|
p align="left">1001 = 1010 - 0011 Это сводит на нет всякое представление о порядке. Определив действие сложения, перейдем к умножению и делению. Умножение, как и в обычной арифметике, считается суммой значений первого сомножителя, сдвинутых в соответствии со значением второго сомножителя. 1101x 1011 ---- 1101 1101. 0000.. 1101... ------- 1111111 Обратим внимание: при суммировании используется CRC сложение. Деление несколько сложнее, так как требуется знать, когда "одно число превращается в другое ". Чтобы сделать это, необходимо ввести слабое понятие размерности: число X больше или равно Y, если позиция самого старшего единичного бита числа X более значима (или соответствует) позиции самого старшего единичного бита числа Y. Ниже приведен пример деления: 1100001010 -------------------------------- 10011 ) 11010110110000 10011,,.,,.... -----,,.,,.... 10011,.,,.... 10011,.,,.... -----,.,,.... 00001.,,.... 00000.,,.... -----.,,.... 00010,,.... 00000,,.... -----,,.... 00101,.... 00000,.... -----,.... 01011.... 00000.... -----.... 10110... 10011... -----... 01010.. 00000.. -----.. 10100. 10011. -----. 01110 00000 ----- 1110 = Это так и есть. Однако, прежде, чем идти дальше, стоит еще немного задержаться на этих действиях. Зная, что действия сложения и вычитания в нашей арифметике - это одно и то же. В таком случае, A+0=A и A-0=A. Если число A получено умножением числа B, то в CRC арифметике это означает, что существует возможность сконструировать число A из нуля, применяя операцию XOR к числу B, сдвинутому, на различное количество позиций. Например, если A равно 0111010110, а B - 11, то может сконструировать A из B следующим способом: 0111010110 = .......11. + ....11.... + ...11..... 11....... Однако, если бы A было бы равно 0111010111, то не удалось составить его с помощью различных сдвигов числа поэтому говорят, что в CRC арифметике оно не делится на B. Таким образом, видно, что CRC арифметика сводится главным образом к операции "Исключающее ИЛИ" некоторого значения при различных величинах сдвига. Определив все правила CRC арифметики, можно теперь охарактеризовать вычисление CRC как простое деление, чем оно фактически и является. Чтобы выполнить вычисление CRC, необходимо выбрать делитель. Говоря математическим языком, делитель называется генераторным полиномом (generator polinomial), или просто полиномом, и это ключевое слово любого CRC алгоритма. Для простоты будет называть CRC полином просто полиномом. Можно выбрать и использовать в CRC любой полином. Степень полинома W (Width - ширина) (позиция самого старшего единичного бита) чрезвычайно важна, так как от нее зависят все остальные расчеты. Обычно выбирается степень 16 ил 32, так как это облегчает реализацию алгоритма на со временных компьютерах. Степень полинома - это действительная позиция старшего бита, например, степень полинома 10011 равна 4, а не 5. Степень (Width) - Степень (или ширина) CRC алгоритма соответствует степе ни используемого полинома (или длине полинома минус единица). Например, если используется полином 11010, то степень алгоритма равна 4. Обычно используется степень, кратная 8 Выбрав полином приступим к расчетам. Это будет простое деление (в терминах CRC арифметики) сообщения на наш полином. Единственное, что надо будет сделать до начала работы, так это дополнить сообщение W нулевыми битами. Итак, начнем. Исходное сообщение: 1101011011 Полином: 10011 Сообщение, дополненное W битами: 11010110110000 Теперь просто поделим сообщение на полином, используя правила CRC арифметики. Ранее уже рассматривалось это действие. 1100001010 = ( ) --------------- 10011 ) 11010110110000 = выровненное сообщение (1101011011 + 0000) =# ,,.,.,,.,,.... 10011,,.,,.... -----,,.,,.... 10011,.,,.... 10011,.,,.... -----,.,,.... 00001.,,.... 00000.,,.... -----.,,.... 00010,,.... 00000,,.... -----,,.... 00101,.... 00000,.... -----,.... 01011.... 00000.... -----.... 10110... 10011... -----... 01010.. 00000.. -----.. 10100. 10011. -----. 