высотой, равной m единиц.

Заметим, что аналогичную задачу можно рассмотреть и для конуса.

П р и м е р 6. Рассмотрим планиметрическую задачу:

“Имеются два треугольника с равными основаниями. Постройте треугольник,

равновеликий объединению данных треугольников”.

Р е ш е н и е.

S = ½ ah1 + ½ ah2 = ½ a(h1 + h2),

т. е. искомый треугольник должен иметь такое же основание, что и у исходных

треугольников, и его высота должна быть равна сумме высот исходных

треугольников.

Этой задаче в стереометрии есть аналог:

«Две пирамиды (конуса) с равными основаниями замените одной пирамидой

(конусом), равновеликой их объединению».

Р е ш е н и е.

V = 1/3 Sосн * H1 + 1/3 Sосн * H2 = 1/3 Sосн * (H1 + H2).

Таким образом, искомая пирамида (конус) должна иметь такое же основание, а ее

высота должна быть равна сумме высот исходных пирамид (конусов).

П р и м е р 7. В планиметрии на случай прямоугольного треугольника решается

задача:

«Пусть дан прямоугольный треугольник АВС: ÐС = 90°; СА = b, СВ = а, h -

высота треугольника, проведенная из вершины С. Доказать равенство

1/h2=1/a2+1/b2».

Это равенство может быть обобщено на случай тетраэдра:

«Если в тетраэдре АВСЕ ребра ЕА, ЕВ, ЕС перпендикулярны между собой и их

длины соответственно раны a, b, c и h – высота тетраэдра, проведенная из

вершины Е, то имеет место равенство:

1/h2=1/a2+1/b2+1/с2».

П р и м е р 8. В планиметрии рассматривается следующая задача на доказательство:

«Даны две параллельные прямые; на одной из них произвольно взят отрезок АВ, а

на другой - точка С. Докажите, что площадь треугольника АВС не зависит от

выбора точки С».

Для трехмерного пространства, где аналогом треугольника выступает тетраэдр,

эта задача будет формулироваться следующим образом:

Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них

произвольно выбран отрезок АВ, на двух прямых – точки С и Д соответственно.

Докажите, что объем тетраэдра АВСД не зависит от выбора точек С и Д».

В приведенных примерах параллельно формулировался плоскостной и аналогичный

ему пространственный факт. Но, как показывает практика, для развития

творческого развития учащихся, для формирования у них исследовательских

умений, в частности умения строить гипотезы и выдвигать предположения,

значительно полезнее предлагать школьникам самостоятельно формулировать, а

затем и решать для плоскостных фактов их пространственные аналоги. Причем

должны быть задачи как на прямое действие – переход от плоскости к

пространству, так и на обратное действие – переход от пространства к

плоскости. Ниже приведены задачи такого типа.

1. Сформулируйте на случай трехмерного пространства задачи, аналогичные

нижеследующим плоскостным задачам, и затем решите их.

1) Биссектрисы трех углов треугольника пересекаются в одной точке,

являющейся центром окружности, вписанной в треугольник.

2) Площадь круга равна площади треугольника, основание которого имеет ту

же длину, что и окружность, и высота которого равна радиусу.

3) Высота равнобедренного треугольника проходит через середину основания.

4) На сколько частей плоскость делится тремя прямыми?

5) Всякий выпуклый многоугольник можно разбить на треугольники.

2. Сформулируйте для треугольника задачи, аналогичные тем, которые

сформулированы ниже для тетраэдра. Решите каждую полученную пару задач.

1) На основании АВС треугольной пирамиды ОАВС взята точка М, и через нее

проведены прямые, параллельные ребрам ОА, ОВ, ОС и пересекающие боковые грани в

точках А1, В1, С1.

Докажите, что

МА1/OA+MВ1/OB+MС1/OC=1.

2) Докажите, что в трехгранном угле против плоских углов лежат равные

двухгранные, а против большого плоского угла лежит больший двухгранный угол.

3) Докажите, что существует сфера, проходящая через все вершины тетраэдра.

4) Каждое ребро треугольной пирамиды разделено на n равных частей. Через

полученные точки проведены всевозможные плоскости, параллельные граням

пирамиды. На сколько частей разделяют пирамиду эти плоскости?

5) Пусть О – вершина трехгранного угла, все плоские углы которого

прямые. Луч ОМ образует с ребрами этого угла острые углы a, b, d. Докажите,

что

tga + tgb + tgd ³ 2(ctga + ctgb + ctgd).

6) Сумма любых двух плоских углов трехгранного угла больше, чем третий

плоский угол. Докажите.

