Курсовая: Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

Приднестровский государственный университет

им. Т.Г. Шевченко

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа

и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Тождественные преобразования

выражений»

Работу выполнила:

студентка _______ группы

физико-математического ф-та

_________________________

Работу проверила:

_________________________

Тирасполь, 2003г.

Содержание:

Введение..........................2

Глава 1. Тождественные преобразования и методика преподавания в

школьном курсе алгебры и начала анализа................4

§1. Формирование навыков применения конкретных видов преобразований............4

§2. Особенности организации системы знаний при изучении тождественных

преобразований .........................5

§3. Программа по математике ................11

Глава 2. Тождественные преобразования и вычисления

показательных и логарифмических выражений.....................13

§1. Обобщение понятия степени................13

§2. Показательная функция..................15

§3. Логарифмическая функция................16

Глава 3. Тождественные преобразования показательных и

логарифмических выражений на практике

..........................................................................19

Заключение..........................24

Список использованной литературы...............25

Введение

В данной курсовой работе будет рассмотрено тождественные преобразования

показательной и логарифмической функции, рассмотрена методика преподавания их

в школьном курсе алгебры и начала анализа.

Первая глава данной работы описывает методику преподавания тождественных

преобразований в школьном курсе математики, так же включает программу по

математике в курсе «Алгебры и начала анализа» с изучением показательной и

логарифмической функции.

Вторая глава рассматривает непосредственно саму показательную и

логарифмическую функции, их основные свойства, используемые при тождественных

преобразованиях.

Третья глава – решение примеров и задач с использованием тождественных

преобразований показательной и логарифмической функции.

Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную

часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие

преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся

уже в начальной школе и в IV–V классах. Но основную нагрузку по формированию

умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной

алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия

совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их

обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением

обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного

преобразования, логического следования.

Культура выполнения тождественных преобразований развивается так же, как и

культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций над объектами

(числами, векторами, многочленами и т. д.) и алгоритмов их выполнения. Она

проявляется не только в умении правильно обосновать преобразования, но и в

умении найти кратчайший путь перехода от исходного аналитического выражения к

выражению, наиболее соответствующему цели преобразования, в умении проследить

за изменением области определения аналитических выражений в цепочке

тождественных преобразований, в быстроте и безошибочности выполнения

преобразований.

Обеспечение высокой культуры вычислений и тождественных преобразований

представляет важную проблему обучения математике. Однако эта проблема

решается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому –

статистические данные органов народного образования, в которых ежегодно

констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преобразований,

допускаемые учащимися различных классов при выполнении контрольных работ. Это

подтверждается и отзывами высших учебных заведений о качестве математических

знаний и навыков абитуриентов. Нельзя не согласиться с выводами органов

народного образования и вузов о том, что недостаточно высокий уровень

культуры вычислений и тождественных преобразований в средней школе является

следствием формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики.

Глава 1.

конкретных видов преобразований.

Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на этапе

начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: она используется в

изучении всего курса математики. Однако именно в силу своей малой

специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразованиях,

учитывающих особенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновь

вводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразований

начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются

преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными

классами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических,

тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап

изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных

особенностей.

По мере накопления материала появляется возможность выделить и общие черты

всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятия

тождественного и равносильного преобразований.

Следует обратить внимание на то, что понятие тождественного преобразования

дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к

выражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные

преобразования – это преобразования выражений, и равносильные –

преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении

одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит

аргументом применяемого тождественного преобразования. Соответствующий

предикат при этом считается неизменным.

Что касается организации целостной системы преобразований (синтез), то

основная её цель состоит в формировании гибкого и мощного; аппарата, пригодного

для использования в решении разнообразных учебных заданий.

В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основных

чертах уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней

также добавляются некоторые новые виды преобразований, однако они только

обогащают ее, расширяют ее возможности, но не меняют ее структуру. Методика

изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в

курсе алгебры.

§2. Особенности организации системы заданий

при изучении тождественных преобразований.

Основной принцип организации любой системы заданий – предъявление их от простого

к сложному с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и

создания проблемных ситуаций. Указанный основной принцип требует конкретизации

применительно к особенностям данного учебного материала. Для описания различных

систем заданий в методике математики используется понятие цикла упражнений.

Цикл упражнений характеризуется соединением в последовательности упражнений

нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. По отношению к

тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим

образом.

Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого

группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В

состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания

применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для

проведения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика

тождества; в частности, организуются связанные с ним обороты речи.

Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся задания,

выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служат учебным

материалом для нескольких идущих подряд уроков, объединенных одной темой.

Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными

приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнения

здесь разбросаны по различным темам.

Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения

конкретных видов преобразований. На заключительном этапе – этапе синтеза

циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы заданий, образующие

«развернутый» цикл, причем из первой группы исключаются наиболее простые по

формулировкам или по сложности выполнения задания. Оставшиеся типы заданий

усложняются. Во-вторых, происходит слияние циклов, относящихся к различным

тождествам, в силу чего повышается роль действий по распознаванию

применимости того или иного тождества.

Отметим особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных

функций. Эти особенности обусловлены тем, что, во-первых, соответствующие

тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, во-

вторых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с

использованием уже сформированных навыков проведения тождественных

преобразований.

Каждая вновь вводимая элементарная функция резко расширяет область чисел,

которые могут быть обозначены и названы индивидуально. Поэтому в первую

группу заданий циклов должны войти задания на установление связи этих новых

числовых областей с исходной областью рациональных чисел. Приведем примеры

таких заданий.

Пример 1. Вычислить:

Рядом с каждым выражением указано тождество, в циклах по которым могут

присутствовать предлагаемые задания. Цель таких заданий – в освоении

особенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и в

развитии навыков математической речи.

Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных с

элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и

трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входят

только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесообразно проводить

работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведение его путем замены

неизвестного к алгебраическому уравнению.

Последовательность шагов при этом способе решения такова:

а) найти функцию , для которой данное уравнение представимо в виде ;

б) произвести подстановку и решить уравнение ;

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7