01110 00000 ----- 1110 В результате получаем частное, которое нас не интересует и, поэтому, отбрасывается за ненадобностью, и остаток, который и используется в качестве контрольной суммы. Расчет закончен. Как правило, контрольная сумма добавляется к сообщению и вместе с ним передается по каналам связи. В нашем случае будет передано следующее сообщение: 11010110111110 На другом конце канала приемник может сделать одно из равноценных действий: 1. Выделить текст собственно сообщения, вычислить для него контрольную сумму (не забыв при этом дополнить сообщение W битами), и сравнить ее с переданной. 2. Вычислить контрольную сумму для всего переданного сообщения (без добавления нулей), и посмотреть, получится ли в результате нулевой остаток. Оба эти варианта совершенно равноправны. Таким образом, при вычислении CRC необходимо выполнить следующие действия: 1. Выбрать степень полинома W и полином G (степени W). 2. Добавить к сообщению W нулевых битов. Назовем полученную строку M'. 3. Поделим M' на G с использованием правил CRC арифметики. Полученный остаток и будет контрольной суммой. Надо отметить, что переданное сообщение T является произведением полинома. Чтобы понять это, обратите внимание, что 1) последние W бит сообщения - это остаток от деления дополненного нулями исходного сообщения на выбранный полином, и 2) сложение равносильно вычитанию, поэтому прибавление остатка дополняет значение сообщения до следующего полного произведения. Теперь смотрите, если сообщение при передаче было повреждено, то получим со общение T E, где E - это вектор ошибки, а ' ' - это CRC сложение (или операция XOR). Получив сообщение, приемник делит T E на G. Так как T mod G = 0, (T E) mod G = E mod G. Следовательно, качество полинома, который выбираем для перехвата некоторых определенных видов ошибок, будет определяться набором произведений G, так как в случае, когда E также является произведением G, такая ошибка выявлена не будет. Следовательно, наша задача состоит в том, чтобы найти такие классы G, произведения которых будут как можно меньше похожи на шумы в канале передачи (которые и вызывают повреждение сообщения). Рассмотрим, какие типы шумов в канале передачи можем ожидать. Однобитовые ошибки. Ошибка такого рода означает, что E=1000...0000. Можем гарантировать, что ошибки этого класса всегда будет распознаны при условии, что в G по крайней мере 2 бита установлены в "1". Любое произведение G может быть сконструировано операциями сдвига и сложения, и, в тоже время, невозможно получить значение с 1 единичным битом сдвигая и складывая величину, имеющую более 1 единичного бита, так как в результате всегда будет присутствовать по крайней мере 2 бита. Двух битовые ошибки. Для обнаружения любых ошибок вида 100...000100...000 (то есть когда E содержит по крайней мере 2 единичных бита) необходимо выбрать такое G, которые бы не имело множителей 11, 101, 1001, 10001, и так далее. Такие полиномы должны существовать - полином с единичными битами в позициях 15, 14 и 1, который не может быть делителем ни одно числа меньше 1...1, где «...» 32767 нулей. Ошибки с нечетным количеством бит. Может перехватить любые повреждения, когда E имеет нечетное число бит, выбрав полином G таким, чтобы он имел четное количество бит. 1) CRC умножение является простой операцией XOR постоянного регистрового значения с различными смещениями; 2) XOR - это всего-навсего операция переключения битов; и 3) если применяется в регистре операция XOR к величине с четным числом битов, четность количества единичные битов в регистре останется неизменной. На пример, начнем с E=111 и попытаемся сбросить все 3 бита в "0" последовательным выполнением операции XOR с величиной 11 и одним из 2 вариантов сдвигов (то есть, "E=E XOR 011" и "E=E XOR 110"). Это аналогично задаче о перевертывании стаканов, когда за одно действие можно перевернуть одновременно любые два стакана. Большинство популярных CRC полиномов содержат четное количество единичных битов. Пакетные ошибки. Пакетная ошибка выглядит как E=000...000111...11110000...00, то есть E состоит из нулей за исключением группы единиц где то в середине. Эту величину можно преобразовать в E=(10000...00)(1111111...111), где имеется z нулей в левой части и n единиц в правой. Для выявления этих ошибок необходимо установить младший бит G в 1. При этом необходимо, чтобы левая часть не была множителем G. При этом всегда, пока G шире правой части, ошибка всегда будет распознана. Вот несколько популярных полиномов: 