это означает следующее. Какие бы числа
и мы ни выбрали,
если сделать количество n независимых испытаний больше, чем число N
, то среднее значение случайной величины будет отличаться от математического
ожидания меньше, чем на ε с вероятностью большей, чем β.
Иначе говоря, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее
значение случайной величины стремится к математическому ожиданию Е с
вероятностью, приближающейся к единице.
13.Испытания по схеме Бернулли.
Так называется следующая серия независимых испытаний. Пусть производится n
испытаний. В i-том испытании может осуществиться случайное событие
Ai с вероятностью Рi,i=1,.,n. Все события Аi
независимы в совокупности. То есть вероятность события Аi не зависит от
того, осуществляются или нет события Аj,j=1,.,n, j
i. Рассмотрим здесь такой частный случай, когда все вероятности Р
i равны друг другу и равны p,0‹p‹1. То есть
Р(Аi)=p, P(Ai*)=q, q=1-p, 0‹p‹1, 0‹q‹1, i=1,.,n (13.1)
Например, пусть испытания состоят в том, что случайная точка
в i-том испытании обязательно появляется в квадрате со стороной равной
единице. Событие Аi состоит в том, что точка
оказывается в четверти круга, вписанного в квадрат и имеющего радиус равный
единице (см.раздел7). Согласно (7.2) имеем
Р(Ai)=p= (13.2)
Справедливо следующее утверждение.
Теорема Бернулли: Пусть производится n испытаний по
схеме Бернулли. Пусть события Аi осуществились в m испытаниях.
Для любых чисел и
найдется такое натуральное число N, что при числе испытаний n>N
будет справедливо неравенство
P(|m/n–p|<)> (13.3)
В самом деле, свяжем с i-тым испытанием случайную величину
. Пусть эта величина принимает значение равное единице, если осуществляется
событие Аi, и
принимает значение равное нулю, если событие Аi не осуществляется, т.е.
осуществляется противоположное событие Аi*. Вычислим математическое
ожидание Еi и дисперсию Di случайной величины
. Имеем
pq=p (13.4)
p
pp
qq
∙p+p
∙q=p∙q∙(q+p)=p
∙q∙1=p∙q (13.5)
Так как в нашем случае
(13.6)
то из закона больших чисел (12.9),(12.10) получаем неравенство
(13.3), если только
(13.7)
Это и доказывает теорему Бернулли.
Например, если мы хотим проверить теорему Бернулли на примере вычисления числа
π с точностью до
с вероятностью большей, чем
, то нам надо сделать испытания по схеме Бернулли в соответствии с разделом
7, т.е. получить согласно текущему разделу неравенство
P(|m/n–π/4|<0.01)>0.99 (13.8)
Для этого согласно (13.7) достаточно выбрать число
(13.9)
с большим запасом.
Такое испытание было сделано на компьютере по программе, приведенной в
следующем разделе. Получилось
4∙m/n=3.1424 (13.10)
Мы знаем, что число π=3.1415925626.. То есть действительно
получилось число с точностью по крайней мере до 0.01.
14.Программа вычисления числа π по схеме Бернулли.
CLS
INPUT "Введите n=", n
RANDOMIZE
FOR i = 1 TO n
x = RND
y = RND
IF (x * x + y * y) < 1 THEN m = m + 1 ELSE m = m
NEXT i
pi = 4 * m / n
PRINT "pi = ", pi
15.Метод Монте-Карло.
Испытания по схеме Бернулли составляют основу вычислительного метода, который
предложил Фон-Нейман для расчета сложных процессов. Например, для расчетов при
создании атомной бомбы. Этот метод он назвал методом Монте-Карло в честь
города, в котором идет игра в рулетку. Суть этого метода состоит в том, что
подбираются такие испытания по схеме Бернулли, в которых вероятности событий
Аi и определяют интересующую вычислителя величину. Простейший пример
вычисления по методу Монте-Карло и приведен в разделах 13,14 для числа
π. Особенно удобно вычислять методом Монте-Карло площади и объемы
сложных фигур и тел.
16.Стрельба по вепрю.
Задача 16.1.:
Три охотника стреляют по вепрю. Известно, что первый охотник попадает в цель
с вероятностью 0.7. Второй – с вероятностью 0.5. Третий – с
вероятностью 0.3. Результат стрельбы каждого из них не зависит от
результатов стрельбы других. Все три охотника дали один залп.
Какова вероятность, что в вепря попали 2 пули?
Решение:
Назовем попадание первого охотника событием А1, попадание второго –
А2, попадание третьего – А3.
Для того, чтобы попали две пули необходимо и достаточно, чтобы осуществилось
одно и только одно из следующих трех несовместных событий:
В1-первый попал, второй попал, третий промазал, В1=А1А2А3*
В2-первый попал, второй промазал, третий попал, В2=А1А2*А3
В3-первый промазал, второй попал, третий попал, В3=А1*А2А3
Так как события попадания для разных стрелков независимы, то вероятности
попадания равны произведению вероятностей. Поэтому
Р(В1)=Р(А1)∙Р(А2)∙Р(А3*)=0.7∙0.5∙0.7=0.245
Р(В2)=Р(А1)∙Р(А2*)∙Р(А3)=0.7∙0.5∙0.3=0.105
Р(В3)=Р(А1*)∙Р(А2)∙Р(А3)=0.3∙0.5∙0.7=0.105
Интересующее нас событие С=В1
В2В3. Так как
события В1,В2 и В3 несовместны, то вероятность объединения
равна сумме вероятностей событий Вi,i=1,2,3
Р(С)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)=0.245+0.105+0.105=0.455 (16.1)
Ответ: Вероятность, что попали 2 пули равна 0.455.
Задача 16.2.:
Те же охотники дали залп по другому вепрю. Известно, что попали 2 пули.
Какова вероятность, что попал первый охотник?
Решение:
Интересующая нас вероятность есть условная вероятность Р(А1|С)
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
|