|
|
| Диплом: К решению нелинейных вариационных задач |
26
Минимальное значение функция принимает в точке A<i(4;l),
iW=0. , , -
I: г^с^ i = i( e)- zfe;o) =-^
II: ^а^ г ^ ^fe; - ^" ; глобальный /^wc г = гЛ?; ^)^/c)^2S.
ПримерЗ
Найти максимум и минимум значения функции i ~- Vf
при ограничениях: ( Xr- 3Q. ^^
\ зе^^^-S , ^ ?^ ^г^)
(^ У, ^ Ч, Жг ^6'
Решение:
В этом случае (рис.4) область допустимых решений не является выпуклой и состоит
из двух отдельных частей, fnin. 2= i (^(-/;^)) =
i(L(^^))-=^y I. ^лх i-- i (^ r-^;6'J; -~ ^/9
II.
Точка М (7;4/7) - есть точка глобального максимума
Н
Общая задача математического программирования формулируется следующим
образом:
\f1 f \ найти вектор: л С ^ / ^у
координаты которой удовлетворяет системе ограничений: д
^(^,.,^=^, ^'^/2,...,,С ^ (Х,,...,^]'=^, i^^f,...,n-
Н и доставляющий экстремум __ ^ э. функции i^ f('x^..., х^).
1 ^ ^ 7^
Рис.4
В настоящее время (начиная с 1950-х годов), бурно развиваются методы решения
задач математического программирования с привлечением современной
вычислительной техники.
27
II. О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
2.1. Понятие о краевых задачах
К краевым задачам дифференциальных уравнений сводятся большинство
естественно-технических проблем, которые возникают при составлении
математических моделей реальных процессов. Здесь Приводятся лишь основные
понятия о краевой задаче (на примере двухточечной задачи) и об основных методах
решения. Задача
Найти решение дифференциального уравнения Ц = х. в области о^ ос
^ / при граничных условиях ^fo)=o^^)= -f Решение:
^ Интегрируя уравнение У = х- получим общее решение -У = ^-^ ^ х-^С^
^
а удовлетворяя граничным условиям, получим систему: с} = о Со + С, -о^ Q = о ('с^=о • /t I . •••» ) , |
(Ч(с)=0 [0-Ц\Л^ t/6
Тогда решение задачи будет; У= ^^ ^ •% х-
Геометрический смысл задачи приведен на рисунке 1
Обобщение:
Рассмотрим простейшую двухточечную задачу:
Найти функцию iy= Ц (^), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
второго порядка и "^ -f(v, у, у '} ц .\ (2.1) и краевым
условиям: у(а-)^ А , ^(ё)-= В.
Геометрически это означает,
что требуется найти интегральную кривую уравнения (2.1),
проходящую через две данные
точки: М (л,А)^(^ Ь)
(см.рис. 2). На предыдущем примере мы видели, что решение
краевой задачи на последнем
этапе свелось к решению систем
уравнений. А при этом может
возникать три случая:
1) Существует множество решений;
'2) Существует единственное решение;
3) Нет решений.
28
Различные случаи решений и постановки краевых условий приведем в следующем
пункте 2.2.
2.2. Примеры .аналитического решения краевых задач
I. Пусть дано дифференциальное уравнение у '•=• - ^у и краевые условия:
а)Г^о)-(9 Q)^(o)^o вГ^^^
\^W^l Ц^П)=0 1у^2
Найдем общее решение уравнения U "i- ^и-^ с> .Ее
характеристическое уравнение будет: ^^ ^-^0 и />^ = ± 2с .
Поэтому :
у^ Cf сс>5 ^ус + gl s^n. S. за. . общее решение.
a) r^fo)=o (C}-cc5^ o^Ci-^nSO^O \и[^}^1 " \_Cf-cv^-e/^^C,L-^S-8/^S.
"7= ri / s'.^ о - единственное решение (см.рис.3).
б)С^с^о C^-co^-o^ C^-s^tS.o^o г е^о
[§Un]^o ^iCf-c^^c/l^ Gi- ^^-71-- о ^iCt-о^о
отсюда: С{ = о, С д. - любое число, поэтому множество
решений будет и = Сл • •sin <3-^ (см.рис.4) - синусоиды с
амплитудой Сл, .
ru^o)=o f(V- Ccss-o^- (^-^ S-o =.о (С(-С> l^W^2. ^
i^-cps^n ^ Q-5-.A-^ = 2. ^ i^ = %nS^^
II. Решить уравнение ^ - 5^ - <,У
^"/оМ, ^+00^=0.
Решая характеристическое уравнение г: 'г- -5г - 4" •= ^> ,
получим: ii =<', ^ = -У . Тогда общее решение будет:
у^б^-к^е^ , у^ ^-^-е^- ^в^. Удовлетворяя краевым условиям:
( !/'(с)^ ^•0-е^й.е-0^
^-f^--^ ''/^ ^-г^-О^^о
[it-7 0й 1»-7ОТ
Второе условие выполняется только при С-/ ^ о . Тогда из первого
условия получим <• •0 Q c>~ Сл--{ = ^ -т- <^-= - ^
•— Ti*
Итак решение задачи будет: у = - ^ е (рис.5).
Рис.5
Ш. Решить дифференциальное уравнение: у ~У0 граничных условиях: С и Со) ^ 5
ti^)-yY^r
Общее решение будет Краевые условия дают:
fc<^e»=3
\С^ Oe'-^e^/
Решение будет ^^ f-f- He - единственное решение. Очевидно, для
решения краевой задачи основной трудностью является нахождение общего решения
дифференциального уравнения. Поэтому рассмотрим приближенные методы решений.