16 битные: (16,12,5,0) [стандарт «X25»] (16,15,2,0) ["CRC 16"] 32 битные: (32,26,23,22,16,12,11,10,8,7,5,4,2,1,0) [Ethernet] 1.3 Код Хэмминга Предположим, что слово состоит из m битов данных, к которым прибавляем г дополнительных битов (контрольных разрядов). Пусть общая длина слова будет n (то есть n-m+г). п-битную единицу, содержащую m битов данных и г контрольных разрядов, часто называют кодированным словом. Для любых двух кодированных слов, например 10001001 и 10110001, можно определить, сколько соответствующих битов в них различается. В данном примере таких бита три. Чтобы определить количество различающихся битов, нужно над двумя кодированными словами произвести логическую операцию ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ и сосчитать число битов со значением 1 в полученном результате. Число битовых позиций, по которым различаются два слова, называется интервалом Хэмминга. Если интервал Хэмминга для двух слов равен d, это значит, что достаточно d битовых ошибок, чтобы превратить одно слово в другое. Например, интервал Хэмминга кодированных слов 11110001 и 00110000 равен 3, поскольку для превращения первого слова во второе достаточно 3 ошибок в битах. Память состоит из m-битных слов, и следовательно, существует 2m вариантов сочетания битов. Кодированные слова состоят из n битов, но из-за способа подсчета контрольных разрядов допустимы только 2т из 2" кодированных слов. Если в памяти обнаруживается недопустимое кодированное слово, компьютер знает, что произошла ошибка. При наличии алгоритма для подсчета контрольных разрядов можно составить полный список допустимых кодированных слов и из этого списка найти два слова, для которых интервал Хэмминга будет минимальным. Это интервал Хэмминга полного кода. Свойства проверки и исправления ошибок определенного кода зависят от его интервала Хэмминга. .Чтобы обнаружить d ошибок в битах, необходим код с интервалом d+1, поскольку d ошибок не могут изменить одно допустимое кодированное слово на другое допустимое кодированное слово. Соответственно, чтобы исправить d ошибок в битах, необходим код с интервалом 2d+l, поскольку в этом случае допустимые кодированные слова так сильно отличаются друг от друга, что даже если произойдет d изменений, изначальное кодированное слово будет ближе к ошибочному, чем любое другое кодированное слово, поэтому его без труда можно будет определить. В качестве простого примера кода с обнаружением ошибок рассмотрим код, в котором к данным присоединяется один бит четности. Бит четности выбирается таким образом, что число битов со значением 1 в кодированном слове четное (или нечетное). Интервал этого кода равен 2, поскольку любая ошибка в битах приводит к кодированному слову с неправильной четностью. Другими словами, достаточно двух ошибок в битах для перехода от одного допустимого кодированного слова к другому допустимому слову. Такой код может использоваться для обнаружения одиночных ошибок. Если из памяти считывается слово, содержащее неверную четность, поступает сигнал об ошибке. Программа не сможет продолжаться, но зато не будет неверных результатов. В качестве простого примера кода с исправлением ошибок рассмотрим код с четырьмя допустимыми кодированными словами: 0000000000, 0000011111, 1111100000 и 1111111111 Интервал этого кода равен 5. Это значит, что он может исправлять двойные ошибки. Если появляется кодированное слово 0000000111, компьютер знает, что изначальное слово должно быть 0000011111 (если произошло не более двух ошибок). При наличии трех ошибок, если, например, слово 0000000000 изменилось на 0000000111, этот метод недопустим. Представим, что хотим разработать код с m битами данных и г контрольных разрядов, который позволил бы исправлять все ошибки в битах. Каждое из 2r допустимых слов имеет n недопустимых кодированных слов, которые отличаются от допустимого одним битом. Они образуются инвертированием каждого из n битов в n-битном кодированном слове. Следовательно, каждое из 2r допустимых слов требует п+1 возможных сочетаний битов, приписываемых этому слову (п возможных ошибочных вариантов и один правильный). Поскольку общее число различных сочетаний битов равно 2n, то (n+l)2m<2n.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
|
