- дискретизація фільтру дорівнює 8 по 0,0002 с, що забезпечує помилку меншу за 1 %.

Результати експерименту з використанням генератора псевдовипадкових чисел на СРОС можна побачити на рисунку 3.8.

Експеримент з використанням генератора псевдовипадкових чисел на СРОС був проведений з наступними параметрами:

- максимальна амплітуда шуму 2048

- амплітуда синусоїди 1.5 В (ефективне значення амплітуди);

- амплітуда синусоїди (ефективне значення) обиралася в залежності від відношення сигнал-шум та середньоквадратичного відхилення шуму;

- фільтра для частоти 500 Гц дорівнює 3,183 *10^-4;

- дискретизація фільтру дорівнює 8 по 0,0002 с, що забезпечує помилку меншу за 1 %.

Результати експерименту з використанням стандартного генератору псевдовипадкових чисел у MathCad2001 можна побачити на рисунку 3.7.

3.3 Результати експериментів

Характеристики, отримані аналітично й експериментально без врахування квадратичної залежності між частотою та амплітудою, мають спільні риси. Причому, є точка перетинання всіх кривих. Також були проведені розрахунки більш наближені до реальних датчиків з врахуванням квадратичної залежності амплітуди сигналу від частоти. Обчислювання математичного очікування кількості нулів відбувалося на певному часовому інтервалі так і за певну кількість періодів.

За умов використання фільтрації ковзного згладжування з параметрами, коли при фільтрації залишалися частоти до 600 - 700 Гц, тоді отримані графіки нагадували рис. 4 та рис. 5. При цьому на частоті 500 Гц коефіцієнт передачі падав до 0,2-0,3. Коли фільтрацію зробили після 1000 Гц, на 500 Гц коефіцієнт піднявся до 0,8 - 0,9, тоді отримані графіки стали відповідати отриманим аналітичним шляхом.

При використанні RC-фільтрації з параметром 500 Гц були отримані ті самі рисунок 3.4 та рисунок 3.5.

Такі результати експериментів пояснюються тим, що в теоретичних розрахунках Бендат [5] використовував ідеальний фільтр який має коефіцієнт передачі 1 на частотах, що проходять крізь фільтр і 0 - на тих що фільтруються. Звичайно таку фільтрацію за реальних умов забезпечити неможливо, тому можна спостерігати розбіжності з отриманими результатами експериментальним шляхом.

Експеримент з урахування квадратичної залежності амплітуди від частоти нічого несподіваного не показав. Було підтверджено що за умови збільшення процентної присутності шуму у сигналі межа зменшується з боку низьких частот. Визначили числові значення цих частот за різних співвідношень сигнал/шум.

За умов використання фільтрів, як і очікувалося відбувається збільшення області достовірних вимірів в залежності від співвідношення сигнал/шум.

Результати отримані за умов використання двох різних фільтрів загалом однакові, але з практичної точки зору RC-фільтр набагато простіше зробити. Тому рекомендується використовувати цей фільтр у практичних експериментах.

4 Визначення кількості перетинів корисного сигналу з нульовим рівнем за допомогою методики для квантованого у часі сигналУ

4.1 Визначення дискретної частоти за допомогою перетинів нульового значення

В даному розділі будуть наведені методи ті, що використовують ітеративні фільтраційні процедури для визначення частот сигналів, схованих у шумі компонент. Подана методика використовує параметричну фільтрацію для рекурсивного визначення частот дискретних спектральних компонент.

Визначення частоти - класична задача аналізу часових рядів. Майже сотні років періодограми широко застосовувалися для аналізу та визначення спектрів. Швидке перетворення Фур'є (FFT), що являє собою ефективний алгоритм для оцінки періодограм у частотах Фур'є, підтримує популярність цього важливого інструмента. Але на протязі більш ніж десяти останніх років багато авторів пропонували методи ітеративної фільтрації для визначення частот дискретних гармонік [8, 11-14].

Корисна математична модель, так саме, як і та, що ми використовуємо у цьому прикладі, це наступна суміш сигналів стаціонарного процесу,

, (4.1)

де, - дискретні значення часу;

А та В всі не корельовано, - математичне відхилення, та - дисперсія.

