Показательные уравнения с параметрами.

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным

показательным уравнениям вида а f (x) =

b φ(х) (*), где а > 0, b

> 0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение

областей допустимых значений функций f(x) и φ (х).

Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:

1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является

область его допустимых значений D.

2) При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*)

служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых

значений D.

3) При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*)

находится как решение уравнения f(х) = 0 на области

D.

4) При а = b (а > 0, а ≠ 1,

b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению

f(х) = φ(х) на области D.

5) При а ≠ b (а > 0, а ≠

1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно

уравнению

log c a f(x) = log c b φ(x) (c > 0, c ≠ 1) на области D.

Пример. Решите уравнение: а х + 1 = b 3 – х

Решение. ОДЗ уравнения: х R, а > 0, b >0.

1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.

2) При а = b = 1, х R.

3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3.

4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1.

5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b

>0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х

х = 1.

6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1,

b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение

по основанию а, получим:

, х + 1 = ( 3 – х ) log a b ,

Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

при а = b = 1, х R;

при а = 1, b ≠ 1 х = 3.

при а ≠ 1, b = 1 х = -1

при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1

при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)

Логарифмические уравнения с параметром.

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению

корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения

уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных

корней ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2 – log (1 + х) = 3 log а - log ( х 2 – 1 )2

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного

уравнения:

log а а2 + log ( х2 - 1) = log а ()3 + log a,

log а ( а2 (х2 - 1)) = log а (()3 ),

а2 (х2 - 1) = (х - 1) ,

а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1)

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части

уравнения на (х - 1)

а2 =

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а4 (х + 1) = х – 1 а4 х + а4 = х – 1 х( 1 - а4 ) = а4 + 1

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно

выполняться условие х > 1, то есть

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:

,

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 –

а4 > 0, то есть при

а < 1.

Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 <

a < 1 х является корнем исходного уравнения.

Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a < 1

ГЛАВА 2

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде.

Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при

изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие

задания:

1) При каком р уравнение х2 – 2х + 1 = р имеет один корень ?

2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного

уравнения

х2 + ( р 2 + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ?

В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами

целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период

вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать

уравнения с одним параметром.

Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство

уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в

зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества

допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества

находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить

внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого

значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет

это уравнение и какого вида.

На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:

1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет

хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.

2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при

которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений

на множестве М.

3) на исследование: для каждого параметра найти все решения

заданной задачи.

Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура

следующая:

Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.

Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.

Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных

уравнений с параметрами.

Занятие№4. Тест

Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений

с параметрами.

Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений

с параметрами.

Занятие№7. Решение показательных и логарифмических

уравнений с параметрами.

Занятие№8. Тест

Занятие№1

Занятие№2

Занятие №3

Занятие № 4.

Вариант I.

1. Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.

а) при k=-2 корней нет; при k=-2 ;

б) при k-2 корней нет; при k=-2 ;

в) при k=-2 корней нет; при k=-2 и k=0,25 .

1. Решите уравнение 2а( а - 2)х = а2 – 5а+6 относительно х

а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

Страницы: 1, 2, 3, 4