|
2.3. Застосування похідної для розв’язування рівнянь
Похідна в окремих випадках може бути застосована до розв’язування рівнянь, а
саме : для встановлення кількості коренів або їх відсутності, для їх
знаходження.
Так, наприклад, якщо маємо рівняння 
, де  – зростаюча
або спадна функція, то , зрозуміло, що рівняння не може мати більше одного
кореня, причому можна з впевненістю сказати, що він буде, якщо а
належить множині значень функції 
. А для визначення строгої монотонності застосовується похідна.
Використовують і такий факт: якщо многочлен k-го степеня має k
дійсних коренів, то його похідна має їх k –1 .
Розглянемо застосування похідної до розв’язування рівнянь на конкретних
прикладах.
Приклад 1. Яким умовам повинні задовольняти параметри p та
q, щоб рівняння 
мало три різних дійсних корені?
Розв’язання. Розглянемо функцію
 .
Для того щоб дана функція мала три різні нулі, необхідно, щоб її похідна
мала два різних нулі. А це буде тоді, коли  . Звідси  .
Отже, похідна має один додатний і один від’ємний корінь. Тоді функція 
має обов’язково один від’ємний корінь. А це можливо за умови, що 
. Отже,  .
Приклад 2.Скільки дійсних коренів має рівняння
Розв’язання. Розглянемо функцію
 = .
Знайдемо її похідну
 = .
Нехай
а) х<0, тоді очевидно,  >0;
б) х=0, тоді  ;
в) x>0, тоді знову ж таки  >0.
Отже, похідна всюди додатна, за винятком однієї ізольованої точки х=0. це
означає, що функція f зростає на всій числовій осі. Тому дане
рівняння не може мати більше одного кореня. Оскільки 
, то нуль і є тим єдиним коренем.
Приклад 3.Розв’язати рівняння
 .
Тривіальним коренем рівняння є х=0. доведемо, що інших коренів рівняння не
має. Розглянемо функцію
 .
Знайдемо її похідну  для будь-якого  .
Отже, функція 
зростає на всій числовій осі. Тому рівняння не має більше коренів.
Приклад 4.Розв’язати рівняння
 .
Розглянемо функцію  .
Вона диференційована на всій області визначення. Знайдемо її похідну
 .
Очевидно,  для  .
А це означає, що рівняння має лише один корінь (найвищий показник степеня
непарний). Тривіальним коренем є х=1.
Відповідь: 1.
2.4. Текстові задачі на екстремум
Приклад 1.Яке із десяти чисел
найбільше?
Розв’язання. Зрозуміло, що це число міститься в середині цієї скінченої
послідовності чисел і його можна знайти безпосереднім обчисленням.
Знайдемо це число за допомогою похідної. Для цього розглянемо функцію  .
Знайдемо її похідну, записавши функцію в такому вигляді:
 .
Тоді
 .
Знак похідної залежить лише від виразу, що знаходиться в дужках. Функція 
спадає на інтервалі 
, причому  , а 
. Тому на інтервалі 
функція f зростає, а на інтервалі 
– спадає. Тоді найбільше число буде 
або  . Безпосереднє
обчислення дає відповідь на поставлене в задачі запитання : 
є найбільшим серед десяти даних чисел.
Приклад 2. У плоску фігуру, обмежену параболою 
і прямою у=4, вписати прямокутник найбільшої площі так, щоб нижня основа лежала
на прямій  , а
вершини верхньої основи на параболі.
Розв’язання. Нехай у фігуру ABC вписано прямокутник DKMN.
 .
Позначимо абсциси точок M і N через 
, а тоді точки D і K матимуть абсцисою точку -
.
Отже, DN=2 , де DN –
ширина прямокутника. Висота прямокутника буде дорівнювати різниці ординат точок
M і N, тобто MN= .
Тоді площу прямокутника DKMN запишемо у такому вигляді:
 .
Розглянемо функцію  . Її похідна  . Точка  є точкою максимуму для функції  . Тоді
 .
Відповідь: .
Приклад 3. Криволінійна трапеція обмежена графіком функції 
та прямими х=-1, х=2, у=0. У якій точці графіка функції треба провести
дотичну, щоб вона відтинала від криволінійної трапеції звичайну трапецію
найбільшої площі?
Розв’язання. Позначимо шукану точку через 
, де  . Запишемо
рівняння дотичної, яка проходить через точку графіка з абсцисою 
:
 ,
 .
Знайдемо значення цієї дотичної в точках х=-1, х=2:
 ,
 .
Площу звичайної трапеції запишемо у такому вигляді:
 .
Розглянемо функцію
  .
Знайдемо її похідну:
 .
Функція  має єдину критичну точку  , в якій вона досягає максимуму.
Відповідь: .
Висновок
Мета даної курсової роботи розкрити деякі питання застосування похідної: для
дослідження функцій на монотонність та екстремум, знаходження найбільшого та
найменшого значення функцій, розглянути прикладні задачі на дослідження
функцій, а також задачі на складання рівнянь дотичної, нормалі та деяких
інших.
Для цього ми побудували роботу таким чином: спочатку наведені всі необхідні
теоретичні відомості, далі розглянуто алгоритми розв’язання кожного типу
задач, після чого наводиться приклади, які розв’язані з повним поясненням.
Приклади розташовані у порядку зростання складності, що дає можливість
поступово засвоювати викладення матеріалу. В роботі наводяться необхідні
геометричні інтерпретації.
Всі розглянуті приклади взяті із збірника задач з математики для середньої
загальноосвітньої школи.
На нашу думку робота буде корисною для учнів 10, 11 класів загальноосвітніх
шкіл, ліцеїв та гімназій.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
| 
