события А1 при условии, что произошло событие С. По формуле

Бейеса имеем

Р(А1|C)=P(C|A1)∙P(A1)/P(C) (16.2)

По определению условной вероятности P(C|A1) (3.1) и

(3.2) имеем

P(C|A1)∙P(A1)=Р(С

А1) (16.3)

Но событие СА1

происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из двух несовместимых

событий

С2=А2А3*А1 (16.4)

С3=А3А2*А1 (16.5)

То есть имеем

(СА1)=(А2А3*А1)(А3А2*А1) (16.6)

Р(СА1)=Р(А2А3*А1)+Р(А3А2*А1)=0.5∙0.7∙0.7+0.3∙0.5∙0.7=

=0.245+0.105=0.35 (16.7)

Таким образом, согласно (16.2) для искомой условной вероятности Р

(A1|C) получим значение

Р(A1|C)=P(C|A1)∙P(A1)/P

(C)=0.35/0.455=0.769 (16.8)

Ответ: Вероятность того, что попал первый охотник при условии,

что попало в вепря две пули равна 0.769.

17.Решение задач о встрече методом Монте-Карло.

Рассматриваемые в этом разделе задачи являются обобщением задачи 8.1. по

встрече из раздела 8.

Задача 17.1.:

Мария, Иван и Петр хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1

часа пополудни. Каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент

времени или

соответственно

или из

отрезка .

Каждый пришедший ждет своего товарища в течение 20 минут или до момента

времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1

остается меньше 20 минут.

Какова вероятность, что они все трое встретятся?

Решение:

Сделаем построение подобное построению из раздела 8. Только теперь построение

будет в пространстве. Введем прямоугольную систему координат XYZ. Полагаем

х=,у=

,z=. Тогда точка

с координатами х,у и z соответствует приходу Марии в момент

времени х=

, Ивана – в момент у=

и Петра – в момент z=

. Достоверному событию Ω соответствует в пространстве XYZ куб

Событию А, которое осуществляется, если Мария, Иван и Петр все

встретятся соответствует тело

. Это тело состоит из точек, лежащих в кубе

и к тому же удовлетворяющих условиям

|x–y|≤1/3, |y–z|≤1/3, |x–z|≤1/3

(17.1)

Поэтому

Р(А)= (17.2)

Здесь есть объем куба , есть объем тела . Вычислить объем тела

|x–y|≤1/3,|y–z|≤1/3,|x–z|≤1/3 (17.3)

затруднительно. Вычислим его методом Монте-Карло по схеме Бернулли. При этом

будем работать со случайными величинами

, которые принимают значение равное единице, когда точка

оказывается в теле ,

и принимают

значение равное нулю, когда точка

оказывается вне тела

. Тогда согласно геометрическому определению вероятности и закону больших чисел

(см.разделы 7 и 12) полагаем

P(A)= (17.4)

Здесь n – число испытаний по бросанию точки

в куб , m –

число попаданий в тело

. Равенство (17.4) выполняется с большой точностью и с большой вероятностью,

если число испытаний n достаточно велико.

Такие испытания, выполненные на компьютере при n=1000000 дали следующий

результат

Р(А)=0.259 (17.5)

Ответ: Вероятность Р(А) того, что Мария,

Иван и Петр все встретятся равна 0.259.

Задача 17.2.:

Условия задачи 17.2. повторяют условия задачи 17.1. Но вопрос в задаче 17.2.

является таким.

Какова вероятность, что встретятся по крайней мере двое из трех?

Решение:

Назовем событием В событие, что встретятся по крайней мере двое из трех.

Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.1. Только в случае

события В искомая вероятность Р(В) определяется

формулой

Р(B)=m/n (17.6)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x–y|≤1/3)( (17.7)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела

был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m

в (17.6) означает число попаданий точки

в тело . Испытания

при n=1000000 дали следующий результат

Р(В)=0.964 (17.8)

Ответ: Вероятность Р(В), что встретились по

крайней мере двое из трех равна 0.964.

Задача 17.3.:

Условия задачи 17.3. повторяют условия задачи 17.2. Но вопрос в задаче 17.3.

является таким.

Какова вероятность, что встретятся двое и только двое из трех?

Решение:

Назовем событием С событие, что встретятся двое и только двое из трех.

Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.2. Только в случае

события С искомая вероятность Р(С) определяется

формулой

Р(С)=m/n (17.9)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x–y|≤1/3,|y–z|>1/3,|x-z|>1/3)

(17.10)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела

был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m

в (17.9) означает число попаданий точки

в тело . Испытания

при n=1000000 дали следующий результат

Р(C)=0.520 (17.11)

Ответ: Вероятность Р(C), что встретились

двое и только двое из трех равна 0.520.

Задача 17.4.:

Условия задачи 17.4. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в задаче 17.4.

является таким.

Какова вероятность, что не встретились никто из трех?

Решение:

Назовем событием D событие, что не встретится никто из трех. Повторим

построения по аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае события

D искомая вероятность Р(D) определяется формулой

Р(D)=m/n (17.12)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x-z|>1/3),( (17.13)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела

был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m

в (17.12) означает число попаданий точки

в тело . Испытания

при n=1000000 дали следующий результат

Р(D)=0.037 (17.14)

Ответ: Вероятность Р(D), что не встретятся никто из трех равна 0.037.

Задача 17.5.:

Условия задачи 17.5. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в задаче 17.5.

является таким.

Какова вероятность, что встретится один из трех с каждым из двух других, но

эти другие двое друг с другом не встретятся?

Решение:

Назовем событием Е событие, что встретится один из трех с каждым из двух

других, но эти другие двое друг с другом не встретятся. Повторим построения по

аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае события Е

искомая вероятность Р(Е) определяется формулой

Р(Е)=m/n (17.15)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x–y|≤1/3,|х–z|≤1/3,|у-z|>1/3)

(17.16)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела

был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m

в (17.15) означает число попаданий точки

в тело . Испытания

при n=1000000 дали следующий результат

Р(Е)=0.182 (17.17)

Ответ: Вероятность Р(Е), что встретится

один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не

встретятся равна 0.182.

Проверка результатов

Р(А)+Р(С)+Р(Е)=Р(В) (17.18)

0.259+0.520+0.1820.964 (17.19)

Р(В)+Р(D)=1 (17.20)

0.964+0.0371 (17.21)

Программы, реализующие испытания по схеме Бернулли для задач 17.1.-17.5.,

приведены в разделе 18.

18.Программы, реализующие испытания по схеме Бернулли для задач 17.1.-17.5.

1. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF (ABS(x - y) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - z) <= 1

/ 3) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p = ", p

2. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF ((ABS(x - y) <= 1 / 3)) OR ((ABS(x - z) <= 1 / 3)) OR ((ABS(z - y)

<= 1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

3. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF ((ABS(x - y) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1

/ 3)) OR ((ABS(x - z) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - y)

> 1 / 3)) OR ((ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3) AND

(ABS(x - y) > 1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

4. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF (ABS(x - y) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3) AND (ABS(z - y) > 1 /

3) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

5. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF ((ABS(x - y) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1

/ 3)) OR ((ABS(x - z) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - y)

> 1 / 3)) OR ((ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) <= 1 / 3) AND

(ABS(x - y) <= 1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6