2.3. Приближенный метод решения краевых задач. Конечно-разностный алгоритм
Решение краевой задачи методом конечных разностей несколько сложнее по
сравнению с задачей Коши для того же дифференциального уравнения.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с краевыми условиями:
^\p(^^^-,H^^(a)^,y(S)^. (1)
Разобьем основной отрезок [ л ; о ] на /г равных частей длины
^= ^-о-. Точки разбиения имеет абсциссы:
/г' f р '
Ху^ О,, .ЗС^ЭСЬ^Л., :32п.=й? , <.^0^,..-,г^.
Введем обозначения: ^ (^)^У<-, У (^)^^^ / ^^'')=^"^ .
р(^)^р^ ^С^)-у^ т^^-.
Заменяем производные конечно-разностными соотношениями:
и'- ^^- </- ^-^- '/- У--;^-'
Уо " ~^^ ^ ^ - «^^ , •У^ - ——^——— , ,^ (^-^ -^21)/, ^ ^-2^^^
У. - V ^ 7—//^ J^
Тогда задача (1) сводится к решению системы из ^ - f линейных
уравнений с /г.-/ неизвестными Чг :
(^ - ^-У^)/^ -+- Р. (^ -^)/2k ^^ - ^ ,
^--^ , ^^- (2)
Эту систему представим в виде:
-^ ^ 0-^г - •С.^ = S^ ^ Q, = (^~2k^)/ (. ,
tc -~ (^p^)/L , S. --^. h/i^ £ ^-^/).
(2')
Система (2') имеет трехдиагональную расширенную матрицу:
/-й^ -У, О О .--;... О f^-^/
- ^ а^ - ^ о •... \ ... о i &
О - / Дд - ^ ...-;.. ^ О i &
\ о о о о "^ ^-< ^^ 1 ^"-<
31
~t< О О Сл - Га. О О Сз -t3 |
(3')
где с/= а^ с, = а^ - ^-i-, А^-^л ^ = & + "^"г"
Тогда алгоритм решения системы (2) представим в виде алгоритма:
1. {,-- 2-Lp^ I, =<?-^; ft/ - ^^)/i,, О. = ^-^^/^,
i^^+kp,)/^, ^--(^^p.)/^; ^^-^4^ ^=-^^//.;
(4)
2. e/--ft<, с^о,- -1^ ^=^,
з: ^-< -. f<a<,^ -^ г:л-г ^) /с^ ;
У^ = (о1^ ^ ^^ ^+,^)/Сп-г > ^ ^ ^ з/..., о-i.
Алгоритм называется корректным, если все действия в нем выполнены, т.е. ^
^о, U i-0 / G.f =<?, CiTt-o . Устойчивость
алгоритма обуславливается выполнением условия ; Уп-ч, = •с^Н/^/-'1
^ '^/Сп-^ , |^>-(;/Ся-<: I ^ ^ . Нетрудно видеть, если исходное
уравнение (1) нелинейное, то система типа (2) также будет нелинейной, а
алгоритмы типа (4) составить невозможно.
^ .- Рассмотрим примеры решения краевых задач для дифференциаль-'HbDF'BTOporo
порядка с переменными коэффициентами, где как правило аналитических решений
не существует.
Пример!.
Дана краевая задача: i/"^- 2^ ^ ^и--= s^ft эс. Ч'(о)=- О, ^ ('/) '= 3
. Результаты вычисления этой задачи по алгоритму (4) получим в виде
таблично заданной функции.
| 5СГ | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0.7 | 0,8 | 0,9 | 1 | {^ | 0 | | 0,79 | | 1,59 | | 2,32 | | 2,94 | | 3 | | ^ | о | 0,38 | 0,76 | 1,13 | 1,49 | 1,82 | 2,13 | 2,41 | 2,65 | 2,85 | 3 |
32
III. ПОНЯТИЕ ОБ ОДНОМЕРНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ
Исходя из общего закона сохранения энергии многие физические задачи при
адекватном построении их математических моделей сводятся к вариационным
задачам. Вариационное исчисление занимается задачей отыскания наибольших и
наименьших значений функционалов.
3.1. Постановка простейшей задачи
Задача состоит в определении функции и •=. •? ('>-) ,
которая сообщает экстремальное значение некоторой величины У= ^У^у7 ,
т.е. функционала, ^г.
Предположим, что ^ J р ^ у. /) ^ ^
7<
^х'^^; ^^ (1)
где г (. эе/ у, ^/ - заданная функция, и а - заданные числа.
У^
Различным кривым ц : и [ ^е.) , проходящим через граничные точки С
эс<; ^ ) и (^л.', Уи.) , будут отвечать различные величины.
Определим такую функцию у ^ i/ С^) , для которой ^ i-
^'('^У'^ , т.е. функционал принимает максимальное или минимальное значение.
Далее будем рассматривать задачу только на минимальное значение
УГ^'(>)], т.е. будем искать такую функцию у= уЛ^ , чтобы было
Н^(^).] '- ^п- ^Су(^)] ^ Л3^ Х^Х^ . Например, для задачи
п^- JYy'^ ^х, ^о)--о, ум^ (&)
/ функции i/ =- х. , ol 6r [p, будут удовлетворять условиям :
ylo)^o, ^}--L
При этом .,
г / ^
У г,. ^ - Я U^) ^ ^)^. ^ ^ ^-. fU).
33
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
