В качестве домашнего задания учащимся предлагается проверить теоремы Эйлера с

помощью построений на произвольном треугольнике и попытаться аналогично

приведенным выше рассуждениям вывести утверждения для произвольного

ортоцентрического тетраэдра.

На последующих занятиях можно провести обобщение плоского случая на

пространственный с помощью метода координат.

Обращаясь вновь к рассматриваемому выше треугольнику, можно ввести координаты

так, что точка А1 будет иметь координаты (0; 0), точка А1

(4;0), точка А3 (0;4), тогда координаты остальных точек: М1

(2; 2), М2 (0; 2), М3 (2; 0), Ц (4/3;43). Выведем

уравнение окружности, проходящей через точки А1, М2 и М

3 (для определения окружности достаточно трех точек) в виде (x-a)2

+(y-b)2=R2. Тогда:

(0-a)2+(0-b)2=R2Ûa2+b2=R2,

(0-a)2+(2-b)2=R2Ûa2+4-4b+b2=R2,

(2-a)2+(0-b)2=R2Û4-4a+a2+b2=R2.

Из этой системы трех уравнений получаем a=1, b=1, R=Ö2 и уравнение

окружности: (x-1)2+(y-1)2=2. Непосредственной

подстановкой координат точки М1 в полученное уравнение убеждаемся,

что точка М1 принадлежит окружности.

Аналогично для пространства. Введем пространственные координаты так, чтобы точка

А1 имела координаты (0; 0; 0), точка А2 (6; 0; 0), точка

А3 (0; 0; 6), точка А4 (0; 6; 0). Тогда координаты

остальных точек - М1 (2; 2; 2), М2 (0; 2; 2), М3

(2; 2; 0), М4 (2; 0; 2), Ц (3/2; 3/2; 3/2). Выведем уравнение

окружности, походящей через точки А1, М1, М2 и

М3 (для определения сферы нужно уже четыре точки). Уравнение сферы

будет иметь вид (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2

=3.Принадлежность остальных точек этой сферы можно легко проверить простой

подстановкой координат в уравнение.

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛОГИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Не менее полезно воспитывать у школьников привычку сознательно привлекать

аналогию при поиске способов решения предложенной им трудной задачи. В этом

случае можно рекомендовать им следующий план работы над задачей.

1. Подобрать задачу, аналогичную данной, т. е. такую, у которой имелись бы,

по сравнению с данной, сходные условия и сходное заключение; вспомогательная

задача должна быть проще данной или такой, решение которой известно.

2. Решить вспомогательную задачу; затем провести аналогичные рассуждения при

решении данной задачи.

Например, к аналогии с планиметрическими задачами полезно обращаться при

решении стереометрических задач.

При этом полезно, чтобы школьник пытался (если это возможно) самостоятельно

сформулировать и решить аналогичную планиметрическую задачу. Рассмотрим,

например, задачу: «На сколько частей могут разделить пространство четыре

произвольно расположенные плоскости?»

Четыре плоскости определяют тетраэдр. Эта фигура напоминает нам 3

пересекающиеся прямые на плоскости.

Естественно возникает вспомогательная задача, аналогичная данной: «На сколько

частей могут разделить плоскость 3 произвольные прямые?».

Решим сначала вспомогательную задачу (рис.11). В общем случае три прямые

могут разделить плоскость на 7 частей, одна из них ограничена (внутренняя

область треугольника), а другие, неограниченные части плоскости (таких 6)

имеют с внутренней областью общую границу по стороне треугольника или по

продолжению его сторон. В этом случае плоскость оказывается разделенной всего

на 1+3+3=7 частей.

Теперь приступим к решению основной задачи (рис.12).

В общем случае, 4 плоскости могут разделить пространство на следующие части:

одна из них ограничена – внутренняя область тетраэдра; неограниченные части

пространства имеют общую границу с внутренней областью по грани тетраэдра (4

части), или по его ребру (6 частей), или по плоскостям, проходящим через его

вершины (еще 4 части).

