Линейное преобразование – матрица линейного оператора.

Каждому линейному преобразованию соответствует 1 матрица линейного оператора

и наоборот.

Если имеется квадратная матрица задано линейное преобразование пространства.

17. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в

разных базисах.

Т – матрица перехода от e к e’ , то:

Если линейный оператор имеет в базисе невырожденную матрицу Т, матрица этого

оператора в любом другом базисе не будет вырождена.

18. Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные

векторы линейного оператора и их свойства.

Если в базисе

линейный оператор имеет матрицу А, а в базисе (

) оператор имеет матрицу В

λ – произвольное число ≠0

Е – единичная матрица

Если

характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим

характеристическое уравнение линейного оператора.

Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой вектор

называется собственным вектором линейного оператора, если

оператор к , получим

этот же ,

умноженный на некоторое к.

к – собственное число оператора А=

Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число.

19. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми.

Векторное уравнение прямой.

Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.

Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0;y0;z

0) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z).

Обозначим радиус-векторы точек M и M0 через r и r0.

Тогда уравнение прямой запишется в виде:

где t – скалярный множитель (параметр).

Параметрические уравнения прямой.

Канонические уравнения прямой.

S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0

;z0) – точка на прямой.

соединяет M0 с произвольной точкой М.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2)

В качестве направляющего вектора можно задать вектор

Следовательно:

, тогда

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:

Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то

направляющий вектор запишется как векторное произведение:

Угол между прямыми.

;

20. Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному

вектору.

Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0

) и вектором ,

перпендикулярной этой плоскости.

Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор

. При любом расположении точки М на плоскости Q

, поэтому .

Общее уравнение плоскости.

· Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

· Если С=0 то вектор

. Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то

ox.

· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz.

Аналогично при A=D=0 и B=D=0.

· Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.

· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3)

Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).

Составим векторы:

Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

; ;

Нормальное уравнение плоскости.

21. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости.

Прямая L:

Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.

Тогда θ – угол между и.

Найдем , если

, т.к.

Расстояние от точки до плоскости.

Дано:

M0 (x0;y0;z0)

Расстояние d от точки М0 до плоскости ∆ равно модулю проекции

вектора (где М

1(x1;y1;z­1) - произвольная точка

плоскости) на направление нормального вектора

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5