Все эти разделы входят в учебный план студентов I курса обучающихся на специальности “информатика–иностранный язык” и представляют большой интерес в смысле компьютерного представления именно для студентов этой специальности.

Первой для переноса на компьютерную основу была взята тема “Числовые системы”. Выбор этой темы был обоснован мною ранее. На данный момент эта тема практически полностью реализована в электронном учебнике и может применяться на практике. Над разделами “Тождественные преобразования”, “Элементы аналитической геометрии”, “Элементы логики и теории множеств”, “Матрицы” сейчас ведется работа с целью скорейшего включения их в состав учебника.

Из того что уже сделано, хочется выделить систему помощи и подсказок разработанную для “Числовых систем”. Она позволит студентам лучше ориентироваться в излагаемом материале, получать своевременную помощь в затруднительной ситуации, позволит избежать многих ошибок. Суть ее заключается в том что, видя новое определение или термин, студент может обратиться к этой системе и получить разъяснение или рекомендацию. Не обделялись вниманием те, на первый взгляд, простые моменты, на которых студенты чаще всего ошибаются, где за видимой простотой скрывается более глубокий смысл. Практика показывает острую необходимость такого подхода к изложению нового материала.

    Теоретический материал электронного учебника

После анализа нескольких учебников и методических пособий мною был отобран следующий теоретический материал. Совместно с моим научным руководителем Анатолием Константиновичем Рябогиным была разработана система контекстно-зависимых пояснений, которую я также привожу ниже. Этим знаком будут обозначаться фрагменты системы подсказок, относящиеся к подчеркнутому слову.

    ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
    1. Множество натуральных чисел

Определение: Множество называется числовым, если его элементами являются числа. Известны следующие числовые системы:

    N - множество натуральных чисел;
    Z - множество целых чисел;
    Q - множество рациональных чисел;
    R - множество действительных чисел;
    С - множество комплексных чисел.
    Между этими множествами установлены следующие отношения:
    N М Z М Q М R М C.

В основе расширения числовых множеств лежат следующие принципы: если множество А расширяется до множества В, то: 1) А М B;

2) операции и отношения между элементами, выполнимые во множестве А, сохраняются и для элементов множества В; 3) во множестве В выполняются операции, не выполнимые или частично выполнимые во множестве А; 4) множество В является минимальным расширением множества А, обладающим свойствами 1) – 3).

Минимальность расширения множества А обладающее свойствами 1–3 понимается в том смысле, что: 1. выполняются свойства 1–3; 2. В – наименьшее множество для которого выполняются свойства 1–3 и для которого выполняется операция невыполнимая или частично выполнимая во множестве А.

Множество натуральных чисел N строго определяется с помощью аксиом Пеано. 1. Существует натуральное число 1, не следующее ни за каким натуральным числом (натуральный ряд начинается с 1).

2. Каждое натуральное число следует только за одним и только одним натуральным числом (в натуральном ряду нет повторений).

3. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число (натуральный ряд бесконечен).

    4. Аксиома индукции. Пусть М М N. Если:
    1) 1 О М;

2) " а О М множеству М принадлежит и следующий за а элемент а1 то множество М совпадает с множеством натуральных чисел. Итак, множество N = { 1, 2, 3, 4, ....}.

На аксиоме 4 основан метод математической индукции. Доказательство различных утверждений этим методом проводится от частного к общему, а затем делается вывод о справедливости данного утверждения.

П р и м е р. Доказать методом математической индукции следующее равенство:

    Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Проверим справедливость данного утверждения для n = 1: , т. е. 1 = 1.

    Проверка при n=1 ОБЪЯЗАТЕЛЬНА!

2. Предположим, что данное равенство выполняется для k слагаемых, т. е. при n =k: 3. На основании предположения 2 докажем справедливость данного равенства для n = k+1:

    Ho , а потому , а так как , следовательно

Теперь можно сделать вывод о том, что данное равенство справедливо " n О N. 2. Множество целых чисел

Во множестве натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания. Расширяя множество N так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z.

    Расширяя – определяя новую алгебраическую операцию.

Поэтому Z=N И {0, -1, -2, ....} или Z={.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}, т. е. множество целых чисел Zсодержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.

Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты. Т е о р е м а о д е л е н и и с о с т а т к о м. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а = bq + r, 0Ј r < | b |.

О п р е д е л е н и е. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р. О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители: , где p1, p2, .... , pk – простые числа, а - натуральные числа. Разложение называется каноническим.

Единственность разложения понимается с точностью до порядка следования сомножителей. Например.

Если сказано, что простые числа расположены в порядке возрастания, то данная оговорка не нужна.

О п р е д е л е н и е. 1) Общим делителем целых чисел а1, а2, .... , аn называется целое число d, такое, что a1 : d, а2 : d, .... , аn : d. 2) Наибольшим общим делителем целых чисел а1, а2, .... , аn называется такой положительный общий делитель чисел а1, а2, .... , аn, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

Наибольший общий делитель – это наибольший из их общих делителей.

    Обозначается: d = (а1, а2, .... , аn).

Наибольший общий делитель целых чисел а и bможет быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисела и b.

П р и м е р. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим: 1173 = 323ґ3 + 204;

    323=204ґ1+119;
    204=119ґ1+85;
    119=85ґ1+34;
    85=34ґ2+17;
    34=17ґ2;
    так что (1173, 323) = 17.

О п р е д е л е н и е. Наименьшим общим кратным целых чисел а1, а2, .... , аn, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.