7) Какой из всех тетраэдров, вписанных в данную сферу, имеет наибольший

объем?

8) Даны длины a, b, c трех ребер тетраэдра, проведенных из одной и той

же вершины. Найдите максимум объема тетраэдра.

9) Если точка перемещается в плоскости основания правильной треугольной

пирамиды и остается внутри этого основания, то сумма расстояний от этой точки

до боковых граней остается постоянной.

10) Объемы двух тетраэдров, имеющих общее ребро и равные двугранные углы,

при этом ребре, относятся, как произведения площадей граней, образующих этот

двугранный угол.

11) Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, параллельная

противоположной грани. Найти отношение объема образованного таким образом

нового тетраэдра к объему данного тетраэдра.

12) Через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная

противоположному ребру. Найдите отношение объема образованного таким образом

параллелепипеда к объему данного тетраэдра.

13) Найдите такую точку, которая, будучи соединена с вершинами данного

тетраэдра, делила бы его не четыре равных тетраэдра.

Подчеркивая важность работы, предложенной в двух последних заданиях, уместно

привести высказывание Д. Пойа о том, что если учащийся не имел ни одного

случая решить задачу, изобретенную им самим, то его математический опыт

нельзя считать полным.

АНАЛОГИЯ В ТЕОРЕМАХ О ПРЯМОЙ ЭЙЛЕРА, ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЕ

В данном пункте будет приведен пример совместного рассмотрения известных

теорем Эйлера, как на плоскости, так и в пространстве. Приведенные ниже

утверждения достаточно известны, а их доказательства можно прочитать,

например, в книгах И. Ф. Шарыгина «Задачи по геометрии» или В. В. Прасолова

«Задачи по планиметрии».

Будут использованы следующие определения:

Ортоцентр – точка пересечения высот (если она существует)

Ортоцентрический тетраэдр – тетраэдр, все высоты которого пересекаются в

одной точке. (Далее все рассматриваемые тетраэдры будут только такими и термин

ортоцентрический будет опущен.)

Центр масс (центроид) системы точек А1, А2, .,А

n – такая точка О, что ОА1+ ОА2 + . +ОАn

= 0.

Для большей наглядности приведем основные используемые понятия в виде таблицы.

Плоскость Треугольник, Центр масс – точка пересечения медиан, описанная окружность. Ортоцентр, центр масс и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. Серединный треугольник – треугольник с вершинами в серединах сторон (основаниях медиан), Ортотреугольник – треугольник с вершинами в основаниях высот. Для любого треугольника основания высот, основания медиан и середины отрезков прямых от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности – окружности девяти точек (окружности Эйлера). В частности, серединный треугольник и ортотреугольник вписаны в одну окружность.

Пространство Тетраэдр, Центр масс – точка пересечения отрезков, соединяющих вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани, она же точка пересечения средних линий (соединяющих середины противоположных ребер), описанная сфера. Ортоцентр, центр масс и центр описанной сферы лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. Серединный тетраэдр – тетраэдр с вершинами в точках пересечения медиан граней, Ортотетраэдр – тетраэдр с вершинами в основаниях высот исходного тетраэдра. Для любого ортоцентрического тетраэдра центр масс и ортоцентры граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2/1, лежат на одной сфере – сфере 12 точек (сфере Эйлера). В частности, серединный тетраэдр и ортотетраэдр вписаны в одну и ту же сферу. Замечание: ортоцентричность исходного тетраэдра равносильна тому, что его основания высот совпадают с точками пересечения высот противоположных граней. Для любого ортоцентрического тетраэдра окружности девяти точек каждой грани принадлежат одной сфере – сфере 24 точек (основания высот, проведенных к одному и тому же ребру, для ортоцентрического тетраэдра совпадают).

На внеклассных занятиях со старшеклассниками и занятиях по методике всячески

практикуют “выходы в пространство”, использующие аналогию геометрических

понятий. Школьники получают большое удовольствие, обнаруживая невидимые ранее

связи. Причем не ограничиваются обсуждением доказательств теорем, но часто

разбираются подобные теоремы, переформулируя их как задачи на построение. Для

наглядной демонстрации подобной работы вновь следует обратиться к приведенным

выше прямым и окружностям Эйлера.

В качестве наиболее простой задачи предлагается рассмотреть равнобедренный

прямоугольный треугольник и перенести полученные результаты на равнобедренный

прямоугольный тетраэдр. Чтобы облегчить оформление рисунков и формулировку

получаемых утверждений при обобщении обеих теорем Эйлера на пространство,

рекомендуем выполнить рядом два рисунка, ввести аналогичные обозначения и

постоянно сравнивать “плоские” и “пространственные” результаты. Причем,

обнаружив и доказав какое-либо утверждение для плоского случая необходимо тут

же стремиться отыскать его аналог для пространства.

