серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через

O. Из точки O опустим перпендикуляр ОД на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на

сторону ВС. Легко доказывается, что ОА = ОС и ОД = ОЕ. Следовательно,

прямоугольные треугольники АОД и СОЕ равны по гипотенузе и катету. Отсюда

<ДАО = <ЕСО. Кроме того, <ОАС = <ОСА, так как треугольник АОС -

равнобедренный. В итоге получаем: <ВАС = <ДАО + <ОАС = <ЕСО + <ОСА = <ВСА.

Итак, мы доказали, что <ВАС = <ВСА, значит, треугольник АВС -

равнобедренный и АВ = ВС.

Поиски ошибки привели к долгожданному результату. Ошибка оказалась в

чертеже, ведь серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса

противолежащего ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне

этого треугольника.

Решая геометрические задачи на построение в VII, VIII классах,

конечно, знакомимся с тремя классическими задачами древности: о квадратуре

круга, трисекции угла и об удвоении куба.

Способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и

линейки было придумано много. Так, например, еще в Древнем Египте было

распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной,

равной 8/9, = 256/81= 3,1604...

С удовольствием и эмоциональным подъемом слушают ученики легенду,

связанную с "делосской задачей" об удвоении куба. Свое название она

получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить

жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имеющий форму куба.

Ученики узнают о том, что древние задачи оказались неразрешимыми с помощью

циркуля и линейки, но благодаря многолетним поискам их решения

совершенствовались математические методы. Исторически развивалась и сама

математика.

Открытие логарифмов - еще одна историческая цепочка знаний, которая

связана не только с математикой, но и, казалось бы, совсем не имеющей к ней

отношение музыкой.

На уроке во II классе, посвященном логарифмам, обращаемся к школе

Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), открытию в области числовых отношений,

связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки

основывалась на законах "Пифагора-Архита".

1. Высота тона (частота колебаний f ) звучащей струны обратно

пропорциональна ее длине l/f = a/l (а - коэффициент пропорциональности,

характеризующий физические свойства струны).

2. Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины

относятся, как 1:2, 2:3, 3:4.

Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла

транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь

только в 1700 году немецкий органист А.Веркмайстер осуществил смелое и

гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных

частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе

музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем - [Корень

из двух в двенадцатой степени]. является иррациональным числом, при

нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

Идея логарифма возникла также в Древней Греции. Так, в сочинении "Псамлигт"

Архимеда (287 - 212гг. до н.э.) мы читаем: "Если будет дан ряд чисел в

непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то

произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего

множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше

против того, насколько удалены оба множителя вместе". Здесь под

"непрерывной пропорцией" Архимед разумеет геометрическую прогрессию,

которую мы записали бы так: 1, а, [а в квадрате],... В этих обозначениях

правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: [a в степени

m] * [a в степени n] = [a в степени m+n]

.

Историческое развитие понятия логарифма завершилось в XVII веке. В

1614-м в Англии были опубликованы математические таблицы для выполнения

приближенных вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором был

шотландец Дж.Непер (1550-1617 гг.). В предисловии к своему сочинению

Дж.Непер писал: "Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и

способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых

обыкновенно отпугивает многих от изучения математики".

Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры

иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый

двенадцати звуковой строй).

Еще один пример того, как можно учить, не отпугивая от математики, -

интеграция исторических знаний и математических задач, связанных с этими

знаниями. Ученикам гораздо интереснее решать именно такие задачи, нежели о

пионерах и бригадах, колхозах и рационализаторских предложениях. Особенно

это относится к ученикам V-VI классов, у которых история вызывает глубокий

интерес. В то же время наибольшую трудность у них вызывает математика.

Может быть, в какой-то мере интеграция исторических и математических знаний

на примерах задач исторического содержания поможет привить интерес и к

истории, и к математике.

