создаются условия для перехода от целых к действительным числам, к

выражению результата измерения дробью (простой и десятичной - конечной, а

затем бесконечной).

Причем исходным может быть знакомство с операцией измерения, получение

конечных десятичных дробей и изучение действий над ними. Если учащиеся уже

владеют такой формой записи результата измерения, то это служит

предпосылкой для "забрасывания" идеи о том, что число может выражаться и

бесконечной дробью. И эту предпосылку целесообразно создавать уже в

пределах начальной школы.

Если понятие дробного (рационального) числа изъять из компетенции

школьной арифметики, то граница между нею и "алгеброй" пройдет по линии

различия между целым и действительным числами. Именно оно "рубит" курс

математики на две части. Здесь не простое различие, а принципиальный

"дуализм" источников - счета и измерения.

Следуя идеям Лебега относительно "общего понятия числа", можно

обеспечить полное единство преподавания математики, но лишь с момента и

после ознакомления детей со счетом и целым (натуральным) числом. Конечно,

сроки этого предварительного ознакомления могут быть разными (в

традиционных программах для начальной школы они явно затянуты), в курс

начальной арифметики можно даже вносить элементы практических измерений

(что имеет место в программе), - однако все это не снимает различия

оснований у арифметики и "алгебры" как учебных предметов. "Дуализм"

исходных пунктов препятствует и тому, чтобы в курсе арифметики по-

настоящему "приживались" разделы, связанные с измерением величин и

переходом к подлинным дробям. Авторы программ и методисты стремятся

сохранить устойчивость и "чистоту" арифметики как школьного учебного

предмета. Указанное различие источников является основной причиной

преподавания математики по схеме - сначала арифметика (целое число), затем

"алгебра" (действительное число).

Эта схема кажется вполне естественной и незыблемой, к тому же она

оправдывается многолетней практикой преподавания математики. Но есть

обстоятельства, которые с логико-психологической точки зрения требуют более

тщательного анализа правомерности этой жесткой схемы преподавания.

Дело в том, что при всем различии этих видов чисел они относятся

именно к числам, т.е. к особой форме отображения количественных отношений.

Принадлежность целого и действительного чисел к "числам" служит основанием

для предположения о генетической производности и самих различий счета и

измерения: у них есть особый и единый источник, соответствующий самой форме

числа. Знание особенностей этой единой основы счета и измерения позволит

более четко представить условия их происхождения, с одной стороны, и

взаимосвязь - с другой.

К чему же обратиться, чтобы нащупать общий корень ветвистого дерева

чисел? Представляется, что прежде всего необходимо проанализировать

содержание понятия величина. Правда, с этим термином сразу связывается

другой - измерение. Однако правомерность подобного соединения не исключает

определенной самостоятельности смысла "величины". Рассмотрение этого

аспекта позволяет сделать выводы, сближающие, с одной стороны, измерение со

счетом, с другой - оперирование числами с некоторыми общематематическими

отношениями и закономерностями.

Итак, что такое "величина" и какой интерес она представляет для

построения начальных разделов школьной математики?

В общем употреблении термин "величина" связан с понятиями "равно",

"больше", "меньше", которые описывают самые различные качества (длину и

плотность, температуру и белизну). В.Ф. Каган ставит вопрос о том, какими

общими свойствами эти понятия обладают. Он показывает, что они относятся к

совокупностям - множествам однородных предметов, сопоставление элементов

которых позволяет применить термины "больше", "равно", "меньше" (например,

к совокупностям всех прямолинейных отрезков, весов, скоростей и т.д.).

Множество предметов только тогда претворяется в величину, когда

устанавливаются критерии, позволяющие установить относительно любых его

элементов А и В, будет ли А равно В, больше В или меньше В. При этом для

любых двух элементов А и В имеет место одно и только одно из соотношений:

А=В, А>В, А<В.

Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере одно

имеет место, но каждое исключает все остальные).

В.Ф. Каган выделяет следующие восемь основных свойств понятий "равно",

"больше", "меньше": ([10], c. 17-31).

1) Имеет место по крайней мере одно из соотношений: А=В, А>В, А<В.

2) Если имеет место соотношение А=В, то не имеет места соотношение

А<В.

3) Если имеет место соотношение А=В, то не имеет места соотношение

А>В.

4) Если А=В и В=С, то А=С.

5) Если А>В и В>С, то А>С.

6) Если А<В и В<С, то А<С.

7) Равенство есть отношение обратимое: из соотношения А=В всегда

следует соотношение В=А.

8) Равенство есть соотношение возвратное: каков бы ни был элемент А

рассматриваемого множества, А=А.

Первые три предложения характеризуют дизъюнкцию основных соотношений

"=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех

элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только

равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь

основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе

которых можно вывести ряд других свойств величины.

Эти выводные свойства В.Ф. Каган описывает в форме восьми теорем:

I. Соотношение А>В исключает соотношение В>А (А<В исключает В<А).

II. Если А>В, то В<А (если А<В, то В>А).

III. Если имеет место А>В, то не имеет места A<B.

IV. Если А1=А2, А2=А3,.., Аn-1=А1, то А1=Аn.

V. Если А1>А2, А2>А3,.., Аn-1>Аn, то А1>Аn.

VI. Если А1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Если А=С и В=С, то А=В.

VIII. Если имеет место равенство или неравенство А=В, или А>В, или

А<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему

элементом (здесь имеет место соотношение типа:

если А=В и А=С, то С=В;

если А>В и А=С, то С>В и т.д.).

