уравнением для мгновенной скорости

[pic]

и уравнением для координаты

[pic],

где х0 – координата начальной точки, V0x и ax – проекции векторов [pic]

на ось Х, которая параллельна траектории движения.

Для решения многих задач достаточно знать только численное значение

мгновенной скорости, определяемое из соответствующего уравнения в скалярной

форме. Для этого нужно уравнения мгновенной скорости записать для её

проекции на ось х, т.е.

[pic].

Таким образом, основная задача механики решается с помощью двух

независимых уравнений:

[pic]

[pic].

Если начало координат совпадает с начальной точкой движения уравнения

упрощаются и принимают вид:

[pic]

[pic].

Кроме уравнения координаты вводится также формула для вычисления пути

(путь – скалярная величина, равная длине траектории):

[pic].

Четкое представление о величинах, входящих в уравнения мгновенной

скорости и координаты, и об их изменениях с течением времени складывается у

учащихся при вычерчивании графиков.

На рисунке 2.4 показано изменения проекций векторов [pic], а также

координаты х тела, брошенного вертикально вверх.

Рис 2.4 и 2.5

На рисунке 2.5 изображены графики изменения ускорения и скорости тела

по модулю, а также график его пути [7].

Уравнения динамики первоначально также даются в векторной форме. И

естественно возникает необходимость перехода к записи их в скалярной форме.

Второй закон Ньютона учащиеся выражают следующим образом [14]: [pic],

где [pic] - равнодействующая всех сил, приложенных к телу. В некоторых

учебных пособиях это же уравнение записывается так:

[pic].

Для перехода к скалярной форме записи можно рекомендовать следующий

прем. Допустим, что к телу приложены две силы [pic] и [pic]. Тогда телу

сообщается ускорение [pic], направленное в сторону равнодействующей

(рис.2.6):

Рис 2.6.

Если спроецировать вектора [pic] и [pic] на произвольную ось х, то,

учитывая пропорциональность отрезков, отсеченных на сторонах угла

параллельными прямыми, можно записать:

[pic].

Откуда [pic], где [pic]- проекция равнодействующей на ось х.

Из рисунка 2.6 также видно, что проекция равнодействующей равно сумме

проекций приложенных сил, то есть

[pic],

следовательно, [pic].

Последнее уравнение выражает очень важное следствие: сумма проекций

сил, приложенных к телу, по любой оси равна произведению массы тела на

проекцию ускорения по этой же оси.

В практике средней школы встречаются физические задачи, которые

сводятся к нахождению решений системы уравнений, из которых одни есть

уравнения динамики, а другие – кинематики. Если в задаче рассматривается

равноускоренное движение, то её решение не зависит от того, проекции или

модули векторов входят в уравнения кинематики. Если же в задаче

рассматривается равнозамедленное движение, то необходимо предварительно

выразить все уравнения системы через однородные величины, то есть через

модули соответствующих векторов. В этом случае формула скорости [pic] имеет

вид [pic], формула пути [pic] будет, а формула [pic] выразится так [pic].

Несоблюдение этого правила часто приводит к ошибочным решениям.

Рассмотрим это на примере следующей задачи (задача №4 из упр. 17 учебника

для 9 класса):

«Конькобежец, масса которого равна 50 кг, после разгона скользит по

льду, пройдя до остановки 40 м. Сила трения постоянна и равна 10 Н. Сколько

времени продолжается торможение?»

рис 2.7

Выполнив чертеж, обращаем внимание учащихся на то, что к конькобежцу

приложены три силы: сила тяжести [pic], сила реакции [pic] (направленная

нормально поверхности движения конькобежца) и сила сопротивления [pic].

Рассмотрим проекции этих сил на вертикальную ось y и запишем

соответствующее уравнение динамики:

[pic], так как [pic]

поскольку [pic], то [pic].

Между тем для проекций на ось х уравнение динамики имеет вид:

[pic]

откуда (поскольку [pic] и [pic]) получим:

[pic], или [pic] (где [pic] и [pic] - модули векторов [pic] и [pic]).

Искомую величину - время – можно определить из уравнений кинематики:

[pic]

Если теперь выразить проекции векторов через их модули, то получим:

[pic]

Откуда находим, что [pic], или [pic]. Поскольку [pic], то [pic].

Обычно учащиеся поступают по другому: они записывают уравнения согласно

учебнику так:

[pic]

Откуда получают [pic] или [pic]. Если заранее не сделать разъяснений,

то ученики считают, что величины, входящие в формулы, - модули

соответствующих векторов и тогда знак минус вызывает у них недоумение. Если

же произвести дальнейшее преобразования и подставить в последнюю формулу

[pic], то получиться [pic].

Этот результат вызывает у школьников ещё большее неумение, так как им

не ясно, как избавиться от знака минус.

В данной задаче легко найти выход из затруднительного положения. Однако

в более сложных задачах можно не заметить этого и получить неправильный

ответ.

Поэтому имеет смысл на первом этапе решения по динамике рассматривать

только случаи равноускоренного движения тел, а затем, после приобретения

учащимися прочных знаний навыков, осторожно перейти к анализу и решению

задач на равнозамедленное движение.

Глава 3. развитие понятия функции в школьном курсе физике.