В этом случае пространство оказывается разделенным всего на 1+4+6+4=15 частей.

Чтобы школьники могли лучше усвоить этот прием решения задач, целесообразно

время от времени предлагать им задачи, при решении которых метод аналогии

оказывается полезным. При этом поначалу полезно предлагать учащемся не одну,

а две (или более) взаимосвязанные по содержанию задачи, формулируя условие

каждой из них одновременно. Например:

a) выразите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник,

через его высоты;

b) выразите радиус шара, вписанного в тетраэдр, через высоты этого

тетраэдра.

ОШИБКИ, СВЯЗАННЫЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ АНАЛОГИИ

Наряду с полезной эвристической ролью, которую играют в процессе обучения

умозаключения по аналогии, они же могут приводить отдельных учащихся, которые

не усвоили или формально, неосмысленно усвоили учебный материал, к грубым

ошибкам. Например:

от (a + b)c = ac + bc к (a + b)2= a2 + b2;

от ab/ac = b/c к a + b/ac = b/c и т. п.

В подобных случаях учащиеся пытаются заменить аналогией отсутствующие у них

знания, тогда как аналогия должна опираться на знание изученного материала,

помогать сознательному усвоению и правильному применению этих знаний, развитию

самоконтроля. Необходимо требовать от учащихся постоянно обосновывать

выполняемые математические операции ссылками на изученный теоретический

материал, чтобы добиться сознательного и прочного усвоения его. При решении

упражнений необходимо руководствоваться принципом: «сначала правило, потом

действие; без правила нет действия!». Да и в процессе преподавания надо не

только подчеркивать истинные аналогии, но и отмечать ложные, разрушать их с

целью предупреждения возможных ошибок. Следует выяснить с учащимися, где данное

правило применяется, а где и почему нельзя применять. Многие из грубых ошибок

учащихся связаны с неправомерным распространением распределительного свойства

на всевозможные операции.

Учителю математики полезно знать о трех типичных ошибках, которые порождены

неявным применением аналогии. Такие «вредные» (ложные) аналогии часто

возникают у школьников стихийно; и сами школьники и учитель не всегда отдает

себе отчет в происхождении этих ошибок (а значит, и в возможностях их

исправления).

Ограничимся несколькими примерами.

1.Наличие общности в свойствах сложения и умножения чисел иногда приводит к

возникновению у школьников ошибочной аналогии о сходстве этих действий и в

других свойствах. Так, например, при решении упражнения вида a+b/c+b по

ложной аналогии с сокращением на общий множитель учащиеся «сокращают» это

выражение на слагаемое: a+b/c+b=a/c.

2.Нередкая ошибка вида Öа2+b2=a+b также является

результатом ложной аналогии со способом извлечения квадратного корня из

произведения Öа2b2=½ab½. К тому же

виду ошибок принадлежит и весьма распространенная ошибка logc(a+b)=

? logca+ logcb, порожденная ложной аналогией с

верным равенством logcab= logca + logcb, где

a>0, b>0.

3.Очень распространена ошибка, приводимая психологом Н. А. Менчинской:

«Учащийся при решении примера 96 : 16 = 10 допускает ошибку, в основе которой

лежит ошибочное умозаключение по аналогии 96 : 16 = 10 (?), потому что 90 :

10 = 9 и 6 : 6 = 1; 9 + 1 = 10. В приведенном примере мы имеем перенесение в

операцию деления приемов, употреблявшихся при сложении и вычитании чисел. Это

ошибочное умозаключение возникло из привычного оперирования в отдельности

десятками и единицами при сложении и вычитании чисел и делении их на

однозначное число».

