, и

Поскольку - б.м. одного порядка малости.

- б.м. одного порядка малости - б.м. эквивылентные, т.е.

Пусть

**************

Zm1: и х – независимые переменные, т.е.

Zm1: для независимых переменных.

37.Правила диференц суммы,разн,произв,частн

1) ;

2) , где - постоянная;

3) ;

4) ;

5) если , а , то производная сложной функции находится по формуле

,

где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.

38.Вычислен производных элемент.ф-ий: x^n,nЄN,cos,sin,tg ,ctg,

39.Th о произв сложной ф-ии

Пусть:

1. - дифф. в точке y0 .

2. - дифф. в точке х0 .

3.

тогда сложная ф-ия - дифф. в точке х0 и справедлива формула:

Доказательство:

1. - дифф. в точке y0

2. - дифф. в точке х0

3. - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке.

40.Производная ф-ий x^α, αЄR(прием логарифм. Диф)

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в

точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0

=f(x0)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в

(а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно

отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0Î(a,b) и

f’(x0)¹0, то g диф-ма в точке y0=f(x0) и

g’(y0)=1/f’(x0)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN

®y0, yN¹y0 => $ посл-ть xN:

xN=g(yN), f(xN)=yN

g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-x

O/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO

)/xN-xO ® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN

®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO

®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)

42.Произв ф-ии: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a≠1)

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что

Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к.

Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит

Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)

1/2

2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2

3) x®Arctg’x = 1/1+x2

4) x®Arcctg’x= -1/1+x2

5) y=a^x(в степени х) y ‘ =a^xlna Док-во:y=a^x является обратной для ф-ии

x=loga(a-основание)y. Т.к. x’(y)=(1/y)loga(a-осн)e, то из соотношения loga(a-

OCH)b=1/logb(b-OCH)a получим y’(x)=1/x’(y)=y/loga(a-OCH)e=a^x(в степени х)lna

43.Производная высших порядков

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO

, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO

или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется

второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и

обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и

так далее. Для единообразия обозначаем через fN(xO) -

производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0

(xO)=f(xO).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы

существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO

(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f

N-1(x) непрерывна в точке xO, а при n³2 все производные

порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную

функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует

производная у’(t)=у’(х)*х’(t).

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную

функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует

производная у’(t)=у’(х)*х’(t)

+нужно док-во

44.Диференциалы высших порядков

dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е.

d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного

порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется

дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается

dny)По определению dny= d(dn-1

y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dn

y=f(n)(х)dxn, в предположении,

что n-ая производная f(n)(х) сущ-ет.

+нужно док-во

45.Возрастание и убывание ф-ии в точке. Достаточное условие возрастан и

46.Понятие локального экстремума, необходимое условие локального экстремума

Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x0 локальный

максимум, если сущ-ет окрестность (х0-d, х0+d),

для всех точек х которой выполняется неравенство f(х)£f(х0

). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно

равенство f(х)³f(х0).

Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х0 локальный

экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х0

) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х0. Пусть

(х0-d, х0+d) - та окрестность, для точек которой

выполняется неравенство

Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'(х0)А это

означает, что правая производная fпр'(х0) и левая

производная fл'(х0) равны между собой: f

пр'(х0)= fл'(х0)= f'(х0).

Таким образом, с одной стороны, f'(х0)≤0, с другой

стороны, f'(х0)≥0, что возможно лишь, когда f'(х

0)=0.

47.Th Роля

Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) $ т-

ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.

Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на

[a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $ x Î (a,b), любую т-ку можно взять в

кач-ве с. Пусть f¹ const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по

т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min.

Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max

или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сÎ(a,b) (в противном

случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.

48.Th Логранжа (формула конечн.приращен)

Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда " т.

х и x+Dx Î [a,b] $ т-ка С лежащая между х и х+Dх такая что спаведлива

ф-ла (f(x+Dx)-f(x))=f(c)*Dx (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с

диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться

в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее

значение (a,b) не запрещены.

Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+Dx=b+> тогда ф-ла

(7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.

(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)

Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию

g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)

Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) g(a)=g(b)=0

Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-

(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.

49.Th Коши(обобщенная формула конечн.приращен)

Теорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке

[a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке

g'(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c Î

(a,b), что выполняется равенство (1)

Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ≠ 0

,т.к. из равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что

производная g'(х) обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка

(a,b), что противоречит условию g'(х)≠0. Образуем вспомогательную

функцию:

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в

(a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих

промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0.

Следовательно, существует точка c Î (a,b), , такая, что F'(c)=0.

Вычисляем:

Подставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) ¹0), мы

приходим к формуле (1)

50.Усл. монотонности ф-ии по интервалам(монотонной,строгомонот ф-ии)

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)=

lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $

конечный или бесконечный.

Раскрытие ¥/¥. Второе правило.

Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)=

lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда

x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.

Неопред-ти вида 0¥, ¥-¥, 0^0, 1^¥, ¥^0.

Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических

преобразований. А неопр. 0^0, 1^¥, ¥^0 с помощью тождества

f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0

52.Стационарные точки (достаточн.усл.экстремума)

53.Экстремум ф-ии, недиф. В данной точке.

Th пусть ф-ия f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с за

исключением,может быть,самой точки с.Тогда, если в пределах указанной

окрестности f’(x)>0 слева от точки с и f’(x)<0 справа от точки с,то

функция f(x) имеет в точке с локальный максимум.Если f’(x)<0 слева от точки

с и f’(x)>0 справа от точки с, то ф-ия имеет в точке с локальный минимум.

Если ф-ия имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в

точке с нет.

(док-во такое же как в вопросе «Стационарные точки, первое достаточное

условие локального экстремума)

54.Два достаточных условия экстремума.

55.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки)

Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в

любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.

y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не

превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие

выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)³f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) "

x,x0Î(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып.

ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и

вогнутой.

56.Точки перегиба графика ф-ии(опр,признаки)

Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми

перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при

переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум.

Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-

ки графика по разные стороны.

57.Достаточное усл. Точек перегиба

58.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты.

В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается,

что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно

стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами.

.Вертикальные асимптоты – прямая

называется вертикальной асимптотой графика ф-ии

в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов равен

бесконечности.

Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота

появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен

нулю.

********************

Наклонная асимптота – прямая

наклонная асимптота ф-ии

, если эта ф-ия представлена в виде

Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:

Для существования наклонной асимптоты

к графику ф-ии

необходимо и достаточно существование конечных пределов:

Доказательство: Пусть:

Пусть:

Следовательно существует асимптота.

Страницы: 1, 2, 3