в 2 раза, а боковую сторону уменьшить также в 2 раза?

- Площадь не изменится.

- Правильно. А если основание прямоугольника увеличить на 20%, а

боковую сторону уменьшить на 20%, изменится ли его площадь?

- Нет, не изменится.

Последний ответ школьника уже не верен. В самом деле, обозначив основание

прямоугольника через а, а боковую сторону через b, имеем: S

= a * b .

В соответствии с условием основание измененного прямоугольника а1 = а + 0.2а

и боковая сторона b1 = b – 0.2b. Тогда S1 = a1 * b1 = a(1 +

0.2) * b(1 – 0.2) = ab – 0.04ab.

Таким образом, площадь прямоугольника уменьшится в этом случае на 4%.

Однако следует помнить, что широкое применение аналогии в процессе обучения

математике является одним из эффективных приемов, способных пробудить у

учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности,

который называют исследовательским. Кроме того, широкое применение аналогии

дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного

материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы

знаний и умений от известного объекта к неизвестному (что, кстати говоря,

способствует также актуализации знаний).

Поэтому полезны и специально подобранные упражнения в применении метода

аналогии, такие, например, как: 1) верно ли утверждение: ”Если в треугольнике

все углы конгруэнтны, то и стороны конгруэнтны”? (сформулируйте аналогичное

предположение для шестиугольника. Верно ли оно?) или 2) справедливо ли

утверждение: “Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри (или на

стороне) правильного треугольника до его сторон, есть величина постоянная “?

Сформулируйте аналогичное предложение для какого либо многоугольника.

Проверьте, будет ли оно истинным.

Применение аналогии распадается на следующие действия: построение аналогов

различных заданных объектов и отношений; нахождение соответствующих элементов

в аналогичных предложениях; составление предложений или задач, аналогичным

данным; проведение рассуждений по аналогии.

Уже в младших классах второй ступени целесообразно подчеркивать аналогию

между некоторыми плоскими и пространственными фигурами. Например, между

прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом, между квадратом и кубом.

Аналогия между квадратом и кубом состоит в том, что у квадрата его измерения

равны и у куба его измерения равны. Учащиеся могут и сами догадаться, что

грани куба – равные квадраты, все стороны квадрата – равные отрезки.

При знакомстве с понятиями площадь и объем можно

установить аналогию между единицами длины и единицами площади, между единицами

объема и единицами площади. Одновременно следует обратить внимание на сходство

в формулировках определений понятий. Например, повторив с учащимися понятие

квадратный сантиметр (квадратный сантиметр – это площадь

квадрата со стороной 1 см), можно попросить самостоятельно дать определение

понятию кубический сантиметр.

Учащиеся иногда затрудняются быстро и правильно ответить на вопросы типа: “

Сколько квадратных сантиметров в 1 дм2? Сколько кубических

сантиметров в 1 дм3?” Устранению таких трудностей способствует

иллюстрация сходства между операциями перехода от линейной единицы измерения к

квадратной или кубической. В обоих случаях вычисляется произведение одинаковых

множителей, причем число множителей в произведении равно показателю при единице

измерения: 1 дм2 = 10 * 10 см2, 1 дм3 = 10 *

10 * 10 см3.

Формировать умение составлять предложение, аналогичное данному, можно при

изучении признаков делимости. Рассмотрев с учащимися признак делимости,

например, на 3, следует предложить им самим сформулировать признак делимости

на 9. Ниже приведены те предложения, которые давал учитель ((1) – (4)), и те,

что формулировали учащиеся по аналогии ((1*) – (4*)).

(1) На 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

(2) На 5 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра 0

или 5.

(3) Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

(4) На 4 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют

число, делящееся на 4.

(1*) На 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

(2*) На 25 делятся те и только те числа, в записи которых две последние цифры

нули или образуют число, делящееся на 25.

(3*) Число делится на 8, если оно делится на 2 и 4.

(4*) На 8 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют

число, делящееся на 8.

Следует провести сравнение предложений. Одновременно необходимо подчеркнуть, что

если данные высказывания (1) – (4) истинны, то необязательно окажутся истинными

высказывания, полученные из данных по аналогии. Учащиеся должны знать, что для

установления ложности какого – либо утверждения достаточно привести хотя бы

один пример, опровергающий его. Так, высказывания (3*) и (4*) являются ложными:

12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8; 100 и 164 не делятся на 8. Теперь

важно показать, что 4 можно представить в виде произведения двух

одинаковых множителей (4 = 2 * 2), а 8 – в виде произведения трех

одинаковых множителей (8 = 2 * 2 * 2). Установив такое различие, учащиеся могут

заметить, что в утверждении (4) рассматриваются такие числа, у которых

количество последних цифр – нулей равно числу простых множителей в разложении

числа 4. Это наблюдение поможет сформулировать истинное утверждение вместо

(4*): на 8 делятся те числа, у которых три последние цифры нули или

образуют число, делящееся на 8.

