1, j2,., jn,.—отвечающая им полная ортонормированная

система его собственных элементов (функций, векторов). Элемент А*и

можно представить в виде ряда

(2;2,2)

В этих условиях справедлива

Теорема 3. Квазирешение уравнения (2, 0,1) на множестве SR выражается формулами:

(2;2,3)

если

(2;2,4)

и

если

(2;2,5)

Здесь b — корень уравнения

(2;2,6)

Доказательство. Квазирсшение минимизирует функционал

rU2 (Az, u) == (Az — u, Az — u) (2;2,7)

(где (v,w ) — скалярное произведение элементов v и w

из U), уравнение Эйлера для которого имеет вид

A*Az=A*u. (2;2,8)

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по системе {jn}:

(2;2,9)

Подставляя этот ряд в уравнение (2; 2,8) и используя разложение (2;2,2), находим

сn=bn/ln. Следователь­но, неравенство

(2; 2,4) означает, что ||z||<R и речь идет о нахождении безусловного

экстремума функциона­ла (2; 2,7). Ряд (2; 2,3) и будет решением задачи.

Если же выполняется неравенство (2; 2,5), то это означает, что ||z||>=R и

надо решать задачу на услов­ные экстремум функционала (2; 2,7) при условии, что

|| z ||2 = R2. Методом неопределенных множителей

Лагранжа эта задача сводится к нахождению безусловного экстремума функционала

(Аz-u, Аz-u) + b (z, z),

а последняя — к решению отвечающего ему уравнения Эйлера A*Az+bz=А*и.

Подставляя сюда z в виде ряда (2; 2,9) и используя разложение (2; 2,2), находим

Параметр b определяем из условия || z ||2 = R2 , которое эквивалентно (2; 2,6).

2.3. Приближенное нахождение квазирешений

В предыдущем параграфе мы видели, что нахождение квазирешения связано с

нахождением элемента в беско­нечномерном пространстве. Для приближенного

нахожде­ния квазирешения естественно переходить к конечномер­ному

пространству. Можно указать достаточно общий под­ход к приближенному

нахождению квазирешений урав­нения (2; 0,1) , в котором А—вполне непре­рывный

оператор.

Будем полагать, что выполнены указанные в 2.2. дос­таточные условия

существования единственного квазире­шения на заданном множестве М, т.

е. полагаем, что множество М — выпуклый компакт и сфера в пространст­ве

U строго выпукла. Пусть

M1 Ì M2 Ì...Ì Mn Ì...

— возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств Мn

такая, что замыкание их объединения

совпадает с М. Квазирешение уравнения (2; 0,1) сущест­вует на каждом

множестве Мn . Но оно может быть не единственным. Обозначим

через Тn совокупность всех квазирешений на множестве М

n .

Покажем, что в качестве приближения к квазиреше­нию z1 на множестве

М можно брать любой элемент z1n из Тn

. При этом

Пусть Nn = АМn и Вn — множество

проекций элемен­та и на множество Nn . Очевидно,

что Вn = АТn и N1 Í N

2 Í .Í Nn; тогда

r U(u,N1)>= .>=r U (u,Nn

)>=. r U (u,N)= r U (u,Az1) .

(2;3,1)

Так как множество

всюду плотно на N, то для всякого e >0 найдется такое число n0

(e), что для всех п >n0(e)

rU(u,Nn)< rU(u,N)+ e (2; 3,2)

Из (2; 3,1) и (2; 3,2) следует, что

(2;3,3)

Поскольку то

(2;3,4)

Каждое множество Вn есть компакт, так как оно является

замкнутым подмножеством компакта Nn. Поэтому в В

n найдется такой элемент уn , что

rU(yn ,u) = inf rU(y,u)

yÎBn

Последовательность {yn} имеет хотя бы одну пре­дельную точку,

принадлежащую N, так как N — компакт. Пусть у0 —

какая-нибудь предельная точка множества {yn} и {уnk} —

подпоследовательность, сходящаяся к y0 , т. е.

Из (2; 3,3) и (2; 3,4) следует, что

Таким образом,

rU(u,y0)= rU(u,N).

Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что

y0=Az1.

