figure% новая фигура

plot (xpl, ypdf);% рисуем

set (get(gcf, 'CurrentAxes'),…

'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 12)

title(['\bfПлотность распределения ' tdistr{idistr}])

end;

Рисунок 5 - плотность распределения амплитуды сигнала по нормальному закону

Рисунок 6 - плотность распределения амплитуды сигнала по экспоненциальному закону

Рисунок 7 - равномерная плотность распределения амплитуды сигнала

Рисунок 8 - плотность распределения амплитуды сигнала по Релеевскому закону

На практике могут встретиться и другие виды распределений (, 2, логнормальное, Вейбулла и т.д.). Многие из них реализованы в MATLAB, но иногда приходится писать свои функции.

Графики некоторых плотностей распределения похожи между собой, поэтому иногда вид гистограммы позволяет выбрать сразу несколько законов. Если есть какие-либо теоретические соображения предпочесть одно распределение другому, можно их использовать. Если нет - нужно проверить все подходящие законы, а затем выбрать тот, для которого критерии согласия дают лучшие результаты.

1.3 Оценка параметров распределения случайных величин для четырех законов

В выражениях для плотности и функции нормального распределения (4 - 5) параметры m и являются математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением. Поэтому, если мы остановились на нормальном распределении, то берем их равными, соответственно, выборочным математическому ожиданию и среднеквадратичному отклонению:

. (12)

Математическое ожидание показательного распределения есть величина, обратная его параметру . Поэтому, если мы выбрали показательное распределение, параметр находим:

(13)

Из выражений для mx и x равномерного закона распределения находим его параметры a и b:

; . (14)

Параметр рэлеевского распределения также находится из выражения для mx

(15)

В системе MATLAB вычисление параметров теоретического распределения с помощью ПМП реализовано в функциях fit или mle. Подбор по методу моментов не реализован. Найдем параметры теоретического распределения по ПМП и методу моментов.

Практическая часть.

s={'нормальное распределение'; 'показательное распределение';…

'равномерное распределение'; 'Рэлеевское распределение'};

disp ('Параметры по ПМП:')

[mx, sx]=normfit(x);% параметры нормального распределения

lam=1/expfit(x);% параметр показательного распределения

[a, b]=unifit(x);% параметры равномерного распределения

sig=raylfit(x);% параметр Рэлеевского распределения

fprintf([' % s: m=%12.7f; sigma=%12.7f\n'], s{1}, mx, sx)

fprintf (' % s: alpha=%12.7f\n', s{2}, lam)

fprintf (' % s: a=%12.7f; b=%12.7f\n', s{3}, a, b)

fprintf (' % s: sigma=%12.7f\n', s{4}, sig)

Для сигнала гусеничной техники:

Параметры по ПМП:

нормальное распределение: m= 0.0060038; sigma= 0.0203706

показательное распределение: alpha= 166.5608494

равномерное распределение: a= -0.0962308; b= 0.0942564

Рэлеевское распределение: sigma= 0.0150166

Для фонового сигнала:

Параметры по ПМП:

нормальное распределение: m= 0.0188599; sigma= 0.0005663

показательное распределение: alpha= 53.0224920

равномерное распределение: a= 0.0106122; b= 0.0210241

Рэлеевское распределение: sigma= 0.0133420

disp ('Параметры по методу моментов:')

mx=Mx;

sx=Sx;% параметры нормального распределения

lam=abs (1/Mx);% параметр показательного распределения

a=Mx-Sx*3^0.5;

b=Mx+Sx*3^0.5;% параметры равномерного распределения

sig=abs(Mx)*(2/pi)^0.5;% параметр Рэлеевского распределения

fprintf([' % s: m=%12.7f; sigma=%12.7f\n'], s{1}, mx, sx)

fprintf (' % s: alpha=%12.7f\n', s{2}, lam)

fprintf (' % s: a=%12.7f; b=%12.7f\n', s{3}, a, b)

fprintf (' % s: sigma=%12.7f\n', s{4}, sig)