В 1994 году в издательстве "Педагогика-пресс" вышел нетрадиционный

задачник С.С.Перли, Б.С.Перли "Страницы русской истории на уроках

математики". Необычность названного пособия в том, что все приведенные

математические задачи даны на фоне русской истории начиная от первого

упоминания в летописи о Москве и заканчивая Петровской эпохой. Словно

следуя словам Петра Великого "Оградя отечество безопасностью от неприятеля,

надлежит стараться находить славу государства через искусство и науки", мы

читаем о родной истории, ее богатых обычаях и традициях. Книга хорошо

иллюстрирована, написана на ярком историческом материале.

Задачник соответствует программе по математике V-VI классов. Большое

место занимают задачи на составление уравнений, причем уровень сложности их

постепенно возрастает. Содержание всех задач связано с русской историей, с

ее архитектурными и культурными памятниками.

Вот некоторые задачи из этого сборника:

1. В XV в. суммарная площадь Пскова, Великого Новгорода и Нижнего Новгорода

была 940 га, из которых 11/47 составляла площадь Пскова. Вычислите площадь

каждого из этих трех городов, если известно, что Нижний имел площадь на 100

га меньше, чем Новгород Великий (задача на нахождение числа по величине его

процента к теме: "Размеры русских средневековых городов").

2. Теме "Некоторые итоги Петровских преобразований" посвящена задача на

составление уравнения. "В 1795 г. бюджет России составлял 9,75 млн. рублей.

Из них 2/3 расходовали на содержание армии и флота. Расходы на флот

составляли 0,3 от стоимости содержания армии. Сколько стоило России

содержание армии и флота в 1725 г.?"

К сожалению, в последнее время почти не выходит литература по истории

математики.

Мотивационная функция задач в обучении математике

Роль задач в обучении математике чрезвычайно велика. Они могут служить

многим конкретным целям обучения, выполнять разнообразные дидактические

функции. Широкое использование в учебном процессе мотивационной функции

задач является одним из средств его активизации. Такое применение задач

способствует осознанному восприятию учащимися программного материала,

овладению прочными знаниями, развитию мыслительной деятельности школьников.

Задания, направленные на развитие внимания

Чтобы познавательный интерес постоянно подкреплялся, получал импульсы

для развития, надо использовать средства, вызывающие у ученика ощущение,

сознание собственного роста.

Составь план ответа, задай вопрос товарищу, проанализируй ответ и оцени

его, обобщи сказанное, поищи иной способ решения задачи – эти и многие

другие приемы, побуждающие ученика осмыслить свою деятельность, неуклонно

ведут к формированию стойкого познавательного интереса.

Развитие познавательных способностей

В процессе учебной деятельности школьника, большую роль , как отмечают

психологи, играет уровень развития познавательных процессов: внимания,

восприятия, наблюдения, воображения, памяти, мышления. Развитие и

совершенствование познавательных процессов будет более эффективным при

целенаправленной работе в этом направлении, что повлечет за собой и

расширение познавательных возможностей детей.

Внимание – это форма организации познавательной деятельности во многом

зависит от степени сформированности такого познавательного процесса как

внимание.

В учебный материал можно включить содержательно-логические задания,

направленные на развитие различных характеристик внимания: его объема,

устойчивости, умения переключать внимание с одного предмета на другой,

распределять его на различные предметы и виды деятельности.

1. Отыскание ходов в обычных и числовых лабиринтах

2. Пересчет предметов, изображенных неоднократно пересекающимися контурами

3. Отыскание чисел по таблицам Шульте

4. Быстрее нарисуй

5. Найди, кто спрятался

6. Найди сходство и различие

7. Прочитай рассыпанные слова

Задания, направленные на развитие восприятия и воображения.

Восприятие – это основной познавательный процесс чувственного отражения

действительности, ее предметов и явлений при их непосредственном действии

на органы чувств. Оно является основой мышления и практической деятельности

как взрослого человека, так и ребенка, основой ориентации человека в

окружающем мире, в обществе. Психологические исследования показали, что

одним из эффективных методов организации восприятия и воспитания

наблюдательности является сравнение. Восприятие при этом становится более

глубоким.

В результате игровой и учебной деятельности восприятие само переходит в

самостоятельную деятельность, в наблюдение.