Так как у0 — произвольная предельная точка множества {yn

}, то последовательность {уn} сходится к Аz1. Это

и означает, что в качестве приближения к квазирешению мож­но брать любой

элемент z1n из множества Тп , так как в

силу леммы параграфа 2.1. z1nàz* при

nà¥.

Если в качестве Мп брать конечномерные (n-мерные) множества, то

задача нахождения приближенного квази­решения на компакте М сводится к

минимизации функ­ционала rU(Az, u) на множестве Мп ,

т. е. к нахождению минимума функции п переменных.

2.4. Замена уравнения Аz=u близким ему

Уравнения вида (2; 0,1), в которых правая часть u не принадлежит множеству

N=AM, изучались М. М. Лав­рентьевым . Ему принадлежит идея замены исходного

уравнения (2; 0,1) близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого

задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима

для любой правой части u ÎU. В простей­шем случае это делается

следующим образом.

Пусть F ºU ºН — гильбертовы пространства, А

— линейный, ограниченный, положительный и самосопря­женный оператор, S

R º есть шар радиуса R в пространстве

F, В — вполне непрерывный оператор, определенный на SR при любом

R > 0. В ка­честве класса корректности М берется множество DR

=BSR — образ шара SR при отображении с помощью

оператора В. Предполагается, что искомое точное решение zT

уравнения (2; 0,1) с правой частью u=uT существует и принадлежит

множеству DR. Уравнение (2; 0,1) заме­няется уравнением

(A+aE)z º Az+az=u , (2:4,1)

где a>0 – числовой параметр. Решение уравнения

za=(A+aE)-1u , (2; 4,2)

при соответствующем выборе параметра a, принимается за приближенное решение

уравнения (2; 0,1). Здесь Е — единичный оператор.

Замечание. Для оценки уклонения rF(zT,zd)

приближенного решения от точного можно использовать мо­дуль непрерывности w

обратного оператора на N.

Пусть u1, u2 Î N и rU(u1,u2)<= d. Тогда

w(d,N)= sup rF(A-1u1,A-1u2).

u1,u2 ÎN

Очевидно, что если rU(uT,ud)<= d и zd=A-1ud , то

rF(zT,zd)<=w(d,N).

Вернемся к уравнению (2; 4,1). Если || Az ||<=d и w(d,DR) = sup ||

z ||, то легко

DR

получить оценку уклонения za от zT. Очевидно, что

|| za - zT ||<=||za1 - zT

|| + ||za - za1||,

(2;4,3)

где

za1=(A + aE)-1uT.

Следовательно,

||za - zT||<=w(d,DR) + d/a. (2;4,4)

Если известен модуль непрерывности w(d,DR) или его мажоранта, то из

(2; 4,4) можно найти значение пара­метра w как функцию d, при котором правая

часть в не­равенстве (2; 4,4) будет минимальной.

2. 5. Метод квазиобращения

2.5.1. Известно, что задача Коши для уравнения тепло­проводности с обратным

течением времени является не­устойчивой к малым изменениям начальных

значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется

некоторым дополнительным граничным усло­виям. Для устойчивого решения таких

задач разработан метод квазиобращения . Мы изложим существо его для

простейшего уравнения теплопроводности, не вда­ваясь в вопросы обоснования.

Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в .

2.5.2. Рассмотрим прямую задачу. Пусть D — конечная область n-мерного

евклидова пространства Rn точек x = (x1, x2

, ..., xn), ограниченная кусочно-гладкой по­верхностью S,

a t — время. Пусть, далее, j(x) — заданная непрерывная в D

функция. Прямая задача состоит в на­хождении решения u=u(x,t) уравнения

(2;5,1)

в области G º {x Î D, t > 0}, удовлетворяющего гранич­ным условиям

u(х, t) =0 при xÎS

(2; 5,2)

и начальным условиям

u(x, 0)= j(x).

(2; 5,3)

Здесь

Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции j(x)ÎC

отвечает решение задачи (2; 5,1)— (2; 5,3). Будем обозначать его через u(х,

t; j).

Обратная задача состоит в нахождении функции j(х) по известной функции u(х,t;

j). В реальных задачах функция u(x,t;j) обычно получается в результате

изме­рений и, следовательно, известна приближенно. Будем по­лагать, что

uÎL2. Такая функция может и не соответст­вовать никакой

«начальной» функции j(х). Таким обра­зом, может не существовать в классе

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5