Для сигнала гусеничной техники:

Параметры по методу моментов:

нормальное распределение: m= 0.0060038; sigma= 0.0203706

показательное распределение: alpha= 166.5608494

равномерное распределение: a= -0.0292791; b= 0.0412867

Рэлеевское распределение: sigma= 0.0047903

Для фонового сигнала:

Параметры по методу моментов:

нормальное распределение: m= 0.0188599; sigma= 0.0005663

показательное распределение: alpha= 53.0224920

равномерное распределение: a= 0.0178790; b= 0.0198409

Рэлеевское распределение: sigma= 0.0150480

Вывод: из результатов, полученных двумя методами видно, что оценки плотностей распределения вероятностей для равномерного и рэлеевского законов по первому методу отличаются от плотностей распределения вероятностей по второму методу.

Оценки показательных и нормальных законов плотностей распределения вероятностей по обоим методам практически совпадают.

1.4 Построение на одном графике теоретического и практического распределения для формулировки гипотезы

Построим на одном графике теоретическую и эмпирическую плотности распределения вероятности. Эмпирическая плотность распределения - это гистограмма, у которой масштаб по оси ординат изменен таким образом, чтобы площадь под кривой стала равна единице. Для этого все значения в интервалах необходимо разделить на nh, где n - объем выборки, h - ширина интервала при построении гистограммы. Теоретическую плотность распределения вероятности строим по одному из выражений (4), (6), (8), (10), параметры для них уже вычислены. Эмпирическую плотность распределения нарисуем красной линией, а предполагаемую теоретическую - линией одного из цветов: синего, зеленого, сиреневого или черного.

Практическая часть.

[nj, xm]=hist (x, k);% число попаданий и середины интервалов

delta=xm(2) - xm(1);% ширина интервала

clear xfv fv xft ft% очистили массивы для f(x)

xfv=[xm-delta/2; xm+delta/2];% абсциссы для эмпирической f(x)

xfv=reshape (xfv, prod (size(xfv)), 1);% преобразовали в столбец

xfv=[xl; xfv(1); xfv; xfv(end); xr];% добавили крайние

fv=nj/(n*delta);% значения эмпирической f(x) в виде 1 строки

fv=[fv; fv];% 2 строки

fv=[0; 0; reshape (fv, prod (size(fv)), 1); 0; 0];% + крайние, 1 столбец

xft=linspace (xl, xr, 1000)';% абсциссы для теоретической f(x)

ft=[normpdf (xft, mx, sx), exppdf (xft, 1/lam),…

unifpdf (xft, a, b), raylpdf (xft, sig)];

col='bgmk';% цвета для построения графиков

figure

plot (xfv, fv, '-r', xft, ft(:, 1), col(1), xft, ft(:, 2), col(2),…

xft, ft(:, 3), col(3), xft, ft(:, 4), col(4)) % рисуем

set (get(gcf, 'CurrentAxes'),…

'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 12)

title ('\bfПлотности распределения')

xlim([xl xr]), ylim([0 1.4*max(fv)])% границы рисунка по осям

xlabel ('\itx')% метка оси x

ylabel ('\itf\rm (\itx\rm)')% метка оси y

grid

Рис. 9 - График плотности распределения вероятности сигнала гусеничной техники и графики нормального, рэлеевского, показательного и равномерного законов плотностей распределения вероятности

Рис. 10 - График плотности распределения вероятности фонового сигнала и графики нормального, рэлеевского, показательного и равномерного законов плотностей распределения вероятности

Вывод: из рисунка 9 видно, что наиболее подходящим теоретическим распределением для первой эмпирической гистограммы является нормальное.

Реальный закон распределения амплитуд фонового сигнала также подчиняется нормальному закону.