При изучении темы «Сложение десятичных дробей» метод аналогии можно

использовать для того, чтобы подвести учащихся к формулировке правила

сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение

натуральных чисел и сложение десятичных дробей (так, как это показано в табл.

1).

Таблица 1

Натуральные числа 949 + 835 Подписываем слагаемые одно под слагаемых находились друг под другом. 949 + 835 1784 Выполняем сложение поразрядно,

Десятичные дроби 95.37 + 101.4 другим так, чтобы одинаковые разряды 95.35 + 101.40 196.75 Так как число 101.4 не имеет сотых долей, то вместо сотых ставим 0. начиная с единиц низшего разряда.

Мы уже говорили о том, что умозаключения по аналогии могут приводить как к

верным заключениям, так и к ошибочным; это часто является источником неверных

действий учащихся. Упрочнению их способствует обычно и формальное усвоение

материала. Особенно много таких ошибок учащиеся допускают в курсе алгебры.

Поэтому полезно сравнивать верные соотношения с неверными, например:

5 * 3 = 3 * 5, но 53≠ 35; √5а2 =

√5 * √а2, но √5 + а2 ≠ √5

+ √а2;

а * с ./ в * с = а / в, но а + с / в + с ≠ а / в (с ≠ 0).

Доказательство того, что равенство нарушается, проще всего провести,

подставив вместо букв числа и проведя нужные вычисления.

Богатым материалом для обучения приему аналогии располагает геометрия. В

начале изучения курса геометрии основное внимание следует уделить выделению

соответствующих элементов из аналогичных задач и теорем. Например, рассмотрим

две пары задач из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6 –10» (М.,

1985).

Докажите, что у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны (§3, №20 (1)). Докажите равенство треугольника по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (§3, №38).

Докажите, что у равнобедренного треугольника медианы, проведенные из вершин при основании, равны (§3, №20 (2)). Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника (§3, №40).

Для биссектрисы в задаче №20(1) соответственным элементам в задаче

№20(2) является медиана. В задачах второй пары соответственными

элементами оказались:

Две стороны, исходящие из одной вершины (№38), - два угла, на которые

медиана разбивает угол треугольника (№40). Указанные задачи полезно решить

непосредственно друг за другом, оформляя решение «параллельно», т. е. с левой

стороны одно решение, с правой – другое. Разобрав решения, следует подчеркнуть,

что каждый шаг одного из них можно перенести в другое, применив его к

соответственным элементам.

Умение применять аналогию нужно поддерживать от класса к классу, пользуясь

любыми возможностями. Так, при решении задачи об углах при основании

равнобедренной трапеции следует вскрыть ее свойство с теоремой об углах при

основании равнобедренного треугольника. Полезно записать «параллельно» оба

доказательства так, как это показано в табл. 2.

Таблица 2

Теорема 3 из §3 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство: 1) Пусть АВС – равнобедренный треугольник (АС=СВ). Из вершины С проведем высоту СД. 2) ∆АСД=∆ВСД по катету и гипотенузе (СД – общая, АС=СВ по условию). Отсюда ÐА=ÐВ.

Задача 53 из § 6 Доказать, что углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны. Доказательство: 1) Пусть АВСД – равнобокая трапеция (АД=СВ). Из вершин Д и С проведем высоты ДЕ и СF. 2) ∆АДЕ=∆ВСF по катету и гипотенузе (ДЕ=СF, так как АВ║СД; АД=СВ по условию). Отсюда ÐА=ÐВ и ÐАДЕ=ÐВСF; ÐАДС=ÐАДЕ + 90, отсюда следует, что Ð0ДСВ=ÐВСF + 90 ÐАДС=ÐДСВ

Задачи, аналогичные данным, учащиеся могут составлять самостоятельно и решать

их.

Приведем краткий список аналогичных задач на построение из учебного пособия

А. В. Погорелова «Геометрия 6 – 10» (1985)

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне (§5,№ 27). Постройте параллелограмм по стороне и двум диагоналям (§6, №19(2)). Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (§5, № 41).

Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону (§5, №31). Постройте трапецию по основаниям и диагоналям (§6,№ 66). Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон (§5, № 42).

В табл. 3 даны решения двух задач на построение, на которых удобно

демонстрировать аналогию.

Таблица 3

Постройте трапецию по диагона- Постройте параллелограмм

по диа-

лям , углу между ними и одному из гоналям и углу между

ними (§6, № 20(2)).

оснований.

А н а л и з

Предположим, что трапеция АВСД Предположим, что

параллелограмм

построена (см. рисунок). АВСД построен

(см. рисунок).

Р Д С

Д С

А В В1

А В В1

Попробуем построить сначала треугольник,

используя данные нашей задачи.

Через одну из вершин (С)

Трапеции

Параллелограмма

проведем прямую, параллельную диагонали ВД, до пересечения с продолжением

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5