Постулатами сравнения и теоремами, указывает В.Ф. Каган,

"исчерпываются все те свойства понятий "равно", "больше" и "меньше",

которые в математике с ними связываются и находят себе применение

независимо от индивидуальных свойств того множества, к элементам коего мы

их в различных частных случаях применяем" ([10], стр. 31).

Свойства, указанные в постулатах и теоремах, могут характеризовать не

только те непосредственные особенности объектов, которые мы привыкли

связывать с "равно", "больше", "меньше", но и со многими другими

особенностями (например, они могут характеризовать отношение "предок -

потомок"). Это позволяет встать при их описании на общую точку зрения и

рассматривать, например, под углом зрения этих постулатов и теорем любые

три вида отношений "альфа", "бета", "гамма" (при этом можно установить,

удовлетворяют ли эти отношения постулатам и теоремам и при каких условиях).

Под таким углом зрения можно, например, рассматривать такое свойство

вещей, как твердость (тверже, мягче, одинаковая твердость),

последовательность событий во времени (следование, предшествование,

одновременность) и т.д. Во всех этих случаях соотношения "альфа", "бета",

"гамма" получают свою конкретную интерпретацию. Задача, связанная с

подбором такого множества тел, которое бы имело эти отношения, а также

выявление признаков, по которым можно было бы характеризовать "альфа",

"бета", "гамма", - это есть задача на определение критериев сравнения в

данном множестве тел (практически ее в ряде случаев решить нелегко).

"Устанавливая критерии сравнения, мы претворяем множество в величину", -

писал В.Ф. Каган ([10], стр. 41).

Реальные объекты могут рассматриваться под углом зрения разных

критериев. Так, группа людей может рассматриваться по такому критерию, как

последовательность моментов рождения каждого ее члена. Другой критерий -

относительное положение, которое примут головы этих людей, если их

поставить рядом на одной горизонтальной плоскости. В каждом случае группа

будет претворяться в величину, имеющую соответствующее наименование -

возраст, рост. В практике величиной обычно обозначают как бы не самое

множество элементов, а новое понятие, введенное для различения критериев

сравнения (наименование величины). Так возникают понятия "объем", "вес",

"электрическое напряжение" и т.д. "При этом для математика величина вполне

определена, когда указаны множество элементов и критерии сравнения", -

отмечал В.Ф. Каган ([10], стр. 47).

В качестве важнейшего примера математической величины этот автор

рассматривает натуральный ряд чисел. С точки зрения такого критерия

сравнения, как положение, занимаемое числами в ряду (занимают одно место,

следует за..., предшествует), этот ряд удовлетворяет постулатам и поэтому

представляет собой величину. По соответствующим критериям сравнения

совокупность дробей также претворяется в величину.

Таково, по В.Ф. Кагану, содержание теории величины, играющей важнейшую

роль в деле обоснования всей математики.

Работая с величинами (отдельные их значения целесообразно фиксировать

буквами), можно производить сложную систему преобразований, устанавливая

зависимости их свойств, переходя от равенства к неравенству, выполняя

сложение (и вычитание), причем при сложении можно руководствоваться

коммутативным и ассоциативным свойствами. Так, если дано соотношение А=В,

то при "решении" задач можно руководствоваться соотношением В=А. В другом

случае при наличии соотношений А>В, В=С можно заключить, что А>С. Поскольку

при а>b существует такое с, что а=b+с, то можно найти разность а и b (а-

b=с), и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на физических телах и

других объектах, установив критерии сравнения и соответствие выделенных

отношений постулатам сравнения.

Приведенные выше материалы позволяют заключить, что и натуральные, и

действительные числа одинаково прочно связаны с величинами и некоторыми их

существенными особенностями. Нельзя ли эти и другие свойства сделать

предметом специального изучения ребенка еще до того, как вводится числовая

форма описания отношения величин? Они могут послужить предпосылками для

последующего развернутого введения числа и его разных видов, в частности

для пропедевтики дробей, понятий координат, функции и других понятий уже в

младших классах.

Что может быть содержанием этого начального раздела? Это знакомство с

физическими объектами, критериями их сравнения, выделяющими величину, как

предмет математического рассмотрения, знакомство со способами сравнения и

знаковыми средствами фиксации его результатов, с приемами анализа общих

свойств величин. Это содержание нужно развернуть в относительно подробную

программу преподавания и, главное, связать ее с теми действиями ребенка,

посредством которых он может этим содержанием овладеть (конечно, в

соответствующей форме). Вместе с тем нужно экспериментальным, опытным путем

установить, могут ли дети 7 лет усвоить эту программу, и какова

целесообразность ее введения для последующего преподавания математики в

начальных классах в направлении сближения арифметики и начальной алгебры.

До сих пор наши рассуждения носили теоретический характер и были

направлены на выяснение математических предпосылок построения такого

начального раздела курса, который знакомил бы детей с основными

алгебраическими понятиями (до специального введения числа).

Выше были описаны основные свойства, характеризующие величины.

Естественно, что детям 7 лет бессмысленно читать "лекции" относительно этих

свойств. Необходимо было найти такую форму работы детей с дидактическим

материалом, посредством которой они смогли бы, с одной стороны, выявить в

окружающих их вещах эти свойства, с другой - научились бы фиксировать их

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11