конечные числа
Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.
горизонтальной асимптотой f(x)
Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел
(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й
Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть
правосторонней или левосторонней
31 Степенным рядом наз. ряд вида (1)∑ Bn*xª =
b0+b1x+b2x².+baxª+. это ряд в котором членами являются ф-ии, в
частности степенные. Совокупность тех значений х, при которых степнной ряд
сходится, называется областью сходимости степнного ряда.
Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд (2) ∑ | bn |*|
x |ª
Т1. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1)
Т2. Для любого степ. ряда (1) сущ-ет такое неотрицат. число R≥0 что этот
ряд сходится абсолютно при | x |<R и расходится при | x |>R; R – радиус
сходимости ряда
Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |<1 (n→∞) сходится
>1 (n→∞) расходится
32 Разложение ф-ий в ряд:
Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0
f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)ªˉ¹
f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+.+fª(x0)(x-x0)ª/a!
Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн.
разности (х-х0)
Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при этом х0=0;
f(x)=f(0)+f`(0)+f ª(0)/a!*xª
Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора
eª=1+x+x²/2!+x³/3!+.+xª/a!+.
sin x=1+ x-x³/3+.+(-1)ª*(x²ªˉ¹)/(2a+1)!+.
cos x=1-x²/2!+x⁴/4!+.+(-1)ⁿ*x²ⁿ/(2n)!+.
ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-.+(-1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1.
33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из области
определения) имеет место F`(x)≡f(x) нетрудно увидеть что если F(x)
является первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.
Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии
f(x) обозначается F(x)+C=∫f(x)dx
dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx
Св-ва неопр.∫
∫dF(x)=F(x)+C
(∫f(x)dx)`=f(x)
∫αf(x)dx=α∫f(x)dx
∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
Таблица интегралов
34 Метод замены переменных:
∫f(x)dx=∫f(φ(t))·φ`(t)dt → x=φ(t)
∫sin 5x dx=∫sin t 1/5dt=1/5∫sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C
5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt
35 Интегрир-ие по частям:
∫ U·dV=UV-∫VdU
Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может существенно
упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не слишком усложнит
другой)
∫ x²·sinx dx
x²=U dU=2x dx
sin x dx =dV V=-cos x
∫ = x²·sin x dx=-x²·cos x -∫(-cos x)2x dx=-x²·cos
x+2∫x·cos x dx
x=U dU=dx
cos x dx=dV V=sin x
∫ = x²·sin x dx=-x²cos x +2(x·sin x-∫sin x dx)= -
x²·cos x+2x·sin x +2cos x+C
36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух многочленов
f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)- многочлен степени n.
Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени
знаменателя, т.е. m<n, в противном случае дробь неправильная.
Интегрирование дробей методом разложения на элементарные дроби:
1 Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и
правильной дроби.
2 Разложив знаменатель дроби на множители, представить её в виде суммы
простейших рац. дробей.
3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
37 Определённым интегралом от ф-ии f(x) на отрезке (a; b) называется предел
интегральной суммы Sn, когда n→∞ (Δxi→0)
Cв-ва опр. интеграла:
(все интегралы на отрезке от А до В)
1 ∫С·f(x)dx=C·∫f(x)dx
2 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
3 ∫f(x)dx=-∫f(x)dx
4 Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx
5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-
-A)≤∫f(x)dx≤M(B-A)
6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка
С∈(A;B) ∫f(x)dx=f(C)·(B-A)
7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ∫f(x)dx существует
8 ∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx
9 Формула Ньютона-Лейбница:
∫f(x)dx=F(B)-F(A)→F`(x)=f(x)
38 Применение опр. ∫
1 Вычисление площадей (Н-Лейб)
Если на (А,В) f(x)>0 то S=∫f(x)dx
Если на (А,В) f(x)<0 то S=-∫f(x)dx
Если на (А,В) f(x)>g(x) то S=∫[f(x)-g(x)]dx
(действительно для всех вариантов расп. ф-ий)
2 Вычисление объёмов тел вращения
V=π∫f²(x)dx
39 Приближ. вычисление интегралов
1 Формула Н-Лейб.
2 Метод прямоугольника
(B-A)/n=h: ∫(A→B)f(x)dx~=h(f1+f2.+fn)
3 Формула трапеции ∫f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+.fn)
4 Формула Симпсона
n-чётное
∫f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+.+4fn-1+fn)
40 Несобственные ∫ бывают 2-х видов:
∫-ы вида ∫(a;+∞)f(x)dx; ∫(-∞;b)f(x)dx;
∫(-∞;+∞)f(x)dx
называются несобственными ∫-и 1-го рода
Если сущ. предел (b→∞) ∫(a;b)f(x)dx=C (C≠∞) то
интеграл сходится и наоборот.
Пусть есть числовой ряд ∑Ax=A0+A1+.An+. и пусть есть ф-ия f(x)=Ax на
интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ∫(a;∞)f(x)dx сходятся
или расходятся одновременно
Если lim (x→b)f(x)=∞ или lim(x→a)f(x)=∞ то
∫f(x)dx наз. несобственным интегралом 2-го рода, он сходится если сущ.
