|
/b>где r есть вектор-столбец вычетов, p есть вектор-столбец полюсов, а k есть вектор-строка це-лой части дробно-рациональной функции. Рассмотрим передаточную функцию Для полиномов числителя и знаменателя этой функции имеем: b = [-4 8]; a = [1 6 8]. Введя [r, p, k] = residue(b, a) получим r = -12 8 p = -4 -2 k = [ ] Функция residue с тремя входными (r, p, и k) и двумя выходными (b2, a2) аргументами вы-полняет обратную функцию свертки имеющегося разложения на простые дроби, в дробно-рациональную функцию отношения двух полиномов. [b2, a2] = residue(r, p, k) b2 = -4 8 a2 = 1 6 8 т.е. из данных предыдущего примера мы восстановили исходную передаточную функцию. В случае кратных корней процедура несколько усложняется, но остается разрешимой. ИнтерполяцияИнтерполяция является процессом вычисления (оценки) промежуточных значений функций, которые находятся между известными или заданными точками. Она имеет важное приме-нение в таких областях как теория сигналов, обработка изображений и других. MATLAB обеспечивает ряд интерполяционных методик, которые позволяют находить компромисс ме-жду точностью представления интерполируемых данных и скоростью вычислений и исполь-зуемой памятью. |
Обзор функций интерполяции | | Функции | Описание | | griddata | Двумерная интерполяция на неравномерной сетке. | | griddata3 | Трехмерная интерполяция на неравномерной сетке. | | griddatan | Многомерная интерполяция (n >= 3). | | interp1 | Одномерная табличная интерполяция. | | interp2 | Двухмерная табличная интерполяция. | | interp3 | Трехмерная табличная интерполяция. | | interpft | Одномерная интерполяция с использованием быстрого преобразования Фурье. | | interpn | Многомерная табличная интерполяция. | | pchip | Кубическая интерполяция при помощи полинома Эрмита. | | spline | Интерполяция кубическим сплайном. | | |
Одномерная интерполяцияДвумя основными типами одномерной интерполяции в MATLAB-е являются полиномиаль-ная интерполяция и интерполяция на основе быстрого преобразования Фурье.1. Полиномиальная интерполяцияФункция interp1 осуществляет одномерную интерполяцию - важную операцию в области анализа данных и аппроксимации кривых. Эта функция использует полиномиальные методы, аппроксимируя имеющийся массив данных полиномиальными функциями и вычисляя соот-ветствующие функции на заданных (желаемых) точках. В наиболее общей форме эта функ-ция имеет видyi = interp1(x, y, xi, method)где y есть вектор, содержащий значения функции; x - вектор такой же длины, содержащий те точки (значения аргумента), в которых заданы значения y; вектор xi содержит те точки, в ко-торых мы хотим найти значения вектора y путем интерполяции; method - дополнительная строка, задающая метод интерполяции. Имеются следующие возможности для выбора мето-да: * Ступенчатая интерполяция (method = 'nearest'). Этот метод приравнивает значение функ-ции в интерполируемой точке к ее значению в ближайшей существующей точке имеющихся данных. * Линейная интерполяция (method = 'linear'). Этот метод аппроксимирует функцию между любыми двумя существующими соседними значениями как линейную функцию, и возвр-ащает соответствующее значение для точки в xi (метод используется по умолчанию). * Интерполяция кубическими сплайнами (method = 'spline'). Этот метод аппроксимирует ин-терполируемую функцию между любыми двумя соседними значениями при помощи куби-ческих функций, и использует сплайны для осуществления интерполяции. * Кубическая интерполяция (method = 'pchip' или 'cubic'). Эти методы идентичны. Они ис-пользуют кусочную кубическую Эрмитову аппроксимацию и сохраняют монотонность и форму данных.Если какой-либо из элементов вектора xi находится вне интервала, заданного вектором x, то выбранный метод интерполяции используется также и для экстраполяции. Как альтернатива, функция yi = interp1(x, y, xi, method, extrapval) заменяет экстраполированные значения теми, которые заданы вектором extrapval. Для последнего часто используется нечисловое значение NaN.Все методы работают на неравномерной сетке значений вектора x .Рассмотрение скорости, требуемой памяти и гладкости методов. При выборе метода ин-терполяции всегда нужно помнить, что некоторые из них требуют большего объема памяти или выполняются быстрее, чем другие. Однако, вам может потребоваться использование лю-бого из этих методов, чтобы достичь нужной степени точности интерполяции (гладкости результатов). При этом нужно исходить из следующих критериев. * Метод ступенчатой аппроксимации является самым быстрым, однако он дает наихудшие результаты с точки зрения гладкости. * Линейная интерполяция использует больше памяти чем ступенчатая и требует несколько большего времени исполнения. В отличие от ступенчатой аппроксимации, результирующая функция является непрерывной, но ее наклон меняется в значениях исходной сетки (исход-ных данных). * Кубическая интерполяция сплайнами требует наибольшего времени исполнения, хотя тре-бует меньших объемов памяти чем кубическая интерполяция. Она дает самый гладкий ре-зультат из всех других методов, однако вы можете получить неожиданные результаты, если входные данные распределены неравномерно и некоторые точки слишком близки. * Кубическая интерполяция требует большей памяти и времени исполнения чем ступенчатая или линейная. Однако в данном случае как интерполируемые данные, так и их производные являются непрерывными.