Плоскость 1 этап: построение ÐА3А1А2=90°, H1, H2А2= А1А3, М1, М2, М3 – середины соответствующих сторон, H1, H2, H3 – основания высот, опущенных на стороны треугольника. Ц – центроид (в данном случае точка пересечения медиан). 2 этап: анализ 1) М1= H1 по свойству равнобедренного треугольника. 2) А1= H2= H3, так как треугольник прямоугольный. 3) Вершина прямого угла А является также ортоцентром треугольника А1А2А3. 4) Середина гипотенузы М1 является также центром описанной окружности (М1А1= М1А2= М1А3). 5) М1М2М3 - серединный треугольник. 6) Ортотреугольник H1H2H3 выражается в отрезок А1М1. 7) Середины отрезков высот, опущенных из вершин А2 и А3, от ортоцентра до соответствующих вершин совпадают с серединами сторон А1А2 и А3А4 соответственно. 3 этап: выводы 1) Ортоцентр треугольника, его центроид и центр описанной окружности лежит на одной прямой А1М1 (прямая Эйлера). 2) Точки А1, М1, М2, М3 лежат на одной окружности с центром в середине отрезка А1М1 и радиусом равным А1М1/2. Доказательство: пусть О – середина А1М1. Тогда треугольники А1М2М1 и А1М3М1 прямоугольные (по свойству средних линий треугольника) и, следовательно, М2О= М3О= А1М1/2 как медианы прямоугольных треугольников. 3) Таким образом, вершины серединного треугольника, ортотреугольника и середины отрезков высот лежат на одной окружности (окружности Эйлера). 4) Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности.

Пространство 1 этап: построение ÐА3А1А2=ÐА3А1А4=ÐА4А1А2=90°, А1А2= А1А3= А1А4; М1, М2, М3, М4 – центры масс (точки пересечения медиан соответствующих граней), H1, H2, H3, H4 - основания высот, опущенных на грани тетраэдра. Ц – его центроид (в данном случае точка, делящая отрезок А1М1 в отношении 3/1, считая от вершины). 2 этап: анализ 1) М1= H1, так как треугольник А2А3А4 – равносторонний и все его медианы являются также и высотами (по свойству ортоцентрического тетраэдра, основание высоты, опущенной из вершины А1, совпадает с точкой пересечения высот). 2) А1= H2= H3= H4, так как соответствующие грани являются прямоугольными треугольниками; 3) Вершина прямого угла А1 является также ортоцентром тетраэдра А1А2А3А4. 4) Центр описанной сферы лежит на прямой, содержащей высоту А1H1, опущенную на грань А2А3А4 (H1 совпадает с точкой пересечения медиан М1 этой грани, а множество точек пространства, равноудаленных от вершин треугольника, есть перпендикуляр, проходящий через точку пересечения его медиан). 5) М1М2М3М4 – серединный тетраэдр. 6) Ортотетраэдр H1H2H3H4 выражается в отрезок А1М1. 7) Середины отрезков высот, опущенных из вершин А2, А3, и А4, от ортоцентра до соответствующих вершин совпадают с серединами ребер А1А2 ,А1А3 и А1А4 соответственно. 3 этап: выводы 1) Ортоцентр тетраэдра, его центроид и центр описанной сферы лежат на одной прямой А1М1 (прямая Эйлера). 2) Точки А1, М1, М2, М3 и М4 лежат на одной сфере с центром в середине отрезка А1М1 и радиусом равным А1М1/2. Доказательство: пусть О – середина А1М1. В силу симметричности достаточно доказать для одной из боковых граней, например, для А1А2А4. Пусть К – середина А4А2, точка М3 лежит на отрезке А1К, причем А1М3=2М3К. Опустим из точки М1 перпендикуляр на грань А1А2А4. По свойству проекций основание этого перпендикуляра в точку пересечения медиан этой грани, т. е. в точку М3. Таким образом, треугольник А1М3М1 прямоугольный с гипотенузой А1М1. Следовательно, по свойству прямоугольных треугольников М1М3 = А1М1/2. 3) Таким образом, вершины серединного тетраэдра, ортотетраэдра лежат на одной сфере (сфера Эйлера); 4) В качестве упражнения можно вычислить, в каком отношении эта сфера делит ребра тетраэдра, примыкающие к прямому углу.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5