Взагалі, приймаємо - підкрашений стаціонарний шум з нульовим середнім значенням і дисперсією , незалежною від А та В. Шум, приймаємо, має абсолютно неперервну спектральну функцію зі спектральною щільністю , . Для нашої мети ми приймаємо, що {Zt} - Гаусів процес. Але Гаусовість не є необхідною для параметричної фільтрації за методом Яковітца [16]. Також покажемо, що частота для нас є низка упорядкованих констант в межах (0,) [15],

, (4.2)

Загальна задача це визначити частоти , використовуючи кінцеву довжину реалізації (спостереження) з часового ряду Z1, Z2, ...,ZN.

Іншими словами, наша основна стратегія це фільтрувати спостереження Z1, Z2, ...,ZN за допомогою фільтру з параметричного сімейства лінійних фільтрів, спостерігати статистику перетинів нуля виходу фільтру, а потім обирати інший фільтр (зміною параметра) з сімейства на базі статистики, що спостерігається. При деяких умовах ця ітеративна процедура сходиться і точне значення частоти може бути отримане.

4.2 Очікуване число перетинів нуля Гаусова процесу

Нижче подано формули для визначення очікуваної кількості перетинів нуля Гаусова процесу. Наведемо обидва випадки: безперервного та дискретного часу.

Якщо стаціонарний Гаусів процес {Zt}, для , з нормалізованою автокореляційною функцією має дуже гладку форму, що середнє число перетинів нуля за одиницю часу, дорівнює за формолою Райса [4].

, (4.3)

де D - число перетинів нуля у реалізації {Zt} для t у одиничному інтервалі [0, 1];

є друга похідна нормалізованої автокореляційної функції від {Zt} у нулі.

Ялвісакер в 1965 довів формулу Райса строго при пом'якшуючих умовах і показав, що очікувана кількість перетинів нулів скінченна якщо, і тільки якщо, автокореляційна функція двічі може бути диференційована в точці .

Аналогічна формула для дискретного часу, для процесу з нульовим середнім, для стаціонарної Гаусової послідовності {Zк}, була отримана багатьма авторами [7] і виглядає як:

, (4.4)

або, еквівалентно, в інверсній формі:

, (4.5)

де D1 - число змін знаків або перетинів нуля у реалізаціях Z1, ...,ZN;

- кореляція послідовності {Zк};

- очікувана число перетинів нуля при дискретному часі.

Ця формула (4.5) має назву - косинусна формула. Спостерігаємо, що через стаціонарність очікуване число перетинів нуля - не залежить від N. Взагалі повинен бути кореляцією, див. Кедем (1991). Оскільки лінійна фільтрація Гаусова процесу дає результат Гаусів процес, косинусна формула придатна для фільтрованого процесу, де кореляційний коефіцієнт і число перетинів нуля фільтрованого процесу використано у косинус ній формулі (4.5). Для точності, нехай буде вихід у момент t з лінійного з незмінними у часі параметрами фільтру La, що був застосований до процесу {Zt}. Використовуючи косинусну формулу (4.5) і спектральне подання для стаціонарних процесів, коефіцієнти кореляції першого порядку фільтрованого процесу отримаємо вираз [15]:

, (4.6)

де Da - число перетинів нуля в {La(Z)1, ...,La(Z)N,};

- функція спектрального розподілу процесу {Zt};

- квадрат коефіцієнту передачі фільтру La.

Перетини нуля Da фільтрованого часового ряду називаємо “Перетини вищого порядку” або НОС [7].

Для даного з нульовим середнім часового ряду {Zк} і сімейства параметричних фільтрів з пространством параметрів , , відповідає НОС сімейство помічено як .

4.3 НК - алгоритм. Параметричний фільтр АR(1)

Ітеративна схема, наведена нижче, ілюструє метод для виявлення однієї частоти у Гаусовому шумі. Наша модель це (4.1) з р = 1 та білим Гаусовим шумом. Алгоритм має собою наступні гарантії збіжності НОС послідовності до частоти у нашій моделі. Сімейство фільтрів це експоненціальний фільтр, що згладжує, або авторегрсійний порядку 1, АR(1)-фільтр.

Фільтр АR(1), відомий як ( - фільтр) визначається операцією:

, (4.7)

або еквівалентно в його рекурсивній формі:

, (4.8)

де квадрат коефіцієнта передачі фільтру заданий виразом:

(4.9)

де

Параметричний фільтр АR(1) має фундаментальні властивості відносно білого шуму [15].

(4.10)

Тому НОС послідовність та на практиці емпіричні числа або ті, що спостерігаються, перетинів нуля обчислюються по формулі Е[Dak] на кожній стадії в ітерації і шумовий процес не обов'язково повинен бути білим - він повинен бути з неперервним спектром. На рисунку 4.1 можна побачити як підстроюється параметр в залежності від вхідного сигналу у конкретному випадку при використанні даного алгоритму на практиці.