1. Подбери заплатку к сапожку

2. Собери разбитый кувшин, вазу, чашки, тарелки

3. Упражнение Геометрические фигуры

4. Упражнение Треугольники

5. 100-клеточная таблица с графическими изображениями

6. Таблица с геометрическими фигурами разной формы

7. Таблица с геометрическими фигурами разного размера

8. Таблица с геометрическими фигурами не только разной формы, но и белого и

черного цвета

9. 100-клеточная таблица, заполненная цифрами

Задания, направленные на развитие логического мышления

Интеллект человека. В первую очередь определяется не суммой накопленных

им знаний, а высоким уровнем логического мышления. Поэтому уже в начальной

школе необходимо научить детей анализировать, сравнивать и обобщать

информацию, полученную в результате взаимодействия с объектами не только

действительности, но и абстрактного мира.

Ничто так, как математика, не способствует развитию мышления, особенно

логического, так как предметом ее изучения являются отвлеченные понятия и

закономерности, которыми в свою очередь занимается математическая логика.

1. Задачи на смекалку

2. Задачи шутки

3. Числовые фигуры

4. Задачи с геометрическим содержанием

5. Логические упражнения со словами

6. Математические игры и фокусы

7. Кроссворды и ребусы

8. Комбинаторные задачи

Задания, направленные на развитие памяти.

Память является одним из основных свойств личности. Древние греки

считали богиню памяти Мнемозину матерью девяти муз, покровительниц всех

известных наук и искусств. Человек, лишенный памяти, по сути дела перестает

быть человеком. Многие выдающиеся личности обладали феноменальной памятью.

Например, академик А.Ф.Иоффе по памяти пользовался таблицей логарифмов. Но

следует знать и о том, что хорошая память не всегда гарантирует ее

обладателю хороший интеллект. Психолог Т.Рибо описал слабоумного мальчика,

способного легко запомнить ряды чисел. И все-таки память – это одно из

необходимых условий для развития интеллектуальных способностей.

У младших школьников более развита память наглядно образная, чем

смысловая. Они лучше запоминают конкретные предметы, лица, факты, цвета,

события.

Но в начальной школе необходимо готовить детей к обучению в среднем

звене, поэтому необходимо развивать логическую память. Учащимся приходится

запоминать определения, доказательства, объяснения. Приучая детей к

запоминанию логически связанных значений, мы способствуем развитию их

мышления.

1. Запомни двузначные числа.

2. Запомни математические термины.

3. Цепочка слов.

4. Рисуем по памяти узоры.

5. Запомни и воспроизведи рисунки

6. Зрительные диктанты

7. Слуховые диктанты

Разминки

Этот прием фронтальной работы, вовлекающий в деятельность весь класс,

развивает быстроту реакции, умение слушать и слышать вопрос, четко и

конкретно мыслить. Интересно, что в этом случае работают даже те дети,

которые обычно молчат, поскольку интеллектуально пассивны или стесняются

публичных ответов. Разминка занимает 5–7 минут.

В чем смысл данного вида работы? Он проводится или на этапе проверки

домашнего задания или первичного усвоения, когда вопросы очень просты

(репродуктивные) и требуют однозначный, быстрый ответ, проверяющий знания и

внимание детей, умение слушать и слышать вопрос.

Если устную разминку проводить в начале урока перед объяснением новой темы,

то она должна включать не только вопросы на проверку домашнего задания, но

и актуализацию опорных понятий, пройденных раньше (неделю, месяц, год

назад), которые необходимо восстановить в памяти ребенка.

Детям предлагается как можно быстрее, хором отвечать на вопросы (их обычно

15–20) и самостоятельно оценивать себя: в случае правильного ответа ставить

себе в тетради заметку. В конце разминки учитель объясняет, за сколько

ответов можно поставить себе «+». (Приложение 1)

Буквенный диктант

Его можно использовать перед объяснением новой темы. Не учитель

называет тему, а ученики. Смысл диктанта в следующем: учащиеся отвечают про

себя на вопрос, а записывают лишь первую букву ответа. Затем из выделенных

слов учащиеся составляют слово.

При использовании приема «Буквенный диктант» вопросы формулируются из

соответствующей темы по математике, из любых предметов школьного курса и

даже из кроссвордов.

Прием ценен для развивающего обучения, но еще мало разработан как в теории,

так и в практике.

