Дослідження методів чисельного інтегрування

Міністерство освіти і науки України

Анотація

В даній курсовій роботі розроблена програма для обчислення визначеного інтегралу методом Чебишева третього четвертого та п'ятого порядків.

Програма дозволяє отримати розв'язання інтегралу зазначеним методом, оцінити похибки та порівнювати їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.

1. Теоретичні відомості

У курсовій роботі проведено дослідження методів чисельного інтегрування. Адже, у задачах, пов'язаних з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, керування, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.

В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:

Загальний підхід до розв'язування цієї задачі такий: визначений інтеграл I являє собою площину, обмежену кривою f(х), віссю Х та прямими Х = a, Х =b, відрізок від a до b розбивають на множину менших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують за таким розбиванням, значення інтеграла І знаходять як суму площ площин Sі, тобто I = Si. При цьому використовують два способи розбивання початкового відрізка на менші

1.Розбивання відрізка проводиться раніше, до того ж завжди відрізок вибирають рівним (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона).

2.Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшої точності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (методи Гаусса, Ньютона - Котеса, Чебишева) [1].

1.1 Метод прямокутників

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h=xi=xi+1-xi), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:

In=f(x)dxSi=h[f(x0)+f(x1)+...+f(xn-1)]=f(xi);(1.1)

якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:

Iпр=f(x)dxh[f(xn)+...+f(x1)]=f(xi)(1.2)

1.2 Метод трапецій

Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією (x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.

Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ Si прямокутних трапецій N.

Площа кожної такої трапеції визначається як:

Si=h(f(xi)+f(xi+1)).(1.3)

Отже, формула трапеції:

I=Si=h(f(x0)+f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1)+f(xN)= =[(f(x0)+f(xn))+f(xi)].(1.4)

Графічна модель

Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як

(1.5)

Де М2 -максимальне значення другої похідної. f(x) при ,h-крок обчислень.

1.3 Метод Сімпсона (метод парабол або метод криволінійних трапецій)

Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою (x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I= f(x)dxSi [1].

Графічна модель.

Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона:

Si= [f(xi)+4f(xi+1)+f(xi+2)], (1.6), тобто

(y0+4y1+y2),

(y2+4y3+y4),

(y4+4y5+y6), (1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(y2n-2+4y2n-1+y2n),

Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a,b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто

[y0+y2n+4(y1+...+y2n-1)+2(y2+...+y2n-2)],

або

[y0+y2n+4y2i-1+2y2i],(1.8)

де h =(b-a)/2N.

Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як

де М4 -максимальне значення четвертої похідної. f(x) при , h-крок обчислень.

1.4 Метод Ньютона-Котеса

Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції, яка отримується поділом відрізка [a,b] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовується лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона - апроксимація параболою.

Основна формула методу:

yiHi,(1.9)

де Hi - коефіцієнти Ньютона - Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяцїї). Таким чином, коефіцієнти Ньютона - Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів інтерполяції .

Легко можна показати, що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона - Котеса.

1.5 Метод Чебишева

Метод Чебишева використано в курсовій грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції yi =f(xi),(i=1,2,...,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції x1,x2,...,xN (де h=const). Коефіцієнти Ньютона -Котеса Нi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л.Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу:

cif(xi),(1.10)

в якій квадратурні коефіцієнти сi (i = 1,2, ...,N) зафіксовані, а абсциси xi (i=1,2,...,N)підлягаютьвизначенню.

Таблиця 1.1.

Коефіцієнти Ньютона - Котеса

Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=...=Сn. Розглядаємо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють -1 та 1. Тоді формула Чебишева набере вигляду:

2Cn[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)],(1.11)

де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси xi підлягають визначенню.

Коефіцієнти та вузли інтерполяції xi визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду:

f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn.(1.12)

Підставимо многочлен у ліву частину попередньої формули та про- інтегруємо:

(a0+a1x+a2x2+...+anxn)=2(a0+a2+a3+...).(1.13)

У праву частину рівності (1. 11) підставимо значення многочлена (1.І2) у вузлах x1,x2,...,xn:

f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n,

f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n,

f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n,(1.14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn,

Тоді рівність (1.ІЗ) набере вигляду:

2(a0+a2+a4+...)=2cn[na0+a1(x1+x2+...+xn)+a2(x12+x22+...+xn2)+

+a3(x13+x23+...+xn3)+...+an(x1n+x2n+...+xnn)].(1.15)

Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень a0,a1,...,an; таким чином, порівнюючи коефіцієнти аi в правій та лівій частинах (1.І5) знаходимо, що nсn = 1, звідки

Cn=.(1.16)

і, крім цього,

x1+x2+x3+...+xn=0,

x12+x22+x32+...+xn2=,

x13+x23+x33+...+xn3=0,(1.17)

x14+x24+x34+...+xn4=,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x1n+x2n+x3n+...+xnn=[1-(-1)n+1],

Підставляючи знайдене для Сn виразу в співвідношені 1.13 отримаємо формулу Чебишева:

[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)],(1.18)

де точки x1,...,хn визначаються із системи рівнянь (1.17).

Значення x1,...,хn для різних n обчислюються раніше та зводять в табл. 1.2.

Коли межі даного інтеграла відрізняються від -1 та 1, формула Чебишева матиме вигляд:

[f(z1)+f(z2)+...+f(zn)],(1.19)

де

Таблиця 1.2.

Zi=+xi, (i=1,2,...,n),(1.20)

а xi мають вкaзані в таблиці значення.

Похибка обчислень за методом Чебишева знаходиться за формулою:

Програма складається з двох блоків. Це - інтерфейний модуль, що забезпечує користувача змогою спілкуватися з комп'ютером за допомогою клавіатури, та сама програма, що здійснює всі обчислювальні операції.

При запуску спершу ініціюється графіка та створюється меню і ініціюються змінні. Потім іде блок зчитування з клавіатури. Він аналізує введену користувачем інформацію і згідно з нею виконує певні дії. При натисканні на клавіші управління курсором відбувається переміщення по меню. При натисканні на клавішу Enter відбувається аналіз кнопки, яка була обрана на даний момент, і згідно з цим виконання певних дій. Це можуть бути такі операції:

1) обчислення інтегралу методом Чебишева 3-го порядку: виконується алгоритм, який детально пояснено в додатку Б.

2) обчислення інтегралу методом Чебишева 4-го порядку.

3) обчислення інтегралу методом Чебишева 5-го порядку

4) Задається крок обчислення h=0.1;

5) Задається крок обчислення h=0.2;

6) Задається крок обчислення h=0.5;

7) Про автора - довідка про автора програми;

8) Вихід з програми - здійснюється вихід з програмного середовища ТР;

Робота даної програми починається з підключення стандартного модуля введення-виведення crt та модуля graph для ініціалізації графіки, оскільки програма виконана в графічному режимі. Далі задаються константи інтегрування.

Тип TMenuItems - масив пунктів меню. Далі задаємо підінтегральну функцію. Процедура InitGraphMode - процедура для ініціалізації графіки, VGA - тип графічного драйверу, VGAHi - тип графічного режиму.

· DrawCursor(x,y:integer) - процедура для малювання курсору;

· HideCursor(x,y:integer) - процедура, що автоматично забирає курсор з екрану;

· Function WaitWhileKeypressed(var FKey:boolean):char - функція, що очікує нажатої клавіші, цикл повторюється до тих пір, доки не буде зчитано код нажатої клавіші;

· Procedure menu(x,y:integer;…var poin:integer) - дана процедура власне виводить на екран графічне меню та надає змогу користувачеві здійснити вибір пункту меню за допомогою графічного курсору.

Страницы: 1, 2