Каталог Рефератов - Диплом: К решению нелинейных вариационных задач

	Информационно-образоательный портал
	Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,



МЕНЮ\|

поиск

Диплом: К решению нелинейных вариационных задач

задача свелась к нахождению минимума обычной функции -fW: n'J) - ^^°6 А__ /, \{^~~^^~ ~^^ ^0 - (^^)(^1)^-2-(2^-Y)^0 ^ U -г) (^3^ з^ ^ з^ + /) ^о -7 о^ = ^. Нетрудно показать, что при +{2) ^ /^-п г(0^/ ^ Итак, ь.^ -УГ^-^^,-^0^ ^^> ^ З"; решение задачи будет: и=- ое^' Рассмотрим семейство кривых (см.рис.8):

Диплом: К решению нелинейных вариационных задач

у f^ jc^ = y^ + с/. ^ ^ , где ^ ^ -произвольная функция, но ц (зе^)^ И (v.s.}~-C> (см .рис. 9). '.( - i A Тогда при малых об для кривых L/(o[^oc,) интеграл (1) будет принимать значения близкие к минимальному и зависит от параметра^: .Vi (з) Если мы предположим, что функция у^ доставляет минимум J^v, то необходимое условие минимума будет: ^/, oL-JW ^^ ^ Продифференцируем (3) по Л:

Диплом: К решению нелинейных вариационных задач

dl. ? d^d-r,- Тг C)F •^ ^ эр •^7,/ ~си ~ J ^г^-J l &r й-+ у cSrJ^ ~- я< yf q v ~- t^rt^rt'^- 34 Имеем: .Г;. ^ JVt>^- i^^ Л'« JC< -ха /2г - Fn' • v ^ - ( ^ Поэтому: ^ - ( Г F' ^ F' 7 и/ )У ^^-J Lf^^^J^)^- л/ -h^ri.-^^^o ®. 'VI. / ® Законность перехода —-^ обуславливает следующая основная лемма вариационного исчисления: Если Ф(^) , ^) непрерывны на JZ У<; % 7 и^Н^-^ то из У J^?^^A^--^

вытекает, что ^(ус) = <9 при ^ ^ у ^ СР^ . 35

В нашем случае: р^у^ч- ^и , pi,/ -- ^у , поэтому и получим с. _ сл . с,/ = О ^ ^ - -^г (о-^')^

и"^ л. ^у'^^х+^ , ц^ л^е^^-с^ ;

уо).о^Го^^^^ , ^-^=о ^(<)=.t Z^^ ^ + ^=3

отсюда у = ^ - решение. Таким образом, наше решение совпадает с решением полученном из самого определения минимума функционала. Следует подчеркнуть, что решение краевой задачи (5) не является тривиальным и разработка методов решения вариационной задачи (1) весьма актуальна.

Доказательство (от противного). _ _ Пусть ^(^^О ^ ^(^)7У>0 при Л^^ж^з^ ПОЛОЖИМ ({X.- Зй)^^- Хг) ^ "Р" Зс/^ Зе^. Д^ ^ (9С-) = ^ о при Xf ^ зе^- ДС,,, L у 5с-^ 5с ^ ^. —t. Тогда по свойству интегралов [ g>^L [^olx. >0 У.-1 вопреки допущению. Значит ^Р ( ^,) = О. Итак, мы пришли к следующему утверждению: задача (1) эквивалентна краевой задаче: ^'-^ /У= ° ' ^)^ ^)^ , . (5) Дифференциальное уравнение /•?/ - ^' F^' ~ u носит название Эйлера-Лангранжа. Решим пример (2), сводя к краевой задаче (5). ,ii . //// t:' - о,/^ Примеры аналитического решения вариационных задач f!/l 1) ^ у. / Су-\у' -7^ - о. ^о)= о. ^W- i - Составим уравнение Эйлера-Лангранжа: ~^-^'^-°- -^~У-° - ^-/ - и^^и^О ^ Lf ^ C^-w эе^ gl ^ ^; ffo )= О СО, • c^-s 0+ ^ -Л fi о = О Г ^ _ ^№)^ " lc. ш^^(^-^%^1 ^ 1 e^i Ответ: (у -. St-^i X. 2) ^;'- J ^^ •^/г J^ ^ у^'^' ^ ^;= 6) ^ - (F^L -о ^ ^"^6^ ^^"^б^-о ->

/ • \ t -7->-^~'

^=о - t ^-о 'Lс^^^

и-.- х-^+Сгзс-t- G. ; {^(^)^ (-f-C^C^-f \_^(о):о л- L а-о Ответ: и = -х3 3) ^у- / (^у-^^ ^^ ^•^--^• ^-^')^о - ' ^^^-.^--^^.^^ f^)^ ГС^ . , , Г^г - [с^^ ' cf-^^ Ответ: Ут^1^^, -f 4) ^У" J (^-^^)d^, ^(^)--^ ^(^)--^ ^^v^0 ^ ^^-2Э=^- ^-^-^^^^^ ; ^f-/)=^ ^' ^^-^= ^ ^-i ^[^/6 ^^^^ " ^ - % р - /-^ и ^ о Ответ: У^ - ^Уе -* % л 5) о . ^TyJ 'J (У-i'^Jc/x ; ^-i)--0,y[o)-Z . fy - (Fy'J^O ^ y'^x^o ^ a—^/e-'-^Kft't ; r и(-i)^o f^ _ с, +U ^о i^^ 'с . о^ -7 Г^ - ^/6 Lu ' ^ Ответ: ^ -»%+ ^^^ б) dC^-- j "А (у' ^у/А / ^= /, ^/^Д Г^/г ^- ^^ - -^^-^^ ^ (^ й^-г ^-^ С( • ^/г X. ; ^[о)-- у ^f^- CUS^^O •^•/г6?- ^ ^)-% ^ L^- ^^-^-^ ft-^, C^~-o Ответ 1/' - (^^" % 7) ^ У - ] if . 4у^^ , yfo)-e i, ^ /.