Наименьшее общее кратное – это наименьшее из их общих кратных.

    Обозначают: m=[ а1, а2, .... , аn].
    Пусть а и b целые числа, тогда
    П р и м е р. Найти HOK чисел 1173 и 323.
    Т. к. (1173, 323) = 17, то [1173, 323] =

3. Множество рациональных чисел. Система действительных чисел Во множестве целых чисел выполняются операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления. Расширяя множествоZтак, чтобы эта операция была выполнима, получаем новое числовое множество множество рациональных чиселQ, т. е. Q= r=, m, n О Z, n№0. Множество рациональных чисел можно еще определить как множество бесконечных периодических десятичных дробей.

Десятичная дробь называется периодической, если начиная с некоторого k одна или несколько цифр (группа цифр) повторяются.

Если же число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, то его называют иррациональным числом.

К необходимости введения понятия иррационального числа приводит рассмотрение многих задач, в частности - задачи измерения некоторых отрезков (например, длины диагонали квадрата со стороной, равной единице). Иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа и представляются следующими десятичными дробями: = 0, 75; = 0, 333 .... = 0, (3). Иррациональные числа и p представляются непериодическими бесконечными дробями: = 1, 414.... ; p = 3, 14159......

    Непериодическими бесконечными дробями также являются:
    0, 101001000100001.... , и другие.

Множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чиселR. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой. Отметим, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой установленовзаимно однозначное соответствие.

Имеется в виду что каждой точке на прямой соответствует число из множества R, и наоборот, каждому числу из множества R соответствует точка на прямой.

    4. Система комплексных чисел

Однако действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Например, уравнение видах2+ 1= 0 действительных корней не имеет. А это означает, что система действительных чисел нуждается в расширении.

О п р е д е л е н и е. Множество чисел вида а + bi, а, b О R, i2 = -1, называется системой комплексных чисел С.

Подчеркнем, что в отличие от множества действительных чисел (R), множество комплексных чисел (С) с операциями определенными на нем не обладает свойством упорядоченности, так как имеется элемент, в частности, нельзя определить понятие быть положительным.

а - действительная часть комплексного числа, bi - мнимая часть комплексного числа, i = - мнимая единица, b - коэффициент при мнимой единице. Запись числа в виде z = а + bi называется алгебраической. Комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = 0 и b = 0. Два комплексных числа z1 = а1 + b1i и z2 = а2 + b2i называются равными, если а1 = a2, и b1 = b2, в этом случае пишут: z1 = z2. Число = а - bi называется сопряженным для числа z = а + bi, при этом числа z и называются взаимно сопряженными. Например, числа z = 2 + i и z = 2 - i; z = -5 - i и z = -5 + i, z = i и z = -i будут взаимно сопряженными. Арифметические действия над комплексными числами проводятся по следующим правилам. Пустьz1= а1+b1i z2= а2+b2i. Тогда: ; ;

. Таким образом, видим, что если z= a+bi и =a-bi, то z= a2+b2. П р и м е р ы. Выполнить действия:

    1. (2 + 3i) + (8 - 5i) = 10 - 2i.
    2. (-1 - i) - (2 + 3i) = -3 - 4i.
    3. (10 - i)(2 + i) = 21+8i.
    4...

Геометрически комплексные числа можно изображать точками плоскости, абсциссами которых служат действительные части, а ординатами - коэффициенты при мнимой единице. Таким образом, еслиz= a+bi, то на плоскости ХОУ это будет точка М(а, b). Так как любой вектор плоскости с началом в точке O(0, 0) определяется координатами конца, то комплексные числа также изображают радиус– векторами (рис. 1).

    Рис. 1

Кроме алгебраической формы комплексное число может быть записано с помощью тригонометрической формы. Введем следующие определения.

О п р е д е л е н и е. Модулем комплексного числа z= а+ bi называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов его действительной части и коэффициента при мнимой единице: |z| = r =.

О п р е д е л е н и е. Аргументом комплексного числа z = а + bi называется число , для которого . Возьмем на плоскости точку М(а, b), пусть ей соответствует комплексное число z = а + bi. Обозначим через j угол, который образует радиус – вектор ОМ с положительным направлением оси ОХ.

Из D ОМА (рис. 2) AO = OMcosj, AM = ОМsinj, но ОМ= = г, ОА =а; AM =b; тогда z = а + bi = rcosj + irsinj = r(cosj + isinj). Запись числа z = r(cosj + isinj) называется тригонометрической формой комплексного числа. С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа представляет собой длину радиус-вектора, который это число изображает, а аргумент - это угол, который образует данный радиус-вектор с положительным направлением осиОХ. П р и м е р. Найти модуль, аргумент и записать число z = 1- i в тригонометрической форме. Имеем r = = ; cosj =; sinj =; тогда j = и .

Используя тригонометрическую форму комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел можно выполнять так: если, , то z1z2 = r1r2[cos (j1+j2) + isin (j1+j2)], . Операции же возведения в целую степень и извлечения корня удобнее проводить в тригонометрической форме. Так, для возведения в целую степеньn комплексного числа z = r(cosj + isinj) известна формула Муавра: zn = rn(cos nj + isin nj).

Отметим, что возведение комплексных чисел в натуральную степень можно выполнять и в алгебраической форме, просто перемножая число само на себя или воспользовавшись биномом Ньютона.

    П р и м е р. Найти (2 + 2i)5.
    Если z = 2 +2i, то r =, cosj = , sinj = , j = . Тогда
    , а .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9