1.5 Проверка гипотезы по критерию Колмогорова-Смирнова

Мы подобрали вид теоретического распределения и его параметры. Следующий этап - это проверка правильности подбора. Необходимо выяснить: насколько хорошо теоретическое распределение согласуется с данными. С этой целью используются критерии согласия Колмогорова-Смирнова или Пирсона., во втором - f(x) и f*(x).

Критерий согласия Колмогорова. В этом случае сравниваются теоретическая F(x) и выборочная F*(x) функции распределения. Сравниваемым параметром является максимальная по модулю разность между двумя функциями

. (16)

С точки зрения выборочного метода F*(x) является случайной функцией, так как от выборки к выборке ее вид меняется, поэтому величина D является случайной. Согласно теореме Гливенко-Кантелли с ростом объема выборки эта величина сходится к нулю. Колмогоров А.Н. выяснил, как именно D сходится к нулю. Он рассмотрел случайную величину

(17)

и нашел ее закон распределения. Как оказалось, при достаточно больших n он вообще не зависит от закона распределения генеральной совокупности X. Причем функция распределения случайной величины имеет вид

. (18)

Если опытные данные x действительно взяты из генеральной совокупности с функцией распределения F(x), то вычисленная по выражению (18) реализация случайной величины на уровне значимости q должна лежать в квантильных границах распределения Колмогорова (18). При этом, если малое (выходит за «левый» квантиль), то нулевая гипотеза принимается: теоретическое распределение согласуется с опытными данными. В общем случае нулевая гипотеза принимается, если выполняется условие

  1-q. (19)

Данный критерий называется еще критерием Колмогорова-Смирнова.

Таким образом, для применения критерия согласия Колмогорова-Смирнова, мы должны найти максимальную по модулю разность между выборочной и теоретической функциями распределения D по выражению (16), вычислить по ней и проверить условие (19).

Практическая часть.

param=[[mx sx]; [lam 0]; [a b]; [sig 0]];% параметры распределений

qq=[];% критические уровни значимости

for idistr=1:ndistr, % критерий Колмогорова

[hkolm, pkolm, kskolm, cvkolm]=…

kstest (x, [x cdf (tdistr{idistr}, x,…

param (idistr, 1), param (idistr, 2))], 0. 1,0);

qq=[qq pkolm];% критические уровни значимости

end

[maxqq, bdistr]=max(qq);% выбрали лучшее распределение

fprintf(['Лучше всего подходит % s;\nкритический уровень '…

'значимости для него =%8.5f\n'], s{bdistr}, maxqq);

figure

cdfplot(x);% эмпирическая функция распределения

xpl=linspace (xl, xr, 500);% для графика F(x)

ypl=cdf (tdistr{bdistr}, xpl, param (bdistr, 1), param (bdistr, 2));

hold on% для рисования на этом же графике

plot (xpl, ypl, 'r');% дорисовали F(x)

hold off

set (get(gcf, 'CurrentAxes'),…

'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 12)

title(['\bfПодобрано ' s{bdistr}])

xlabel ('\itx')% метка оси x

ylabel ('\itf\rm (\itx\rm)')% метка оси y

Результат:

Лучше всего подходит нормальное распределение;

критический уровень значимости для него = 0.31369

Рис. 11 - График эмпирической функции распределения для сигнала гусеничной техники

Рис. 12 - График эмпирической функции распределения для фонового сигнала

Найденный критический уровень значимости - это то значение q, при котором неравенство (19) обращается в равенство.

Вывод: По полученным результатам можно сделать вывод, что по данному критерию распределение подобранно верно.

1.6 Проверка гипотезы по критерию согласия Пирсона

По критерию Пирсона сравниваются теоретическая и эмпирическая функции плотности распределения вероятности, а точнее - частота попадания случайной величины в интервал. Интервалы могут быть любыми, равными и неравными, но удобно использовать те интервалы, на которых построена гистограмма. Эмпирические числа попадания n (из гистограммы) сравнивается с теоретическим npj, где pj - вероятность попадания случайной величины X в j-ый интервал:

Страницы: 1, 2, 3, 4