Относительные качественные характеристики всех перечисленных методов сохраняются и в случае двух- или многомерной интерполяции. 2. Интерполяция на основе быстрого преобразования Фурье _Функция interpft осуществляет одномерную интерполяцию с использованием быстрого пре-образование Фурье (FFT). Этот метод вычисляет преобразование Фурье от вектора, который содержит значения периодической функции. Затем вычисляется обратное преобразование Фурье с использованием большего числа точек. Функция записывается в формеy = interpft(x, n)где x есть вектор, содержащий дискретные значения периодической функции, заданной на равномерной сетке, а n - число равномерно распределенных точек, в которых нужно оценить значения интерполируемой функции.Двумерная интерполяцияФункция interp2 осуществляет двумерную интерполяцию - важную операцию при обработке изображений и графического представления данных. В наиболее общей форме эта команда имеет видZI = interp2(X, Y, Z, XI, YI, method)где Z есть прямоугольный массив, содержащий значения двумерной функции; X и Y являют-ся массивами одинаковых размеров, содержащие точки в которых заданы значения двумер-ной функции; XI и YI есть матрицы, содержащие точки интерполяции (то есть промежуточ-ные точки, в которых нужно вычислить значения функции); method - строка, определяющая метод интерполяции. В случае двумерной интерполяции возможны три различных метода: * Ступенчатая интерполяция (method = 'nearest'). Этот метод дает кусочно-постоянную поверхность на области значений. Значение функции в интерполируемой точке равно значе-нию функции в ближайшей заданной точке. * Билинейная интерполяция (method = 'linear'). Метод обеспечивает аппроксимацию данных при помощи билинейной поверхности (плоскости) на множестве заданных значений двумер-ной функции. Значение в точке интерполяции является комбинацией значений четырех бли-жайших точек. Данный метод можно считать «кусочно-билинейным»; он быстрее и требует меньше памяти, чем бикубическая интерполяция. * Бикубическая интерполяция (method = 'cubic'). Данный метод аппроксимирует поверх-ность при помощи бикубических поверхностей. Значение в точке интерполяции является комбинацией значений в шестнадцати ближайших точках. Метод обеспечивает значительно более гладкую поверхность по сравнению с билинейной интерполяцией. Это может быть ключевым преимуществом в приложениях типа обработки изображений. Особенно эффек-тивным данный метод является в ситуациях, когда требуется непрерывность как интерполи-руемых данных, так и их производных. Все эти методы требуют, чтобы X и Y были монотонными, то есть или всегда возрастающи-ми или всегда убывающими от точки к точке. Эти матрицы следует сформировать с исполь-зованием функции meshgrid, или же, в противном случае, нужно убедиться, что «схема» то-чек имитирует сетку, полученную функцией meshgrid. Перед интерполяцией, каждый из указанных методов автоматически отображает входные данные в равномерно распреде-ленную сетку. Если X и Y уже распределены равномерно, вы можете ускорить вычисления добавляя звездочку к строке метода, например, '*cubic'.Сравнение методов интерполяцииПриведенный ниже пример сравнивает методы двумерной интерполяции в случае матрицы данных размера 7х7. 1. Сформируем функцию peaks на «грубой» сетке (с единичным шагом). [x, y] = meshgrid(-3 : 1 : 3); z = peaks(x,y); surf(x,y,z) где функция meshgrid(-3:1:3) задает сетку на плоскости x и y в виде двумерных массивов размера 7х7; функция peaks(x,y) является двумерной функцией, используемой в MATLAB-е в качестве стандартных примеров, а surf(x,y,z) строит окрашенную параметрическую повер-хность. Соответствующий график показан ниже. 2. Создадим теперь более мелкую сетку для интерполяции (с шагом 0.25). [xi,yi] = meshgrid(-3:0.25:3); 3. Осуществим интерполяция перечисленными выше методами. zi1 = interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest'); zi2 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bilinear'); zi3 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bicubic'); Сравним графики поверхностей для различных методов интерполяции. surf(xi,yi,zi1) surf(xi,yi,zi2) surf(xi,yi,zi3) Метод `nearest' Метод `bilinear' Метод `bicubic' Интересно также сравнить линии уровней данных поверхностей, построенных при помощи специальной функции contour.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28
|
