точці х0:

скориставшись рівнянням дотичної

,

матимемо

Звідси .

Відповідь:.

Приклад 2. Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x2

-4x+8 в точці (3;5)?

Розв’язання. Безпосередньо підстановкою координат заданої точки в

рівняння параболи переконуємося, що вона їй належить.

Знайдемо похідну y’=2x-4.

Тоді . Звідси

Відповідь:

Приклад 3. Дотична до графіка функції

нахилена до осі абсцис під кутом . Знайти координати точки дотику.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції:

.

За умовою y’(x0)=tg=1 маємо

отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).

Відповідь: А(2;2).

Розділ 2

Застосування похідної

2.1. Правила диференціювання

Теорема: Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках

Доведення: Суму функцій u(x)+n(x), де х є (a; b), яка представляє собою

нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).

Тоді

Також,

Так як

х0 – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:

Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,

а)

б)

в)

Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість

формули (u1(x) + u2 (x) +. кінцевого числа складених.

Теорема. Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках

Доведення. Позначимо похідні

через х є (a; b), і

найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді

Навіть так як

то

Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то маємо

Теорема доведена.

Приклад,

а)

б)

в)

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про

похідну де а – число, отримаємо

Приклади.

а)

б)

Похідна частки двох функцій .

Теорема. Якщо функції

Доведення. Позначимо тимчасово

через знайдемо

використовуючи визначення похідної.

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).

Тоді,

Навіть, так як

то

і послідовно

Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х

0 можна замінити на х. Теорема доведена.

Приклади.

а)

б)

2.2. Дослідження функції та побудова графіка

Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:

1) знайти область визначення функції та множину її значень;

2) дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;

3) знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки

розриву, проміжки знакосталості функції;

4) дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності,

знайти якщо вони є, асимптоти графіка;

5) знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції,

точки екстремуму та екстремальні значення функції;

6) знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості

графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;

7) для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних

точок, через які він проходить.

Зауважу, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за наведеною

схемою і в такій саме послідовності.

Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише після

знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точок розриву

і на нескінченності.

Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично

відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні

періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має

область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такого

факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщо

нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не є

періодичною.

Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі першої

або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.

Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точок розриву.

Для складних функцій можна керуватися такими простими твердженнями:

1. якщо функція парна, то складна функція також парна;

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6