4.Замечая частые аналогии между многими понятиями и предложениями планиметрии

и стереометрии, учащиеся часто переносят их в ситуации, где они оказываются

ложными. Этим, пожалуй, объясняются весьма распространенные ошибочные ответы

учащихся 9 – 10 классов: «Через данную на прямой точку в пространстве можно

провести только один перпендикуляр к этой прямой», или «Две прямые в

пространстве, перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, всегда

параллельны между собой», или «Две плоскости, перпендикулярные к одной и той

же третьей плоскости, всегда параллельны между собой» и т. п.

Понятно, что учителю нужно уметь вовремя предостеречь учащихся от ложных

аналогий, указывая при этом на происхождение тех или иных допускаемых ими

ошибок.

Вывод по аналогии может иногда и не подтвердиться полностью, или

подтвердиться лишь частично.

П р и м е р. Площадь любого треугольника выражается формулой Герона:

S=Öp(p-a)(p-b)(p-c).

Изыскивая формулы для вычисления площади четырехугольников, мы можем задаться

вопросом: верна ли аналогичная формула для четырехугольника?

Исследование этого вопроса показывает, что для 4-угольников, вписанных в

окружность (и только для них!), справедлива следующая формула для вычисления

площади:

S=Öp(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).

Оказалось, что здесь полная аналогия не имеет места.

Отправляясь далее от обнаруженной аналогии в формулах, можно выяснить причину

этой аналогии: существует связь между треугольником (многоугольником, который

всегда можно вписать в окружность) и 4 – угольником (не всяким, а только

таким, который можно вписать в окружность).

Итак, существенным признаком, объединяющим треугольник и 4 – угольник (в

смысле общности формулы Герона), является возможность вписать их в

окружность.

Сравнение двух понятий (треугольник и 4-угольник) завершилось в этом случае

неполным обобщением: лишь для части объектов, входящих во второе понятие,

верна «обобщенная формула Герона».

В данном примере, хотя аналогия в целом и не подтвердилась, она послужила

источником новых мыслей (например, треугольник можно рассматривать как

вырожденный вписанный 4 – угольник).

Пусть вершина Д вписанного 4-х угольника АВСД приближается как угодно близко

к вершине А. (рис.13). Тогда сторона АД=d в пределе становится равной нулю и

обобщенная формула превращается в обычную формулу Герона:

S=Ö(p-a)(p-b)(p-c)(p-0)= Ö(p-a)(p-b)(p-c)p.

Итак, применение аналогии доставляет нам “благоприятную возможность более

точно исследовать открытые свойства и доказать или опровергнуть их: в обоих

случаях мы научимся чему-нибудь полезному”.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Насколько важна аналогия в математике, можно судить по следующему

высказыванию известного польского математика Стефана Банаха: “Математик – это

тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями; лучший математик тот,

кто замечает аналогии теорий; но можно себе представить и такого, кто между

аналогиями видит аналогии”.

Сравнение, как логический прием, становится тем толчком, который делает

мышление активным; со сравнения понятий начинается формирование новых мыслей.

Обнаружение сходства или различия между предметами поднимает наше мышление на

более высокую степень; сосуществовавшие ранее без взаимосвязи знания

приобретают новое качество; рассматриваемый предмет познается при этом

глубже, подробнее.

На основе сравнения понятий строятся умозаключения гипотетические,

справедливость которых затем проверяется. Гипотетическими умозаключениями, в

частности, являются умозаключения по аналогии.

Строя такие умозаключения, учащийся учится умению делать предположения,

умению познавать неизвестное, овладевает навыками логического исследования

предметов и явлений окружающей действительности.

Возникновение логической формы умозаключений по аналогии можно представить

следующим образом.

В процессе подчинения себе природы, в ходе изменения окружающего мира для

удовлетворения своих потребностей и овладения силами природы, человек

сравнивал сходные предметы и явления и многократно замечал следующую связь

между ними: если два предмета имеют некоторые одинаковые признаки, то очень

часто (но не всегда!) оказывалось, что они имели и некоторые другие общие

признаки.