§3.1. Функция как важнейшее звено межпредметных связей.

В общей системе теоретических знаний учащихся по физике и математике в

средней школе большое место занимает понятие «функция». Оно имеет

познавательное и мировоззренческое значение и играет важную роль в

реализации межпредметных связей [13].

Функция является одним из основных понятий математики, выражающих

зависимость одних переменных величин от других. Как и остальные понятия

математики, оно сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития, опираясь

в начале на представление о переменной величине, а затем на понятия теории

множеств.

Трактовка функции как зависимости одних переменных величин от других

вводится следующим образом. Если величины x и y связаны так, что каждому

значению х соответствует определенное значение y, то y называют функцией

аргумента х.

Соотношение между x и y записывают так: [pic]. Если связь между х и y

такова, что одному и тому же значению х соответствует несколько значений y,

то у называют многозначной функцией аргумента х.

Иными словами, это можно сформулировать следующим образом [11], чтобы

задать функцию [pic], следует указать: 1) множество значений Х, которое

может принимать х (область задания функции); 2) множество значений Y,

которое может принимать у (область значения функции); 3) правило, по

которому значения х из Х соотносятся со значениями у из Y. В физике чаще

всего правило отнесения значениям х соответствующих им значений у задается

формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести

над х, чтобы получить у.

Функция [pic] иногда задается своим графиком, те есть множеством точек

х, у – плоскости, у которой х принадлежит области задания функции, а [pic].

Развитие математики в XIX-XX вв. привело к необходимости дальнейшего

обобщения понятия функции. Оно заключалось, с одной стороны, в перенесении

этого понятия с переменных действительных чисел на переменные объекты любой

природы, с другой стороны, в определении понятия «функция» без упоминания о

её аналитическом изображении. Такое определение функции стало возможным

благодаря развитию теории множеств.

Понятие «множество» можно представить себе [10] как совокупность

некоторых объектов, объединенных между собой по какому-либо признаку.

Важным вопросом, возникшим в применении к множествам, был вопрос об их

количественном сравнении между собой. Возможность сравнительной оценки

множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя

множествами [11]. Если каждому элементу множества Х поставлен в

соответствие в силу какого-либо правила или закона некоторый определенный

элемент множества Y и при этом каждый элемент множества Y оказывается

поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества Х, то

говорят, что между множествами Х и Y установлено взаимно однозначное

соответствие.

Общее определение однозначной функции можно сформулировать следующим

образом: пусть А и В – два множества, составленные из элементов любой

природы, и М – множество упорядоченных пар[pic], такое, что каждый элемент

х, принадлежащий А [pic], входит в одну и только одну пару из М; тогда М

задает на А функцию [pic] [11]. Множество А называют областью определения

функции [pic], а множество В – областью значения этой функции.

Понятие функции играет в физике исключительно важную роль. По существу

любой физический закон лишь тогда считается четко сформулирован, когда ему

придана математическая форма, точнее – если он записан в виде некоторой

функциональной зависимости между физическими величинами.

Важно учитывать и другой факт. Не всякая формула, связывающая

физические величины, выражает причинно-следственную зависимость между ними.

В ряде случаев аналитическая запись отражает лишь определенное соответствие

между физическими величинами. Примерами могут служить формулы для расчета

плотности твердых тел ([pic]), удельной теплоты плавления ([pic]). На

основании, например, первой формулы можно, казалось бы, сказать, что [pic]

при [pic], но такое (математически правильное) высказывание неверно с

физической точки зрения.

Функциональное соответствие, связывающее давление Р и объем V

идеального газа при постоянной температуре (закон Бойля - Мариотта),

записывается так: [pic].

При изотермическом процессе причиной изменения давления идеального газа

служит изменение его объема, и наоборот. Причинно-следственную связь между

физическими величинами для этих и аналогичных случаев назовем взаимной.

§3.2. Формирование физико-математических понятий: производная,

первообразная и интеграл в школе.

Как могут быть реализованы межпредметные связи физики и математики при

формировании таких понятий, как функция, величина, производная,

первообразная и интеграл. Причины, побудившие обратится к этому вопросу

следующие. Во-первых, позднее изучение в курсе математики названных понятий

затрудняет преподавание, например, механики в курсе физики. Во-вторых,

изучению всего курса физики препятствует недостаточное использование

математического аппарата, которое происходит либо из-за позднего его

формирования у учащихся, либо из-за отсутствия согласованности действий

преподавателей физики и математики в использовании общих физико-

математических понятий.

Выход из создавшейся ситуации состоит в совместном формировании у

учащихся понятий математического анализа в курсе физики и математики.

Именно при параллельном изучении основ механики и основ математического

анализа открываются наибольшие возможности для формирования как физических

понятий – мгновенная скорость, мгновенная ускорение, перемещение, работа и

т. д., так и математических – производная, первообразная и интеграл.

Согласно такой методике реализация межпредметных связей предпочтение

следует отдать скорей наглядности физики, чем строгости математических

доказательств. Поэтому на уроках математики, например, производную сумму

вводить при помощи закона сложения скоростей; при выводе формулы

производной функции, основанном на использовании на индукции,

математические выкладки подтверждаются примерами из физики. Рассмотрение

Страницы: 1, 2, 3, 4