конечный предел
lim ∫(a; b-δ)f(x)dx
δ→0
41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений
(x1,x2,x3.xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне определённое
значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана ф-ия нескольких
переменных Z=f(x1.xn)
Если сущ-ет lim(Δx→0)f(x+Δx,y)-f(x,y)/Δx=fx`(x,y) то он
называется частной производной по переменной х.
Если сущ-ет lim(Δy→0)f(x,y+Δy)-f(x,y)/Δy=fy`(x,y) то он
называется частной производной по переменной y
Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)
Z=f(x1+x2+.xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+.+f`xn·dxn
Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на
приращение соответствующих независимых переменных.
42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия
дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в этой т.
равны 0.
43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных получили
название эмпирических формул
Этапы вывода ЭФ:
1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.)
2 Определение известных параметров этой ф-ии
Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших
квадратов
44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких
переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.
Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке её в это ур-ие
обращает его в тождество.
ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию
y=f(x) и её производную y`=f`(x)
ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б
представленно в виде
dy/dx=f(x)g(y)
Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором
дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а
переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав-ва:
dy/g(y)=f(x)·dx → ∫ dy/g(y)=∫ f(x)·dx
f(x) | f`(x) | f(x) | f`(x) | c | 0 | xª | axªˉ¹ | x | 1 | x² | 2x | √x | 2√x | arccos x | -1/√1-x² |x|<1 | 1/x | -1/x² | arctg x | 1/1+x² | eⁿ | eⁿ | arcctg x | -1/1+x² | aⁿ | aⁿln a | sh x | ch x | ln x | 1/x | ch x | sh x | LOGaX | 1/x·ln a | th x | 1/ch²x | sin x | cos x | cth x | -1/sh²x | cos x | -sinx | ln(x+√(x²+1)) | 1/√(1+x²) | tg x | 1/cos²x | arcsin x | 1/√(1-x²) | ctg x | -1/sin²x | | | | | | | |
f(x) | F(x)+C | 0 | C | 1 | x+C | x | x²/2+C | xª | xª⁺¹/a+1+C a≠1 | 1/x | ln| x |+C | 1/x² | -1/x+C | 1/x³ | 1/2x²+C | 1/(1+x²) | arctg x+C | 1/a²+x² | 1/a·arctg x/a+C a≠0 | 1/1-x² | 1/2·ln| (1+x)/(1-x) |+C | 1/a²-x² | 1/2a·ln| (a+x)/(a-x) |+C a≠0 | x/x²+a | 1/2·ln| x²+a |+C | 1/√(1-x²) | arcsin x+C | 1/√(a²-x²) | arcsin x/a+C | eⁿ | eⁿ | aⁿ | aⁿ/ln a | ln x | x ln x –x +C | sin x | -cos x+C | cos x | sin x+C | tg x | -ln | cos x |+C | ctg x | ln | sin x |+C | 1/cos²x | tg x+C | 1/sin²x | -ctg x+C |
1. Понятие числа (от натур. до комплексного)
2. Сложение, вычитание, *, / для комплексного числа
3. Тригонометрическая форма комплексного числа
4. Возведение в степень комплексного числа
5. Извлечение ªÖ из комплексного числа
6. Последовательность и её предел
7. Св-во сходящихся последовательностей (док-во)
8. БМВ и ограниченная последовательность. Св-ва БМВ
9. Знакоположительный ряд и его сходимость (пример)
10. Признак сравнения двух знакоположительных рядов (примеры)
11. Признаки Даламбера и Коши
12. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница (пример)
13. Прямая и обратная функция (примеры)
14. Предел ф-ии в точке
15. Непрерывность ф-ии в точке. Св-ва непрерывных ф-ий
16. Непрерывность линейной и степенной ф-ий
17. Непрерывность ф-ий Вª и LOGaX
18. Непрерывность тригонометрической ф-ии
19. 1-ый замечательный предел
20. 2-ой замечательный предел и его применение для
начисления непрерывных %
21. Понятие производной от ф-ии. Геометрический и механический
смысл призводной
22. Понятие пр-ой. Пр-ая от +, -, * двух ф-ий
23. Понятие пр-ой. Пр-ая от / двух ф-ий
24. Понятие пр-ой. Пр-ая от Хª
25. Понятие пр-ой. Пр-ая от обратных ф-ий (LNx, eª)
26. Пр-ая от тригонометрической ф-ии.
27. Пр-ая от сложной ф-ии (пример)
28. Понятие дифференциала ф-ии. Его геометр. смысл
29. Исследование ф-ий с помощью пр-ой и пределов.
30. Понятие асимптот и их нахождение
31. Степенной ряд и область его сходимости
32. Разложение ф-ий в степенные ряды
33. Неопределённый интеграл. Табл. Интегралов
34. Метод интегрир-ия с помощью замены переменных (примеры)
35. Интегрирование по частям
36. Интегрир-ие с помощью разложения на элементарнве дроби
37. Определённый интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница
38. Применение опр. интегралов
39. Приближённый метод вычисления опр. интегралов
40. Несобственные интегралы
41. Ф-ии нескольких переменных. Понятие частных пр-ых и дифференциала
42. Экстремум ф-ий нескольких переменных
43. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.
44 Понятие ДУ и методы его решения.
Страницы: 1, 2
|