Таким образом, умозаключения по аналогии являются умозаключениями

вероятности; для того чтобы выяснить достоверность или ложность “вывода по

аналогии”, необходимо дополнительно исследовать этот вывод. Этим и отличается

рассматриваемый вид умозаключений от индуктивного и дедуктивного

умозаключения: если первые приводят к исчерпывающему результату, аналогия

лишь открывает путь исследования и не имеет доказательной силы (полная

индукция).

Умозаключение по аналогии, будучи рассматриваемо в единстве с процессом

доказательства его истинности, диалектично в своей сущности: здесь в

теснейшем переплетении и во взаимосвязи встречаются элементы индукции и

дедукции.

В умозаключении по аналогии прежде всего используется индукция, ибо переход

от первого предмета ко второму (от треугольника к тетраэдру, от окружности к

сфере) состоит в установлении между одними частными свойствами (простейший

многоугольник, наличие трех внутренних углов, существование их равноделящих –

биссектрис и др.).

В то же время умозаключение по аналогии тесно связано с дедукцией, ибо

истинность вывода по аналогии устанавливается дедуктивным доказательством:

то, что в любой тетраэдр можно вписать сферу и при том единственную, надо

доказать согласно обычным правилам дедуктивного доказательства. Вывод,

полученный прием аналогии, как бы начинается индукцией и завершается

дедукцией.

При пользовании аналогией совершается сложный мыслительный процесс, в котором

применяются в единстве и взаимопроникновении приемы анализа и синтеза. Так, в

приведенном выше примере умозаключение по аналогии стало возможным лишь

благодаря тому, что в результате сравнения треугольника и тетраэдра и анализа

их свойств устанавливается наличие у них нескольких сходных свойств, которые

послужили толчком к предположению о наличии некоторого нового свойства

(сферы, вписанной в тетраэдр). Доказательство сформулированного предположения

сводится к синтезу понятий, относящихся к тетраэдру, причем он выполняется в

том же порядке, в каком выполнялся синтез соответствующих понятий,

относящихся к треугольнику (центр вписанной сферы есть точка пересечения

биссектральных плоскостей подобно тому, как центр вписанной окружности есть

точка пересечения биссектрис).

Вывод по аналогии может иногда и не подтвердиться полностью, или

подтвердиться лишь частично.

Аналогия, как правило, не является доказательным рассуждением, т. е.

рассуждением, которое может служить доказательством. (“Как правило” потому,

что имеется исключение, связанное с особым видом аналогии.) Однако в

обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она

наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В обучении же

математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что

именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Балк М. Б., Балк Г. Д. Математика после уроков: пособие для

учителя. – М.: Просвещение, 1971.

2. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики

Далингер В. А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии // Математика в

школе. – 1995. - № 6.

3. Колягин Ю. М., Оганесян В. А., Саннинский В. Я., Луканкин Л. Г.

“Методика преподавания математики в средней школе”. Общая методика. Учеб.

Пособие для студентов физ.-мат. фак. Пед. Институтов. М., “Просвещение”,

1975.

4. Метельский Н. В. Дидактика математики : общая методика и ее проблемы.

– Минск: изд. БГУ, 1982.

5. “Методика математики в средней школе”: Общая методика. Учеб. Пособие

для студентов пед. ин-тов по спец. “Математика преподавания ” и “Физика” / А.

Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр.

– М.:Просвещение, 1985.

6. Столяр А. А. Педагогика математики: учебное пособие для студ. Физ. –

мат. фак.- Минск, 1986.

7. Саранцев Г. И., Лунина Л. С. Обучение методу аналогии // Математика

в школе. – 1989. - №4.

8. Эрдниев П. М. “Сравнение и обобщение при обучении математике”,

пособие для учителей.М. 1960.

9. Эрдниев О. П. Аналогия в теоремах о прямой Эйлера, окружности и сфере

// Математика в школе. – 1998. - № 3.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Благовещенск 2002 г.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5