Числовой диктант

При использовании этого приема дети вспоминают два понятия, пытаются

сохранить их в памяти, а затем по заданию учителя совершают между ними

какое-либо действие и ответ записывают в тетрадь. Чем он интересен? Во-

первых, устный счет сам по себе полезен на уроках математики. Во-вторых, мы

не просто даем возможность считать, а подсчитывать вещи (понятия, величины,

единицы...), знание которых входит в базовый минимум школьной программы не

только по данному предмету, т. е. мы пытаемся расширить кругозор детей. В-

третьих, давая аналогичное задание для самостоятельного конструирования, мы

ненавязчиво заставляем школьников еще раз прочитать текст учебника,

поскольку без этого они не смогут выполнить предлагаемую работу, а она для

них очень интересна.

Цифровой диктант

Этот прием, пришедший к нам из программированного обучения, где основой

является идея о постоянной обратной связи, очень эффективно используется

для быстрой фронтальной проверки усвоения и закрепления знаний. Учитель

произносит некоторое утверждение и, если ученик согласен, то он ставит

единицу (1), если нет – нуль (0). В результате получается число. Все, кто

получил правильное число, получают «плюс» за работу (балл за данный этап

урока).

Подобные диктанты с большим удовольствием составляют сами учащиеся и

подбирают вопросы из многих учебных предметов. Аналогичные задания можно

дать на дом или на уроке.

Задания со сменой установки

Этот прием работы на уроке позволяет не только проверить знания детей по

теме, но и развивать зрительную память, быстроту реакции, внимание. Почему

прием носит такое название? В этом случае мы чуть-чуть «обманываем» детей,

говоря, что будет выполняться тест, проверяющий и развивающий зрительную

память. Детям надоедают одни и те же слова: «Решим задачу, выполним

упражнение» и т. д. Мы меняем формулировку задания, зная, что кроме

развития памяти одновременно проверяем качество усвоения программного

материала.

Суть приема в следующем: на доске заранее пишется задание (несколько чисел,

фигуры), учащимся предлагается их запомнить в том же порядке. Затем задание

убираем, а дети должны постараться ответить на вопросы учителя (отвечают

хором) или письменно в тетрадях.

Приемы повышения интереса учащихся к обучению, о которых было сказано,

показали их высокую эффективность не только для качественного формирования

знаний, но и для развития познавательных способностей школьников, их

общенаучных умений и навыков для повышения мотивации их деятельности,

создания ситуации успеха и творческой активности.

Игровое обучение

Большое значение в активизации познавательной деятельности

младшего школьника имеют игровые моменты, вносящие элемент занимательности

в учебный процесс, помогающие снять усталость и напряжение на уроке.

Игровое обучение может использоваться как метод, как методический

прием, как форма обучения.

Сущность обучению как игре в курсе математики могут обеспечить сюжет

и/или соревнование. По времени игра может продолжаться от 10-15 минут до

четверти. Сюжет более уместен для 1-7 классов, а для старших школьников –

соревновательный момент.

Игровая ситуация предполагает активизацию деятельности учащихся на

уроках.

Для формирования сюжета учителю необходимо знать любимых героев детей

и наиболее популярные игры, фильмы, музыкальные произведения.

Игра

Для младших школьников учение – новое дело. Поэтому при знакомстве со

школьной жизнью игра способствует снятию барьера между «внешним миром

знания» и «психикой» детей. Игровое действие позволяет осваивать то, что

заранее вызывает у младшего школьника страх неизвестности, постоянно

внушаемое уважение к школьной премудрости. Кроме того, установка на

выполнение учебной работы у детей еще не сформирована. Поэтому основным

видом дидактических игр, используемых на начальных этапах, является игры,

формирующие устойчивый интерес к учению и снимающий напряжение, которое

возникает в период адаптации детей к школьному режиму.

Игра является одним из средств формирования психических образований,

крайне необходимых для учебного процесса, мышления, внимания, памяти и т.д.

Как правило, игра направлена на решение не одной задачи, а целого

круга задач, причем ведущая функция игры определяется ее дидактическими

целями. Например, формирование освоения социальных ролей может

Страницы: 1, 2, 3, 4