Диплом: К решению нелинейных вариационных задач

Уравнение Эйлера-Лангранжа: ^/,и^о^ fy^^y ^y^^e^^Qe е^ f^e^e^^ Г^-^ 38 2(f-^ Ответ: ^ е щ 8) ^у= / ^--^^ , ^о)-^(^)-0 Л/ - f^^ = о ^ с/ ^У^ 0 •=> у= ^ ^J ^ ^ ^/1- ^ 7 С и{о)^ о . С С^- cpso 1- ^-^по-^о i ч (^ )^о ^ I ^ • с^злП^ G • si^s. /7= о С ') Р L { = и '> (- д. _ произвольное Ответ: и ^ d ^п. х- - множество решений. 39 3.2. Метод Эйлера в вариационной задаче Основоположником конечно-разностного метода в вариационном исчислении является Леонард Эйлер. Однако, в связи с громоздкими вычислениями, которые требует данный метод, до изобретения ЭВМ он не получил широкого применения. Лишь компьютерная революция в математике способствовала широкому внедрению метода Эйлера, и в настоящее время разные модификации его получили распространение в прикладной математике. Пусть дана простейшая вариационная задача: найти экстремум функционала ^

(1)

^£^)] - jf f^y,^)^ yf^)-^. ^/(^)-у^. т.е. здесь надо найти такую кривую у С^) -, чтобы ^п: ^Г^;7= yCyW3 . По методу Эйлера разобьем интервал Гль^З на П. частей точками (см.рис. II): , ^ з^-^ Л^^ ЛЬ-^^ , ^= <2,..., гъ ^ h- ~ ^ Необходимо найти ординаты у/,.. -, 4)- < соответствующие точкам х'/ i' / --"-/, .,. , J^.n.-< • Таким образом, искомую' функцию ^(^-} ищем в табличной форме:

ое

До

'-<?«.- -f

<--<,ц,

1 ' 1

uf^\~ ^l(^)-^) ^^^ У 1 / ——И——— " ~И—— '

(2)

интеграл (1) заменим суммой: Зчт. п-f ^1^']р(^')^^Г(л^, ^^).L -- — лл t ^ J J - Ф^-^-J 40 Ординаты У/, ..., j//i-/ выбирают так, чтобы функция 9? (у^ •, ^-/ У достигла экстремума ( как функция л---/ переменных У-/,-•• ^-•r ), т.е. находятся из условия:

9(р - о - ' ^^ - О . ^ ' •" ; ^ ""

б)^ ^0 ;

(3)

/ ^Р ( Ъ^

В целях достижения достаточной точности число /I							берут до-
вольно большим. При этом приходится решать систему типа							(3)с n-f
неизвестными, т.е. высокого порядка.
^
•i1	\
				^	.'^/
	Ч--	'л	г г -			^-	I/t•
	-X'o 3-i ЗСд, Эе,- Jc't'+i' ^ , Рис. 11						Гк Я1.

Пример. Найти приближенное решение задачи о минимуме функционала ^ ^J-J^+^b^^e, ^(oY--^^)--O 0 f /,<9 Решение. Возьмем Л = ~~s~ ^ °/^ и положим ^-^о)-0 ; ^^(^2); ^-^(О^), ^-^°^ ^--Ц1°^^ ^-:^~-0• Значения производных приближенно заменим по формуле ^•-^'(v^)к ^^ ^- Тогда 41

^-^

о.г

t/ у/п /'} - ^-^

; У^б

; ^^Л -^2- ,7 - I -/ - ^ . ^ ^ Данный интеграл заменяем суммой по формуле прямоугольников "S-f^d^ ^ с ^o.}+^)^^^^)']-k

Будем иметь а-

Будем иметьа'

щ-w'.) <^-/^ (о^ ^•°)^ (W^y^- ^

-. (^)^^S.^ . (^L)^^ ^-^ ^

(W^^^^-0^

Будем иметь а- -+ Составляем систему уравнений для определения ^ ^ ^ /Л, искомой ломаной: ^н^' 2(^'OJ•/ ^ -^^^^"^^'^^ ^^0 ^ '-[(^•д ^^/ +^•г^^X^+ ^.г.^ •^ -о •^гГ^•г^-^/+^^-м^+^^' ^L7г=o. ^-f^'^-^-^^'^^^'^^ ^ <7 \ у ( ^л^. и^л- •9^-^---^

или

^^^^ "-^ -=~^о^ ^ -Ь ^,00^^ - ^ = -0,0^ - ^ -+ ^^ -^ , .о^ -^ + S,00i{^ = - ^0^!L ^ у^^^т; ^--^w; у^о^^^. ^ о,^ш. ___т.е.________________________________________

Х	о	0,2	0,4	0,6	0,8	1
^	о	0,132	0,273	0,402	0,522	0

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5

© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.