Рисунок 4.1 - Зміна параметра на протязі двадцяти ітерацій.

На рисунку 4.2 показано, як в процесі двадцяти ітерацій змінюється спектр сигналу. Можна побачити, як коефіцієнт передачі, рівномірний по всіх частотах, поступово переходить у бік низьких частот, тим самим виділяючи потрібну частоту корисного сигналу.

Рисунок 4.2 - Зміна спектру сигналу під час обробки алгоритмом НК.

К - енергетична складова гармонік, N - кількість перетинів нульового рівня

Далі буде показана реалізація алгоритму HK з використанням фільтру AR(1). Реалізація цього алгоритми була виконана з наступними параметрами:

- параметр , де k = 20 - кількість проходів по вхідної послідовності, N = 32 - кількість інтервалів, на яку розбивається вхідна послідовність , D - число перетинів нуля на попередніх інтервалах;

- кількість точок на одному інтервалі Ni дорівнює 512;

- кількість періодів синусоїди в одному інтервалі дорівнює 10 і відповідно

кількість перетинів нульового рівня - 20;

- загальна довжина вхідної послідовності дорівнює 16384 точок;

- точок відліку на один період припадає 51;

- 1024 точкам відліку у часовому вимірі відповідає 1 секунда;

- частота синусоїди дорівнює 20.0784 Гц;

- загальна довжина вхідної послідовності 16 секунд;

- кількість перетинів нуля вхідної послідовності 639.

Для проведення експерименту по виявленню корисного сигналу на фоні завади, була використана стандартна функція пакету Mathcad 2001 для отримання шуму з потрібними параметрами. Перед використанням алгоритму HK з фільтру AR(1) попередньо синусоїду з відомими параметрами змішуємо з отриманим шумом. Далі, під час проведення експерименту, можна простежити, як цей алгоритм знаходить у зашумованому сигналі потрібну частоту. Цей процес на протязі двадцяти ітерацій, з новим обчисленням параметру після проходження усієї вхідної послідовності, можна спостерігати на рисунку 4.3.

Рисунок 4.3 - Пошук потрібної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом. Nі - номер ітерації алгоритму, N - кількість перетинів нульового рівня.

Зміну поточної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом, на протязі двадцяти ітерацій, з новим обчисленням параметру після кожного інтервалу вхідної послідовності, можна спостерігати на рисунку 4.4.

Рисунок 4.4 - Пошук потрібної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом.

На рисунку 4.4 спостерігаються підвищення поточної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом рівномірно через однакові проміжки часу. Це пов'язано з тим, що алгоритм починає проходження вхідної послідовності з початку, а історія обчислень була накопичена на інтервалах в кінці послідовності і послідовність була змінена. Тому відбувається швидке підстроювання параметрів під нові інтервали.

З метою визначення ефективності даного алгоритму при обробці сигналу, в якому ефективно значення шуму відносно сигналу дорівнює, більше та менше. Для зручності співвідношення сигнал/завада обираємо наступними: 2, 1, 0,5. Також паралельно провадилися експерименти з ініціалізацією початкового значення параметру наступними значеннями 0,1, 0,5, 0,9, -0,1, -0,5, -0,9.

За для зручності аналізу отриманих результатів було прийнято рішення подавати результати на двовимірному графіку через те, що на тривимірному графіку важко порівнювати різні експерименти. Кожен графік буде подавати інформацію про експерименти з одним співвідношення але з різними початковими значеннями параметру .

Описані експерименти проводилися для двох різновидів алгоритмів HK з використанням фільтру сімейства AR(1).

У першому варіанті алгоритму проводилася зміна поточної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом, на протязі двадцяти ітерацій, з новим обчисленням параметру після кожного інтервалу вхідної послідовності.

У другому варіанті алгоритму проводилася зміна поточної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом, на протязі двадцяти ітерацій, з новим обчисленням параметру після проходження усієї вхідної послідовності.

Для отримання моделі завади була використана стандартна функція пакету Mathcad 2001 для отримання шуму з потрібними параметрами. Її амплітуда при генерації задавалася за допомогою стандартного математичного відхилення. Для порівняння амплітуди синусоїди з завадою використовувалося діюче значення амплітуди сигналу синусоїди.

Страницы: 1, 2, 3, 4